概率 2025山东各地市一模数学试题分类汇编

概率-山东各地市2025届高三数学一模模拟试题汇编7.（2025·山东潍坊·一模）某学校组织中国象棋比赛，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取3局2胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，根据条件概率计算公式求解.【详解】设甲获胜为事件，甲第一局获胜为事件，则，，所以在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是.故选：D.7.（2025·山师附中·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论.【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率，若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种，所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为，各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为；若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为，若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为，所以.故选：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准.12.（2025·山东威海·一模）已知甲、乙两人投篮命中率分别为，并且他们投篮互不影响现，每人投篮2次，则甲比乙进球数多的概率为__________.【答案】【解析】甲、乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响．现每人分别投篮2次，甲比乙进球数多包含以下两种情况：①甲进1球，乙进0球，概率为：，②甲进2球，乙进1球，概率为：，③甲进2球，乙进0球，概率为：甲比乙进球数多的概率．故答案为：5.（2025·山东淄博·一模）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（）A.0.24 B.1 C.0.5 D.0.52【答案】C【解析】【分析】根据全概率公式，分别计算出第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，以及第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，然后将这两个概率相加，即可得到王同学第二天去餐厅用餐的概率.【详解】已知王同学第一天随机选择一家餐厅用餐，那么去餐厅的概率为（因为只有、两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是）.又已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为（表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去餐厅的概率）.根据条件概率公式（其中、为事件，表示与同时发生的概率），可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：同理，第一天去餐厅的概率为.已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为（表示在第一天去餐厅的条件下，第二天去餐厅的概率）.根据条件概率公式，可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：因为“第一天去餐厅且第二天去餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去餐厅”这两个事件是互斥的（即这两个事件不可能同时发生），所以根据互斥事件的概率加法公式（其中、为互斥事件，表示或发生的概率），可得王同学第二天去餐厅用餐的概率为：故选：C14.（2025·山东淄博·一模）如图，在的方格中，每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）.玩家从起点方格出发，每次可以向右或向下移动一格到达下一格.若遇到含有设置陷阱的方格，则被重置回起点，然后该玩家会寻找未走过的路线继续挑战，直至到达终点.若重置若干次以后始终未能到达终点，则挑战失败.该玩家挑战失败的概率为__________.【答案】【解析】【分析】根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】由题知，玩家从起点方格出发，每次向右或向下移动一格，可以顺利到达终点，即为挑战成功，反之挑战失败.用表示第行第列含有陷阱的方格，则第1行含有陷阱的方格为，第2行含有陷阱的方格为，第3行含有陷阱的方格为，所以每一行随机设置1个陷阱（起点和终点处无陷阱）共有个基本事件，具体如下：，，，，，，，，，，，，玩家挑战失败基本事件有，，，，，，，共个，所以玩家挑战失败的概率为.故答案为：.12.（2025·山东临沂·一模）设随机变量，若，则__________.【答案】【解析】【分析】由正态分布的性质即可得解.【详解】由题意，，所以，解得.故答案为：.13.（2025·山东临沂·一模）2025年春晚，刘谦表演了一个现场互动魔术，道具只有三个：勺子、筷子和杯子.