函数及其性质

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第第页函数及其性质-山东各地市2025届高三数学一模模拟试题汇编2.（2025·山东潍坊·一模）已知函数则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，将代入即可求解.详解】将代入，得到，所以，将代入，得到.因此，.故选：B.5.（2025·山东潍坊·一模）已知且，与成正比例关系，其图象如图所示，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先设，根据，求出，再根据指数式与对数式的转化，可求的值.【详解】因为与成正比例关系，所以可设，由由，又，所以.故选：B12.（2025·山东潍坊·一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数________．①；②在上是增函数．【答案】（答案不唯一，形如都可以）【解析】【分析】取验证①②即可.【详解】对于函数，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②；对任意的、，，满足①.故答案为：（答案不唯一，形如都可以）.8.（2025·山师附中·一模）已知函数（a，且）在区间上有零点，则的最小值为（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得的最小值.【详解】依题意在区间上有零点，整理得在上有解，表示坐标系中，直线（看成参数）上的点，所以表示原点到直线上的点的距离的平方，设，由于，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.故选：D【点睛】关键点点睛：主参变量的转换：将原始代数问题转化为几何问题，利用几何性质进行求解，是解题的关键步骤，确保每一个几何量的合理转换，能够有效简化求解过程.距离公式的合理运用：通过距离公式来计算直线与原点的最小距离，确保了推导过程的逻辑严密性和计算的准确性.4.（2025·山东青岛·一模）近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，真氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为（）（，精确到年）A.年 B.年 C.年 D.年【答案】D【解析】【分析】令，解此方程即可.【详解】令可得，可得，所以，，故臭氧消失一半所需要的时间约为年.故选：D.10.（2025·山东青岛·一模）已知狄利克雷函数设函数，则（）A.是奇函数 B.是周期函数C.的值域是 D.在区间上的有理数零点恰有3个【答案】ABD【解析】【分析】由函数的奇偶性的定义可判断A；根据函数的周期性和定义和函数的定义可判断B；函数及三角函数的值域可判断C；应用特殊三角函数值可判断D．【详解】的定义域为，当为有理数时，是有理数，则，当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数，故，是奇函数，故A正确；对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则，当为无理数时，也是无理数，则，，即函数周期函数，故B正确；函数的值域为，当为无理数时，，当为有理数时，，不能取到一个周期所有实数，所以取不到全部，故C错误；，当为有理数时，，得出在区间上有，3个有理数零点，故D正确；故选：ABD．5.（2025·山东威海·一模）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，，由，可得，所以.故选：.7.（2025·山东威海·一模）已知函数，若对，且，都有，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题设，，且，都有，所以在上单调递减，易知在上单调递减，当时，满足题设，当时，或，综上，.故选：A11.（2025·山东威海·一模）设，已知函数（）A.在上单调递减B.当时，存在最小值C.设，则D.设，若存在最小值，则【答案】BCD【解析】对于A，取，画出函数图象，可知在不是单调递减；故A错误；对于B：对于B，当时，当时，；当时，显然取得最小值；当时，，综上：取得最小值，故B正确；对于C，结合图像，易知在，且接近于处，距离最小，当时，，当且接近于处，，此时，，故C正确；依题意，，当时，，易知其图象为一条端点取不到的单调递减的射线；当时，，易知其图象是，圆心为，半径为的圆在轴下方的图象（即半圆）；当时，，易知其图象是一条端点取不到的单调递增的曲线；因为，结合图象可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然要保证在上，才能满足取得最小值，所以只需，即都可满足题意，保证，否则无最小值，故.D正确；故选：BCD6.（2025·山东淄博·一模）已知函数满足，当时，，则（）A.2 B.4 C.8 D.18【答案】C【解析】【分析】根据，结合对数运算性质，将转化到里面计算即可.【详解】因为，所以．因为，所以．故选：C.7.（2025·山东淄博·一模）已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围.【详解】如下图所示：令，解得，故当时，对称轴为直线，则，因为，所以，，又因为，，由可得，则，则，所以，.故选：D.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于结合正弦型函数的对称性以及函数解析式将所求代数式转化为关于某个量的函数，求出变量范围后，转化为值域问题求解.9.（2025·山东淄博·一模）随机变是服从正态分布，令函数，则下列选项正确的是（）A. B.是增函数C.是偶函数 D.的图象关于点中心对称【答案】AD【解析】【分析】由正态分布可求得，判断A；易得在上是减函数，可判断B；计算，可判断C；证明可判断D.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，当增大时，减少，所以在上是减函数，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，若的图象关于点中心对称，则，因为服从正态分布，所以关于对称，所以，则，故D正确.故选：AD.7.（2025·山东泰安·一模）若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，可得，，则由题意可得，再利用的单调性即可得解.【详解】由题意可得，则，即，令，在上单调递增，则，，即，故，即.故选：D.6.（2025·山东日照·一模）定义在上的函数满足以下条件：①；②对任意，当时都有．则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据等式判断函数的奇偶性，根据不等式判断函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性进行比较大小即可.【详解】因为定义在上的函数满足条件，所以函数是偶函数，对任意，当时都有，所以不妨设，则有，因此时，函数是增函数，因为函数是偶函数，所以，，因为时，函数是增函数，所以，即，故选：A12.（2025·山东日照·一模）已知函数，则__________．【答案】##【解析】【分析】根据自变量的取值范围代入相应的函数表达式进行计算，然后将计算结果相加.【详解】因，

，则.故答案为：.13.（2025·山东日照·一模）已知函数的图象关于点对称，则点的坐标为__________.【答案】【解析】【分析】分析可知的定义域为，且，即可得结果.【详解】令，解得，可知的定义域为，又因为，所以函数的图象关于点对称.故答案为：.12.（2025·山东济宁·一模）已知函数是奇函数，则实数______．【答案】1【解析】【分析】根据奇函数性质求实数的值，并根据奇函数的定义求解.【详解】因为，可知函数的定义域为，且函数是奇函数，则，解得，则，又因为，即，可知函数是奇函数，所以符合题意.故答案为：1.8.（2025·山东菏泽·一模）已知函数，若存在实数，使得对任意的实数x恒成立，则称满足性质，下列说法正确的为（）A.若的周期为1，则满足性质B.若，则不满足性质C.若（且）满足性质，则D.若偶函数满足性质，则图象关于直线对称【答案】D【解析】【分析】根据新定义结合条件逐项进行验证．【详解】选项A，的周期为1，则，从而有，因此具有性质，但不一定成立，A错；选项B，，，所以，所以具有性质，B错；选项C，若（且）满足性质，则，所以，从而，C错；选项D，偶函数满足性质，即，又是偶函数，所以，所以图象关于直线对称，D正确，故选：D．12.（2025·山东聊城·一模）设实数，函数为奇函数，则______________.【答案】【解析】【分析】利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值.【详解】实数，且函数为奇函数，则，由奇函数的定义可得，即，整理可得，则，因为，解得，所以，，故.故答案为：.8.（2025·山东烟台·一模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（）A.17 B.19 C.21 D.23【答案】B【解析】【分析】根据已知得到是周期为8的偶函数，再利用周期性、偶函数性质有，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为，即可得答案.【详解】由，则，所以，即是周期为8的函数，由为奇函数，则，则，所以，即是偶函数，由，则，结合周期性，对于，依次为，所以是周期为4的函数，则，，，，，，综上，易知时，，时，.所以正整数的最小值为19.故选：B【点睛】关键点点睛：首先确定是周期为8的偶函数，再求相关函数值，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为是关键.28.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【