离散数学及其应用-第2版 第1-2章部分习题答案

PAGE12PAGE第1章习题答案说明下列语句哪些是命题及命题的真值？（1）(2)(5)(7)(8)(9)(10)(11)是命题，其中（1）（5）（8）（10）是真命题，（9）的真值现在不知道。将下列命题符号化。其中小王聪明，小王用功。其中天气很冷，下雪。其中晚上有英语课，晚上有数学课。其中你年满14岁，你身高超过1.4米，你坐过山车。，其中产量上升，工资提高。，其中销量下降，价格上涨。，其中你给我发个电子邮件，我有你的邮件地址。，其中两个三角形全等，它们的三条对应边相等。其中阳光充足，在夏天，下雨，我去游泳。，其中热带风暴来临，下大雨。（1）小王至少会讲汉语或英语的一种。（2）小王会讲汉语和英语(3)小王会讲汉语但不会英语（4）小王不会讲汉语或不会讲英语。（5）小王会讲汉语。（6）小王既不会讲汉语也不会讲英语是不可能的。设命题p:天下雨，q：我去打球，r:我有空。用自然语言写出下列命题。（1）如果我去打球，那么一定是我有空且天没下雨；我有空且天没下雨我就一定去打球。若天下雨或我有空我就去打球。(qr)˄(rq)天下雨或我有空那是不可能的。设命题p:这个材料很有趣；q:这些习题很难；r:学生喜欢这门课。（1）（2）（3）（4）（5）构造下列各题的真值表，写出成真赋值和成假赋值。(pq)q的真值表pqqpq(pq)q00110010011011011011成真赋值为：01，11；成假赋值为00,10.pqr的真值表pqrpqrpqr000011001000010011011000100011101000110111111101成真赋值为000；010；100；110；111.成假赋值为001；011；101.(pq)(pq)的成真赋值pqppqpq(pq)(pq)001100011111100010110111成真赋值为01；11.成假赋值为：00；10.(pq)(q)(q(rp))((qp)r))pqrqqp(qp)rrpq(rp)q(rp))((qp)r000101101001100011010010111011011001100110100101111101110010111111011111成假赋值为100，成真赋值为001；010；011；101；110；111.设p、q的真值为0，r、s的真值为1，求下列命题的真值。p(q˄r)(p˄(rs))((pq)˄(r˄s))(pq)˄(r˄s)(p(q(r˄p)))(rs)用真值表法或公式法证明下列等价关系式。（1）p(pq)p证明：真值表法;pqpqp(pq)p(pq)p00001010011001111111由于p(pq)p永真，所以p(pq)p。（2）p(qr)(pq)(pr)证明：列真值表pqrqrp(qr)pqpr(pq)(pr)0000000000110000010100000111000010000000101110111101110111111111由表中p(qr)和(pq)(pr)对应的列知道，p(qr)(pq)(pr)。（3）(pr)(qr)(pq)r证明：(pr)(qr)(¬p∨（4）pq(pq)(pq)证明：pq（5）(pq)pq证明：(pq)¬(p∧¬q∨¬p∧q)⇔设A、B、C为任意的三个命题公式，下面的结论是否正确？（1）不成立，例如但不成立。（2）若A˄CB˄C，则AB（3）成立简化下列命题公式。((pq)(qp))˄r(p˄q˄r)(p˄q˄r)(p˄q˄r)(p˄q˄r)((pq)˄p˄r)r(pr)(pq)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=甲、乙、丙、丁4人中有且仅有2人参加羽毛球比赛。关于谁参加比赛，下列4种判断都是正确的：甲和乙只有一人参加丙参加，丁必参加乙或丁至多参加一人丁不参加，甲也不参加问哪两个人参加了比赛？解：设：P：甲，q:乙r：丙s：丁四个判断符号化为：(pq)(pq)rsqssp(pq)(pq)(rs)(qs)(sp)(pq)(pq)(rs)(qs)(sp)（11xx,00xx,xx10,x1x1,1xx0）（1100,1101,1110,1111,0000,0001,0010,0011,0110,1010,0101,0111,1000,）（12,13,14,15,0,1,2,3,6,10,5,7,8）(4,9,11)(pqrs)(pqrs)(pqrs)因为仅有2人参加羽毛球比赛，所以pqrs为真，即甲和丁参加比赛。