2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系（1）教学教学实录 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系（1）教学教学实录新人教A版必修4课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、设计意图本节课将结合新人教A版必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系（1）的内容，通过引导学生探究和发现三角函数的基本关系，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。教学设计将紧密结合课本内容，通过实际问题引导学生深入理解同角三角函数的基本关系，提高学生的数学素养。二、核心素养目标1.培养学生数学抽象能力，通过探究三角函数的基本关系，理解数学模型与实际问题的联系。

2.提升学生逻辑推理能力，通过证明三角函数关系式，发展学生的演绎推理思维。

3.强化学生数学建模意识，将实际问题转化为数学模型，解决数学问题。

4.增强学生数学运算能力，熟练运用三角函数关系式进行计算。三、学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生进入高中阶段，已具备初中数学的基本知识，包括实数、函数、方程等，对于函数的性质和图像有初步的理解。此外，他们应该已经接触过基本的三角函数概念，如正弦、余弦、正切等及其简单性质。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

学生对数学的学习兴趣因人而异，一部分学生可能对数学充满热情，喜欢挑战复杂的数学问题；而另一部分学生可能对数学持有怀疑或恐惧态度。学生在能力上表现出一定的差异，一些学生在抽象思维和逻辑推理方面表现出色，而有些学生在实际操作和运算技能上更加熟练。学习风格方面，有的学生偏好通过直观图像理解概念，有的则更倾向于逻辑推理和符号操作。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在学习同角三角函数的基本关系时，可能遇到以下困难：一是对函数概念的理解不够深入，难以将新学知识与已有知识体系相融合；二是逻辑推理能力不足，难以理解和证明三角函数关系式；三是运算技能不熟练，难以准确计算和推导三角函数值。此外，部分学生可能对抽象的数学符号感到不适应，需要通过具体实例和直观图形来帮助理解和记忆。四、教学资源-软硬件资源：电子白板、笔记本电脑、投影仪

-课程平台：学校教学管理系统、在线教育平台

-信息化资源：三角函数关系图、三角函数关系式动画演示、相关数学软件（如MATLAB、GeoGebra）

-教学手段：实物教具（如直角三角形模型）、多媒体课件、学生练习册五、教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

例如，要求学生预习三角函数的基本概念和基本关系式，并尝试自己推导正弦、余弦、正切之间的关系。

-设计预习问题：围绕“同角三角函数的基本关系”，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

例如，提出问题：“如何证明sin²θ+cos²θ=1？”

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

例如，通过平台查看学生的预习笔记和提交的问题，了解学生的预习情况。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解三角函数的基本关系。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

例如，学生提交自己推导出的三角函数关系式和证明过程。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出“同角三角函数的基本关系”，激发学生的学习兴趣。

例如，通过展示不同角度的钟表指针位置，引入三角函数的概念。

-讲解知识点：详细讲解三角函数的基本关系，结合实例帮助学生理解。

例如，通过演示如何利用三角函数关系式解决实际问题。

-组织课堂活动：设计小组讨论、角色扮演、实验等活动，让学生在实践中掌握三角函数的应用。

例如，小组合作解决实际问题，如计算建筑物的高度或斜坡的长度。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

例如，解答学生在推导三角函数关系式时遇到的问题。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、角色扮演、实验等活动，体验三角函数知识的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解三角函数的基本关系。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握三角函数的应用。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据“同角三角函数的基本关系”，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

例如，布置证明三角函数关系式或解决实际问题的作业。

-提供拓展资源：提供与三角函数相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

例如，推荐相关的数学竞赛网站或在线课程。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

例如，指出学生在解题过程中的错误，并提供正确的解题思路。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

例如，反思自己在解题过程中的错误，并思考如何改进。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

-信息技术手段：利用在线平台、学校图书馆等资源进行拓展学习。

作用与目的：

-帮助学生深入理解三角函数的基本关系，掌握三角函数的应用。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

-通过课后拓展学习，巩固学生的知识，提高学生的数学素养。六、教学资源拓展1.拓展资源：

（1）三角函数的历史与发展

介绍三角函数的起源，从古埃及和巴比伦的天文学到古希腊的几何学，再到现代数学的发展。探讨三角函数在不同文化背景下的应用，如古代的天文测量、航海导航等。

（2）三角函数的数学性质

深入研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性等性质，以及它们在实际问题中的应用。例如，正弦函数和余弦函数在描述周期性现象（如季节变化、波浪运动）中的应用。