刘谦让观众从左到右随便摆放这三个道具，分为三个位置：左位、中位和右位.假若按照魔术规则只进行前两步：第一步，筷子跟它左边的东西互换位置，如果筷子已经在最左边，那么就不需要移动；第二步，杯子跟它右边的东西互换位置，如果杯子已经在最右边，就不需要移动.完成这两步后，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的概率是__________.【答案】【解析】【分析】由条件概率知识即可求解.【详解】我们不妨把勺子、筷子和杯子的第一个字的拼音的第一个小写英文字母来代替这三个东西，例如代表勺子在左位置，筷子在中位，杯子在右位，一开始状态有六种情况，我们用表示一次调换，那么根据题意有，第一种初始状态下的变换过程为：，第二种初始状态下的变换过程为：，第三种初始状态下的变换过程为：，第四种初始状态下的变换过程为：，第五种初始状态下的变换过程为：，（本质上没有调换），第六种初始状态下的变换过程为：，从以上可以看出来，末状态杯子在右边对应的初始状态有：第一、二、三、五、六种初始状态共5种情况，在杯子出现在右位的条件下，筷子出现在中位的末状态只能是（对应的初始状态是第二种初始状态），故所求概率为.故答案为：.5.（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率.【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，则，，所以.故选：C.15.（2025·山东济宁·一模）为了解高三，1班和2班的数学建模水平，现从两个班级中各随机抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满分100分），成绩如下：数据Ⅰ（高三，1班）：68，80，58，75，65，70，54，90，88，92；数据Ⅱ（高三，2班）：72，55，83，59，56，90，83，52，80，95．（1）求数据Ⅰ（高三，1班）的第80百分位数；（2）从上述成绩在60分以下的学生中随机抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中来自于高三，2班的学生人数为，求的概率分布列和数学期望．【答案】（1）89（2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）将数据从小到大排列，根据百分位数的定义进行求解即可；（2）的所有可能取值为1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列和数学期望.小问1详解】将数据Ⅰ从小到大排列：54，58，65，68，70，75，80，88，90，92，因为，所以数据Ⅰ的第80百分位数为.【小问2详解】数据Ⅰ中60分以下的有54分，58分；数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分；即符合题意共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有4人.可知X的所有可能取值为1，2，3，则，，，所以X的概率分布列为X123P数学期望.15.（2025·山东菏泽·一模）在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：喜欢不喜欢男性4010女性2030（1）依据的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？（2）从这100名样本观众中任选1名，设事件“选到的观众是男性”，事件“选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较和的大小，并解释其意义.，.0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）与性别有关联（2），意义见解析【解析】【分析】（1）提出零假设，并求出，与表中数据对比即可下结论；（2）根据条件概率的计算公式求解即可.【小问1详解】零假设对机器人表演节目的喜欢与性别无关.根据列联表中的数据得，依据的独立性检验，可以推断不成立，即对机器人表演节目的喜欢与性别有关联.【小问2详解】依题意得，，，则意义：该样本中男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的概率比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢概率大；或者男性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢的人数比女性对机器人团体舞蹈表演节目喜欢多等等10.（2025·山东聊城·一模）将四个不同的小球，放入四个编号为、、、的盒子中，每个小球放入各个盒子的可能性都相等，设表示空盒的个数，表示号盒子中小球的个数，则（）A.每个盒子中恰有球的概率为B.事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立C.随机变量的方差为D.随机变量的均值为【答案】BCD【解析】【分析】计算出每个盒子中恰有球的概率，可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；利用二项分布的方差公式可判断C选项；利用随机变量期望公式可判断D选项.