判断下列命题公式的类型。((pq)(qr))(pr)(pq)pq(pr)(pq)((pq)r)((pr)(qr))(pq)(pq)解：((pq)(qr))(pr)证明：pqrpqqr(pq)(qr)pr((pq)(qr))(pr)0001111100111111010100110111111110001001101010111101000111111111从真值表看出，该公式是永真式。(pq)pq原式该公式是矛盾式。(pr)(pq)(pr)(pq)当，公式真值为0；当时，公式真值为1，该公式为可满足式。((pq)r)((pr)(qr))永真式(pq)(pq)(pq)(pq)该公式为矛盾式。一个排队线路，输入为A，B，C，其输出分别为FA，FB，FC。在同一时间内只能有一个信号通过。如果同时有两个或两个以上信号通过时，则按A，B，C的顺序输出。例如，A，B，C同时输入时，只能FA有输出。写出FA，FB，FC的逻辑表达式。解：FA=AFB=(ØAÙBÙØC)Ú(ØAÙBÙC)FC=ØAÙØBÙC设计一个符合如下要求的室内照明控制线路：在房间的门边、门内及床头分别装控制同一个电灯F的3个开关A，B，C。当且仅当一个开关的打开或3个开关都打开时电灯亮。写出F的逻辑关系式，并画出实现这个逻辑关系的最简单的逻辑电路。解：设：开关开为“1”，关为“0”。电灯亮F为“1”。真值表为：ABCF00001001010111000011101001101111因此F的逻辑关系式为：F=(A⋀¬B⋀¬C)⋁(¬A⋀B⋀¬C)⋁(¬A⋀¬B⋀C)⋁(A⋀B⋀C)ÛAÅ(BÅC)电路图为：化简为：FÛAÅ(BÅC)求下列命题公式的主析取范式和主合取范式。（1）(pq)(pr)解：(pq)(pr)所以，主合取范式为，主析取范式为。（2）(p(pr))(pq)解：(p(pr))(pq)主合取范式为，主析取范式为（3）(qr)(pq)解：(qr)(pq)主合取范式为，主析取范式为（4）主析取范式：=主合取范式：=（5）(pq)r解：(pq)r⇔¬(p主合取范式为主析取范式为证明下列蕴涵关系式成立。（1）p(pq)q解：p(pq)q所以，p(pq)q为永真式，p(pq)q。（2）(pq)(pr)(qr)r解：(pq)(pr)(qr)r所以，(pq)(pr)(qr)r。（3）(p(qr))(q(rs))p(qs)解：(p(qr))(q(rs))（p(qs)）m110xmx110m0xxxmx0xxmxxx11（4）(pq)pq证明：当为1时，从而也是1，因此，(pq)pq。（5）(pq)(pq)当pq为1时，从而pq=0，(pq)=1.因此，(pq)(pq)。证明sq是pq，pr，rs的有效结论。步骤公式理由1s附加前提2r前提3¬r∨¬s置换4¬r1，35¬p→r前提6p∨r置换7p4，68¬p∨¬q前提9¬q用公式法验证下列论断是否有效。pq,r˄s,qp˄s不是P=F，S=Tp,qr,rsqs不是P=T，Q=T,r=T,S=F(p˄q),qr,rp是q˄r,p˄r,qpr是pr,qs,r(s˄p)sp不是证明前提“若天气不下雨或天气不起雾，则举行游泳比赛和跳水表演；若举行游泳比赛，则颁发奖品；没有颁发奖品。”可以推出结论：“天气下雨”。证明;设若天气下雨;天气起雾;举行游泳比赛;举行跳水表演；颁发奖品；则前提：结论：证明：（1）p否定结论引入（2）pq附加（3）pq（rs）前提引入（4）rs（2）（3）假言推理（5）r（4）花简（6）rt前提引入（7）t前提引入（8）r（6）（7）拒取矛盾。因此推论成立。20.符号化下面的论断，并用构造法验证论断是否有效。如果6是偶数，则2不能整除7；或者5不是素数，或者2整除7；5是素数，因此，6是奇数。证明;设p:6是偶数，q:2能整除7；r:5是素数.则前提：pq,rq,r结论：p证明：（1）rq,前提引入（2）r前提引入（3）q(1)(2)(4)pq前提引入(5)p（3）（4）如果今天是星期六，我们就去公园或去爬山；如果公园人太多，我们就不去公园；今天是星期六，公园人太多，所以我们去爬山。证明;设p:今天是星期六;q:我们去公园;r:我们去爬山；s:公园人太多.前提：：pqr;sq;s;p;结论：r.