（3）三角函数的图像与图形

研究三角函数的图像特点，包括振幅、周期、相位移等，以及如何通过图像理解函数的性质。介绍三角函数的图形变换，如平移、伸缩、旋转等。

（4）三角函数的应用实例

列举三角函数在各个领域的应用实例，如物理、工程、医学、经济学等，展示三角函数在解决实际问题中的价值。

2.拓展建议：

（1）阅读推荐

-《三角函数及其应用》

-《数学之美：三角函数》

-《数学与生活：三角函数的实际应用》

（2）在线课程与视频

-国家精品在线开放课程：三角函数基础

-在线教育平台上的三角函数相关视频教程

（3）数学竞赛与活动

-参加数学竞赛，如全国中学生数学联赛、美国数学竞赛等，提升解题技巧。

-参与学校或社区组织的数学讲座、研讨会，拓宽知识面。

（4）实践活动

-设计并实施一个与三角函数相关的实验，如测量物体的角度、分析声音的波形等。

-利用数学软件（如MATLAB、GeoGebra）进行三角函数图像的绘制和分析。

（5）小组合作项目

-小组合作完成一个与三角函数相关的项目，如设计一个基于三角函数的电子游戏、制作一个关于三角函数科普的短片等。

（6）课外阅读与思考

-阅读有关三角函数的历史书籍，了解其发展历程。

-思考三角函数在现代社会中的重要性，以及如何将其应用于实际问题中。七、反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.结合实际情境教学：在讲解三角函数的基本关系时，我会尝试将抽象的数学概念与学生的日常生活相结合，比如通过分析音乐节拍、建筑物的设计等，让学生在具体的情境中理解三角函数的应用。

2.引入探究式学习：我会设计一些探究性的问题，让学生通过小组合作、实验探究等方式，主动发现和验证三角函数的基本关系，而不是单纯地接受知识。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生对抽象概念的理解不足：在教学中，我发现有些学生对三角函数的基本关系式理解不够深入，这可能是由于他们对数学抽象概念的理解能力有限。

2.课堂互动不足：有时候，课堂上的互动不够活跃，学生参与度不高，这可能是因为我没有充分调动学生的积极性，或者教学方式不够吸引人。

3.评价方式单一：目前主要依靠作业和考试来评价学生的学习效果，这种方式可能无法全面反映学生的学习过程和实际能力。

反思改进措施（三）

1.加强概念教学：为了帮助学生更好地理解抽象概念，我计划在教学中加入更多的直观教学工具，如几何图形、动画演示等，以帮助学生建立直观的数学模型。

2.提高课堂互动性：我会尝试采用更多的互动式教学方法，如小组讨论、角色扮演等，鼓励学生提问和表达自己的观点，从而提高他们的参与度。

3.丰富评价方式：除了传统的作业和考试，我会引入更多的评价方式，如课堂表现、小组合作项目、个人反思报告等，以更全面地评估学生的学习成果。

4.强化实践应用：通过设计一些实际问题的解决活动，让学生在实践中应用三角函数知识，提高他们的解决实际问题的能力。

5.关注学生个体差异：针对不同学生的学习水平和风格，我会提供个性化的辅导和资源，确保每个学生都能在课堂上有所收获。八、板书设计①同角三角函数的基本关系式

-sin²θ+cos²θ=1

-tanθ=sinθ/cosθ

-cotθ=cosθ/sinθ

-secθ=1/cosθ

-cscθ=1/sinθ

②三角函数的性质

-周期性：T=2π

-奇偶性：sinθ是奇函数，cosθ是偶函数

-单调性：正弦函数在0到π/2区间单调递增，余弦函数在0到π区间单调递减

-对称性：正弦函数和余弦函数在y轴对称

③三角函数的图像

-正弦函数：波形从原点开始，向上到1，向下到-1

-余弦函数：波形从(π/2,0)开始，向上到1，向下到-1

-正切函数：图像在原点有垂直渐近线，周期性波动

-余切函数：图像在原点有垂直渐近线，周期性波动

-正割函数：图像在(π/2,0)和(3π/2,0)有垂直渐近线，周期性波动

-余割函数：图像在(0,0)和(π,0)有垂直渐近线，周期性波动

④三角函数的应用

-物理学：描述振动、波动的规律

-工程学：计算建筑物的结构设计

-信号处理：分析信号的特征

-经济学：预测市场趋势等教学评价与反馈1.课堂表现：

课堂表现是评价学生学习情况的重要方面。我将观察学生在课堂上的参与度、积极性、回答问题的准确性和清晰度。例如，我会记录哪些学生能够主动提出问题或分享自己的想法，哪些学生在小组讨论中表现出领导力，以及哪些学生能够正确应用三角函数的基本关系式来解决问题。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论是培养学生合作能力和沟通技巧的有效方式。在课堂结束后，我会要求每个小组展示他们的讨论成果，包括对三角函数基本关系的理解和应用。我会评价他们的讨论是否深入、逻辑是否清晰、是否能够有效地解决问题。

3.随堂测试：

为了评估学生对三角函数基本关系的掌握程度，我会设计随堂测试，包括选择题、填空题和简答题。测试将涵盖三角函数的定义、性质、关系式以及它们在解决实际问题中的应用。我会根据学生的测试成绩来评估他们的知识掌握情况。

4.作业反馈：

作业是巩固课堂学习内容的重要手段。我会仔细批改学生的作业，并针对他们的错误提供详细的反馈。例如，如果学生在应用三角函数关系式时出现错误，我会指出错误的原因，并提供正确的解题步骤。这种反馈有助于学生理解和纠正他们的错误。

5.教师评价与反馈：

教师评价与反馈是教学过程中不可或缺