【详解】对于A选项，每个盒子中恰有球的概率为，A错；对于B选项，记事件号是空盒，事件号是空盒，则，，所以，，故事件“号是空盒”与事件“号是空盒”不独立，B对；对于C选项，由题意可知，故，C对；对于D选项，由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，则，，，，因此，，D对.故选：BCD.17.（2025·山东烟台·一模）为加强中小学科学教育，某市科协，市教育局拟于2025年4月联合举办第四届全市中小学机器人挑战赛.比赛共设置穿越障碍、搬运物品两个项目.每支参赛队先挑战穿越障碍项目，挑战成功后，方可挑战且必须挑战搬运物品项目.每支参赛队每个项目至多挑战两次，若第一次挑战成功，则获得奖金2000元，该项目不再挑战：若第一次挑战失败，则必须第二次挑战该项目，若第二次挑战成功，则获得奖金1000元，否则，不获得奖金.假设甲参赛队在每个项目中，第一次挑战成功的概率为，第一次挑战失败但第二次挑战该项目成功的概率为；两个项目是否挑战成功相互独立.（1）设事件“甲参赛队两个项目均挑战成功”，求；（2）设比赛结束时，甲参赛队获得奖金数为随机变量，求的分布列；（3）假设本届比赛共有36支参赛队，且根据往届比赛成绩，甲参赛队获得奖金数近似为各参赛队获得奖金数的平均水平.某赞助商计划提供全部奖金，试估计其需提供的奖金总额.【答案】（1）（2）答案见解析；（3）元【解析】【分析】（1）先应用互斥事件概率和公式计算项目挑战成功的概率，再应用概率乘积公式计算即可求解；（2）先求出甲参赛队可能获得的奖金为元的所有可能取值，再应用独立事件概率乘积公式求出每个值所对应的概率，即可求解；（3）先求出甲参赛队可获得奖金的数学期望，再结合参加的队数估计需提供的奖金总额即可.【小问1详解】每个项目挑战成功的概率，则.【小问2详解】甲参赛队获得奖金数为随机变量的所有可能取值为4000，3000，2000，1000，0.；；；；.∴甲获得奖金数的分布列为：40003000200010000【小问3详解】由（2）得出甲参赛队获得奖金数数学期望元，因为假设本届比赛共有36支参赛队，估计其需提供的奖金总额为元33.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）已知两个不透明的袋子中均装有若干个大小，质地完全相同的红球和白球，从袋中摸出一个红球的概率是，从袋中摸出一个红球的概率是．在每轮中，甲同学先选择一个袋子摸一次球并放回，乙再选择一个袋子摸一次球并放回，则该轮结束．已知在每轮中甲选两袋的概率均为．如果甲选袋，则乙选袋的概率为；如果甲选袋，则乙选的概率为．（1）若，求在一轮中乙从袋中摸出红球的概率；（2）求在一轮中乙摸出红球的概率；（3）若甲，乙两位同学进行了3轮摸球．乙同学认为，越大，3轮摸球后他摸出2个红球的概率越大，你同意他的观点吗？请说明理由．【答案】（1）（2）（3）不同意乙的观点，理由见解析【解析】【分析】（1）先利用全概率公式求出乙从袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可；（2）利用全概率公式求解即可；（3）由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布，利用二项分布的概率公式可得3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为，令，利用导数求最大时，的值即可.【小问1详解】设“甲从袋中摸球”，“乙从袋中摸球”，“乙摸出的是红球”，由全概率公式知，乙从袋中摸球的概率，所以在一轮中，乙从袋中摸出红球的概率为．【小问2详解】在一轮中，乙摸出红球的概率．【小问3详解】由题意知3轮摸球后摸出红球的个数服从二项分布，则3轮摸球后乙摸出2个红球的概率为，设，则，令，解得，则当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，3轮摸球后乙摸出2个红球的概率最大，所以不同意乙的观点．34.（2025·山东齐鲁名校大联考·一模）已知某种业公司培育了新品种的软籽石榴，从收获的果实中随机抽取了50个软籽石榴，按质量（单位：g）将它们分成5组：，，，得到如下频率分布直方图．（1）用样本估计总体，估计该品种石榴质量的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在样本中从质量在区间上的石榴中按分层随机抽样抽取7个石榴进行检测，再从中抽取3个石榴作进一步检测．（ⅰ）已知抽取的3个石榴不完全来自同一区间，求这3个石榴恰好来自不同区间的概率；（ⅱ）记这3个石榴中质量在区间上的个数为，求的分布列与数学期望．【答案】（1）416g．（2）（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由平均数的计算公式求解即可；（2）（ⅰ）先确定上的石榴个数分别为2，2，3．再结合古典概型及条件概率计算公式求解即可；（ⅱ）确定的所有可能取值，再求得对应概率即可求解；小问1详解】由题意知这50个软籽石榴质量的平均数为，所以估计该品种石榴质量的平均数为416g．【小问2详解】由题意知这7个石榴中，质量在区间上的频率之比为，所以抽取的质量在区间上的石榴个数分别为2，2，3．（ⅰ）记事件“抽取的3个石榴不完全来自同一区间”，事件“这3个石榴恰好来自不同区间”，则，，所以，即所求概率为．（ⅱ）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，所以的分布列为0123所以．19.（2025·山东潍坊·一模）维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中．