证明：（1）sq前提引入（2）s前提引入（3）q（1）（2）推理（4）pqr前提引入（5）p前提引入（6）pqr前提引入（7）qr（5）（6）推理（8）r(3)(7)推理第2章习题答案令P(x)表示“x5”，下列各式的真值是什么？（1）真值为假(2)真值为真(3)真值为真，若个体域是整数集，令P(x，y)表示x+y=0，下列公式中哪些公式的值为真？(1)真值为假(2)真值为真(3)真值为假(4)真值为真(5)真值为假(6)真值为假(7)真值为真(8)真值为真令L(x,y)表示"x喜欢y,"个体域为所有人的集合。用谓词和量词表示下面的命题。解：(1)xyP(x，y)(2)xyP(x，y)(3)xyP(x，y)(4)xP(x，a)(5)xyP(y，x)(6)yxP(x，y)(7)xyP(x，y)将下列命题用谓词逻辑符号化。设聪明；用功；小王；则命题符号化为：设给发过电子邮件，给打过电话；小王；小李。则命题符号化为：.只要你给我发个电子邮件，我就有你的邮件地址。设给发电子邮件；有的地址。a:你b：我则命题符号化为：P(a,b)→Q(b,a)所有的人都要参加体育锻炼。设参加体育锻炼；是人。则命题符号化为：。这个班有些学生选修了计算机专业的一些课程。设是计算机专业；是这个班的；是学生；是课程；:选修课程。则命题符号化为：。并非所有的智能工作都能由计算机来完成。智能工作；能有计算机完成；则命题符号化为：。有些物品价格上涨，但不是所有物品的价格都上涨。设是物品；价格上涨；则命题符号化为：这个班有人给班上其他人都发过电子邮件。设是这个班的；；给发电子邮件；则命题符号化为：不是每个大于1的自然数都是某个自然数的平方。设大于；是自然数；是的平方；则命题符号化为：任何自然数都有唯一的后继数。是自然数；不是是的后继数；则命题符号化为：假定个体域为一个大学的所有学生的集合，令F(x)：“x是新生”,M(x)：“x是计算机专业的学生”.说明下面的每一个谓词逻辑表达式表示了下列三个命题的哪一个？a)(3)b)(2)c)(3)d)(2)e)(1)f)(1)g)(3)h)(1)将下列命题符号化，个体域是实数集合R，指出各命题的真值。解答：真值为真。真值为假。真值为真。真值为真。真值为真。真值为假。真值为真。真值为真。假定命题函数P(x,y)的个体域是{1,2,3}.

用析取和合取联结词表示下列命题。P(1,2)P(2,2)P(3,2)P(3,1)P(3,2)P(3,3)P(1,1)P(1,2)P(1,3)P(2,1)P(2,2)P(2,3)P(3,1)P(3,2)P(3,3)P(1,1)P(1,2)P(1,3)P(2,1)P(2,2)P(2,3)P(3,1)P(3,2)P(3,3)[P(1,1)P(1,2)P(1,3)][P(2,1)P(2,2)P(2,3)][P(3,1)P(3,2)P(3,3)][P(1,1)P(2,1)P(3,1)][P(1,2)P(2,2)P(3,2)][P(1,3)P(2,3)P(3,3)]给定解释I如下：个体域为实数集R；元素a=0R中特定的函数f(x,y)=x−y；R中特定的谓词F(x,y)：x=y，G(x,y)：x<y。在解释I下，求下列各式的真值。xG(f(a,x),a)xy(G(f(x,y),a)F(x,y))xy(F(x,y)G(x,y))xy(F(f(x,y),a)G(x,y))解答：（1）x((0-x)<0)，真值为0（2）xy((x-y<0)(x=y))真值为0（3）xy((x=y)(x<y))真值为1（4）xy((x-y=0)(x<y))真值为0给定解释I如下：(屈68)个体域为D={-2,3,6}；D上特定谓词：F(x)：x3，G(x)：x>5，R(x)：x7.在解释I下，求下列各式的真值。x(F(x)˄G(x))x(R(x)F(x))˄G(5)x(F(x)G(x))解答：x((x3)˄(x>5)),真值为0x((x7)(x3))˄0,真值为0x((x3)(x>5)),真值为1判断下列各式的类型。xyF(x,y)(G(x,y)xyF(x,y))该公式为永真式。x(F(x)F(x))y(G(y)˄G(y))100该公式为永假式。yxF(x,y)xyF(x,y)证明：设I为任意的解释，则若在I下，前件yxF(x,y)为假，yxF(x,y)xyF(x,y)在I下为真。若在I下，前件yxF(x,y)为真，则存在为真,必对于任意为真，为真，从而为真。由I的任意性，yxF(x,y)xyF(x,y)是永真式。xyF(x,y)xyF(x,y)证明：设为：整数集Z;F(x,y):.则在下，前件xyF(x,y)为真，而后件xyF(x,y)为假，xyF(x,y)xyF(x,y)在下为假。设为：整数集Z;F(x,y):.在下，前件xyF(x,y)为假，后件xyF(x,y)为假，xyF(x,y)xyF(x,y)在下为真。综上所述，xyF(x,y)xyF(x,y)既不是永真式，也不是永假式，是可满足式。xy(F(x,y)F(y,x))证明：（a）设为：整数集Z;F(x,y):.则在下，xy(F(x,y)F(y,x))为假。（b）设为：整数集Z;F(x,y):.则若在下，xy(F(x,y)F(y,x))为真。综上所述，公式D既不是永真式，也不是永假式，它是可满足式。(xF(x)yG(y))yG(y)证明:(xF(x)yG(y))yG(y)该公式为矛盾式。(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))证明：证明：(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))（a）设为：整数集Z;F(x):是偶数，是奇数.则若在下，前件xF(x)xG(x)为真，后件为假，从而(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))为假。（不对，后件应为真，公式真值为真）（2）设为：整数集z;F(x):.则若在下，前件为真，后件也真，因此(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))为真。这是永真式。(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))证明：（a）设为：整数集Z;F(x):是偶数，是奇数.则若在下，前件xF(x)xG(x)为真，后件x(F(x)G(x))为假，从而(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))为假。（b）设为：;F(x):.则若在下，前件为真，后件也真，因此(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))为真。综上所述，(xF(x)xG(x))x(F(x)G(x))既不是永真式，也不是永假式，它是可满足式。证明xyP(x,y)和xyP(x,y)有相同的真值。证明:xyP(x,y)x(yP(x,y))xyP(x,y)证明xP(x)xQ(x)和x(P(x)Q(x))逻辑不等价。证明：设为：整数集Z;F(x):是偶数，是奇数.则在解释下，xP(x)xQ(x)的真值为真，而x(P(x)Q(x))的真值为假，因此，两者不等价。证明xP(x)xQ(x)和xy(P(x)Q(y))是逻辑等价的。证明：xP(x)xQ(x)xP(x)yQ(y)x（P(x)yQ(y)）xy(P(x)Q(y))指出下列公式中每个量词的作用域，并指出个体变量是约束变量还是自由变量。xy(P(x，y)Q(y，z))yR(x，y)解：量词∀x，∀y量词∃y的作用域为Px,y∨Qy,z中x,y,R(x,y)中x是自由变元,yx(x=yx2+x5xz)x=5y2解：量词∃x的作用域是xx=y∧x2x=5y2求下列公式的前束范式。(1)xP(x)yQ(x，y)解：xP(x)yQ(x，y)xP(x)yQ(x，y)zP(z)yQ(x，y)zy[P(z)Q(x，y)]所以，zy[P(z)Q(x，y)]为所求的前束范式。(2)xP(x)xQ(x)解：xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x)）x(P(x)Q(x)）为所求的前束范式。(3)xP(x)xQ(x)解：xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)yQ(y)xy(P(x)Q(y))所以，xy(P(x)Q(y))为所求的前束范式。(4)x(P(x，y)Q(z))x(R(z)yS(x，y，z))解：x(P(x，y)Q(z))x(R(z)yS(x，y，z))u(P(u，y)Q(z))x(R(z)tS(x，t，z))uxt(P(u，y)Q(z)R(z)S(x，t，z))所以，uxt(P(u，y)Q(z)R(z)S(x，t，z))为所求的前束范式。