（1）若，，且点，，写出所有的点的坐标；（2）任取维空间中的不同两点．（i）若，求的概率；（ii）记随机变量，求的取值范围．【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）根据新定义，列出方程，求解即可；（2）（i）根据新定义、组合、古典概型求解即可；（ii）根据概率、组合数的性质，结合导数化简，求出，再作差比较法判断单调性，利用单调性确定取值范围即可.【小问1详解】由定义可知，即，且，所以解得满足方程的B点坐标为：【小问2详解】（i）（固定点P）：设点,因为，因为或1，或1，所以中有两项等于0，两项等于1，所以满足条件的所有可能情况有，因为两不同点所有可能情况共有种，所以的概率.（ii）设随机变量,其中因为，所以，因为，两边同时求导，得，上式两边同乘,求导得，令，得，所以，因为，所以单调递减，因为，所以.18.（2025·山师附中·一模）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．（1）若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望；（2）若每局比赛甲获胜概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了n局比赛且甲胜了13局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．（3）若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明．【答案】（1）分布列见解析，（2）21（3）单调增，证明见解析【解析】【分析】（1）讨论极端情况，若刚开始连胜，则局结束，若一直没有连胜，则最多比赛局，再具体讨论每种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可解决；（2）每场比赛是相互独立的，则服从二项分布，求出，再求最值即可；（3）该模型符合马尔科夫链，得出和之间的递推关系即可判断.【小问1详解】（1）由比赛规则可知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛次数不会超过5；由比赛规则可知，若比赛共进行了n局，（），即随机事件“第i局比赛中甲获胜”，，，，．于是X的分布列为：X2345P故；【小问2详解】（2）易得，，，记，则，由，得，即，；，，故时，最大，所以n的估计值为21．【小问3详解】在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，则由已知，所以单调增15.（2025·山东青岛·一模）为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时.（1）在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率；（2）用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差.【答案】（1）（2）期望为，方差为【解析】【分析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值；（2）分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式即可得解.【小问1详解】记事件抽取人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，则，，，，由全概率公式可得，由条件概率公式可得.因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为.【小问2详解】从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为，由题意可知，所以，，.16.（2025·山东威海·一模）现有4种类别的图书共7本，其中有2本数理科学类，3本中外文学类，政治法律类，医药卫生类各1本.（1）把7本图书随机摆成一排，求数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻的概率；（2）从7本图书中随机抽取4本，设4本图书所属的类别数为，求的分布列及期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为【解析】【1】记事件：数理科学类的图书相邻，中外文学类的图书互不相邻，则.【2】的可能取值为，，，，∴的分布列为234∴.17.（2025·山东泰安·一模）为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，两队均由两台机器人组成.比赛要求每轮两局，每局比赛两队需派不同机器人多赛，每局比赛获胜得1分，否则得0分.设每轮比赛中各局结果互不影响，各轮结果也互不影响.已知甲队机器人每局比赛获胜的概率分别为.（1）设前两轮比赛中甲队得3分为事件A，前两轮比赛中机器人得2分为事件，求；（2）受机器人电池蓄航能力影向，本次比赛最多进行10轮，规定当一队得分比另一队得分多2分时比赛结束.设比赛结束时共进行了轮，求的数学期望.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据独立事件互斥事件的概率公式可得，然后利用条件概率公式求解即可；（2）根据独立事件的概率公式和期望公可得，然后利用错位相减数列求和公式求解即可【小问1详解】设前两轮比赛中得分为事件得分为事件，，，由题