(5)xP(x)y(P(y)Q(y，z))wR(y，z，w))解：xP(x)y(P(y)Q(y，z))wR(y，z，w))xP(x)u(P(u)Q(u，z))wR(y，z，w))xu(P(x)(P(u)Q(u，z)))wR(y，z，w))xuw[(P(x)(P(u)Q(u，z)))R(y，z，w))]所以，xuw[(P(x)(P(u)Q(u，z)))R(y，z，w))]为所求的前束范式。证明下列蕴含关系式成立。1)证明：（1）xP(x)前提引入(2)P(a)（1）EI(3)x(P(x)(Q(y)R(x))前提引入（4）P(a)Q(y)R(a)(1)UI(5)Q(y)R(a)(2)(4)假言推理（6）R(a)(5)化简（7）P(a)R(a)（2）（6）合取（8）x(P(x)R(x))（7）EG2)证明：（1）x(P(x)Q(x))前提引入(2)P(a)Q(a)（1）UI(3)xQ(x)前提引入（4）Q(a)(3)UI(5)P(a)(2)(4)拒取式(6)xP(x)(5)EG3)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x))证明：xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x))4）证明:（1）xP(x)x((P(x)Q(x))R(x))前提引入（2）xP(x)前提引入(3)P(a)(2)EI(4)P(a)Q(a))(3)附加（5）x((P(x)Q(x))R(x))（1）（2）假言推理（6）(P(a)Q(a))R(a)(7)R(a)(4)(6)推理(8)xR(x)（7）EG（9）yR(y)（3）EG（10）xR(x)yR(y)(7)(8)合取(11)xy(R(x)R(y))(10)量词的辖域扩大与收缩5)x(P(x)Q(x))y(R(y)S(y))，y(R(y)S(y))x(P(x)Q(x))证明：（1）y(R(y)S(y))前提引入（2）y(R(y)S(y))（1）等价（3）y(R(y)S(y))（2）等价（4）x(P(x)Q(x))y(R(y)S(y))前提引入（5）x(P(x)Q(x))（3）（4）拒取式（6）x(P(x)Q(x))（5）等价6）证明：利用CP规则（1）xP(x)附加前提（2）P(y)（3）UI(3)x(P(x)Q(x))前提引入(4)P(y)Q(y)（1）UI(5)Q(y)(2)(4)假言推理(6)xQ(x)（5）UG7)x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)证明：因为xP(x)xQ(x)xP(x)xQ(x)证明x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)，即是证明x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)证明：利用CP规则（1）xP(x)附加前提（2）xP(x)(1)等价（3）P(c)(2)EI（4）x(P(x)Q(x))前提引入（5）P(c)Q(c)（4）UI（6）Q(c)（3）（5）析取三段论（7）xQ(x)(6)EG8)xy(P(x)Q(y))xP(x)yQ(y)证明：xy(P(x)Q(y))x(P(x)yQ(y))xP(x)yQ(y)xP(x)yQ(y)指出下列推导中的错误，并加以改正。x(P(x)Q(yx))前提引入P(c)Q(c)（1）UIxP(x)前提引入P(c)（3）EIQ(c)（4）（2）假言推理xQ(x)（5）EG解：在第（4）步不能使用EI规则，因为c代入P(x)的P（c）不一定为真。改正为：xP(x)前提引入P(c)（1）EIx(P(x)Q(yx))前提引入P(c)Q(c)（3）UIQ(c)（2）（4）假言推理xQ(x)（5）EG构造下列推理的证明。证明：（1）（2）（1）UI（3）前提引入（4）（3）UI（5）(6)(5)化简（7）（5）化简（8）（4）（7）合取(9)（8）EG(10)(6)(9)合取证明：利用cp规则证明。（1）附加前提（2）前提引入（3）(1)EI（4）（1）（2）假言推理（5）（4）UI（6）（3）附加（7）（6）（5）假言推理（8）（6）EG证明(3)：(1)前提引入（2）(1)EI(3)(4)（5）（2）（4）推理（6）（5）化简（7）（2）（6）合取（8）（7）EG说明下列推理是否是逻辑有效的。所有的好书定价都高，没有一本书定价高。所以没有一本书是好书。解：设是好的；Q(x)：x是定价高；是书；则前提为：x(P(x)Q(x))，x(R(x)Q(x));结论是：x(P(x)R(x))用反证法证明，过程如下：x(P(x)R(x))否定结论引入P(c)R(c)(1)EIP(c)(2)化简x(P(x)Q(x))前提引入(5)P(c)Q(c)(4)uI(6)Q(c)(3)(5)推理(7)R(c)（2）化简(8)R(c)Q(c)(6)(7)合取（9）x(R(x)Q(x))（8）EG这里（9）与前提矛盾，所以，结论成立。推理是逻辑有效的（2）本班有人上网，所有上网的人都发过e-mail。所以本班有人发过e-mail。证明：设是本班的；Q(x)：x发e-mail；上网；则前提为：x(P(x)R(x)),x(R(x)Q(x));结论是：x(P(x)Q(x))证明：（1）x(P(x)R(x))前提引入（2）P(a)R(a)(1)EI(3)x(R(x)Q(x))前提引入（4）R(a)Q(a)（3）UI(5)R(a)(2)化简(6)Q(a)(4)(5)假言推理（7）P(a)(2)化简(8)P(a)Q(a)（6）（7）合取(9)x(P(x)Q(x))（8）EG推理是逻辑有效的（3）不是逻辑有效的。P(x):x是舞蹈者Q(x):x是学生M(x):x很有风度条件：∀x(Px→M(x))结论：∃x(P显然不能推出。符号化下列命题，并推证其结论。这个班的学生小李有电脑。每个有电脑的人都可以上网。所以这个班有学生上网。证明：设是本班的学生；Q(x)：x有电脑；上网；a:小李；则前提为：p(a)Q(a),x(Q(x)R(x));结论是：x(P(x)R(x))证明：（1）x(Q(x)R(x))前提引入（2）Q(a)R(a)(1)UI（3）p(a)Q(a)前提引入（4）Q(a)（3）化简（5）p(a)（3）化简(6)R(a)（2）（4）推理（7）p(a)R(a)(5)(6)合取(8)x(P(x)R(x))（7）EG这个班有个学生喜欢海洋生物，每个喜欢海洋生物的人都关心海洋污染。所以这个班有学生关心海洋污染。证明：设是这个班的学生；Q(x)：x喜欢海洋生物；关心海洋污染；a:某学生则前提为：p(a)Q(a),x(Q(x)R(x));结论是：x(P(x)R(x))证明：（1）x(Q(x)R(x))前提引入（2）Q(a)R(a)(1)UI（3）p(a)Q(a)前提引入（4）Q(a)（3）化简（5）p(a)（3）化简(6)R(a)（2）（4）推理（7）p(a)R(a)(5)(6)合取(8)x(P(x)R(x))（7）EG（3所有的自然数都是整数，某些自然数是偶数。所以某些整数是偶数。证明：设是自然数；Q(x)：x是整数；是偶数；则前提为：x(P(x)Q(x));x(P(x)R(x))结论是：x(Q(x)R(x))证明：(1)x(P(x)R(x))前提引入（2）p(a)R(a)（1）EI(3)x(P(x)Q(x))前提引入（4）p(a)Q(a)(1)UI（5）p(a)（2）化简(6)Q(a)（4）（5）推理（7）R(a)（2）化简（8）Q(a)R(a)(6)(7)合取(9)x(Q(x)R(x))（8）EG（4）所有的自然数都是整数，任一整数不是奇数就是偶数，并非每个自然数都是偶数。所以，某些自然数是奇数。证明：设是自然数；Q(x)：x是整数；是偶数；是奇数；则前提为：x(P(x)Q(x));x(Q(x)R(x)S(x))；x(P(x)R(x));结论是：x(P(x)S(x))证明：(1)x(P(x)R(x))前提引入(2)x(P(x)R(x))(1)等值演算（3）(P(a)R(a))（2）EI（4）(P(a)R(a))（3）等值演算(5)P(a)R(a)（4）等值演算(6)P(a)（5）化简规则(7)x(P(x)Q(x))前提引入（8）p(a)Q(a)(7)UI(9)Q(a)（6）（8）假言推理(10)x(Q(x)R(x)S(x))前提引入(11)Q(a)R(a)S(a)（10）UI(12)R(a)S(a)（9）(11)假言推理(13）R(a)（5）化简(14)S(a)（12）(13)析取三段