黄金卷02（南通专用）-【赢在中考·黄金预测卷】2025年中考数学模拟卷（解析版）

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（南通专用）黄金卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入30元记作+30元，则﹣10元表示（）A．收入10元 B．收入20元 C．支出20元 D．支出10元【答案】D【解析】解：若收入30元记作+30元，则﹣10元表示支出10元．故选：D．2．华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（）A．0.2022×1014 B．20.22×1012 C．2.022×1013 D．2.022×1014【答案】C【解析】解：100亿＝1010，1010×2022＝2.022×1013，故选：C．3．下列运算中正确的是（）A．(−4)2=2 B．6÷2=3 C．2【答案】C【解析】解：A、原式＝4，故A不符合题意．B、原式=3，故BC、原式=10，故CD、原式＝2，故D不符合题意．故选：C．4．一个几何体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个几何体的体积是（）A．6 B．12 C．122 D．122+【答案】A【解析】解：观察该几何体及其三视图发现，该几何体的底面是正方形，且边长为2，高为3，这个几何体的体积=2故选：A．5．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，若∠1＝58°，则∠2的大小为（）A．29° B．32° C．42° D．58°【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠DAD′＝58°，又∵矩形纸片ABCD沿AC折叠，∴∠2＝∠CAD′，又∵∠DAD′＝∠2+∠CAD′＝2∠2＝58°，∴∠2＝29°．故选：A．6．某公司今年4月的营业额为2800万元，按计划第二季度的总营业额达到9800万元，设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2800（1+x）2＝9800 B．2800（1+x%）2＝9800 C．2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800 D．2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800【答案】D【解析】解：设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，依题意，得：2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800．故选：D．7．二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标是（2，1），且图象与y轴交于点（0，9）．将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，则旋转后得到的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1 C．y＝﹣2（x+2）2﹣1 D．y＝﹣2（x+2）2+1【答案】C【解析】解：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（﹣2，﹣1），与y轴交于点（0，﹣9），∴y＝a（x+2）2﹣1，把（0，﹣9）代入得，﹣9＝4a﹣1，∴a＝﹣2，∴旋转后得到的函数解析式为y＝﹣2（x+2）2﹣1，故选：C．8．如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，则直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【答案】C【解析】解：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝大正方形的面积+四个直角三角形的面积和＝13+（13﹣1）＝25，故选：C．9．A，B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图反映的是二人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上．在这些说法中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】解：由图象可得，甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，刚开始一段时间匀速，后来提速，继续做匀速运动，故①正确；乙用了3个小时到达目的地，故②错误；乙比甲晚出发1小时，故③错误；甲在出发4小时后被乙超过，故④错误；由上可得，正确的是①，故选：A．10．如图，点P是矩形ABCD对角线AC上异于A、C一动点，PB绕点P顺时针旋转90°交射线DC于E，以PE、PB为邻边作矩形BPEF，PH垂直射线DC于H，反向延长交AB于G，当AD＝3，AB＝4时，下列结论：①△PGB∽△EHP；②PEPB③矩形BPEF的面积的最小值为10825④当△PCE是以PC为底的等腰三角形时，AP=7其中，正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】①证明：∵∠PGB＝∠EHP＝∠BPE＝90°，∴∠PBG＝∠EPH，∴△PGB∽△EHP；②解：连接BE，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∵∠BCE＝90°，∴∠BCE+∠BPE＝180°，∴P，B，E，C四点共圆，∴∠PBE＝∠PCE，在Rt△BPE与Rt△ADC中，∠D＝∠BPE＝90°，∠ACD＝∠PBE，∴Rt△BPE∽Rt△ADC，∴PEAD即PEPB③解：设AP的长为x．∵AD＝3，AB＝4，∴由勾股定理得到：AC=A∵cos∠GAP=AG∴AG=45AP=同理，sin∠GAP=BCAB=GPAP在Rt△PBG中，PB2＝BG2+PG2＝（4−45x）2+（35x）2＝x2∵PEPB∴PE=34∴S矩形BPEF＝PB•PE=34PB2=34（x2−325x+16）=3∵0＜x＜5，∴x=165时，S有最小值④当PE＝CE，则∠EPC＝∠ECP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵PE⊥PB，∴∠BPE＝90°，∴∠BPC＝∠BCP，∴BP＝BC．过点B作BF⊥AC于点F，则PF＝CF．∵cos∠FCB=BC∴35∴FC=9∴PF=9∴AP＝AC﹣PC＝5−18正确结论①②③④，故选：D．二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）11．因式分解：a3﹣9ab2＝a（a﹣3b）（a+3b）．【答案】见试题解答内容【解析】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．12．已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为90°．【答案】见试题解答内容【解析】解：设圆锥的侧面展开扇形的圆心角的度数为n°，由题意得，nπ×12180=2解得n＝90．故答案为：90．13．若ac＜0，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是有两个不相等的实数根．【答案】见试题解答内容【解析】解：由题意可知：a≠0，∵Δ＝b2﹣4ac，ac＜0，∴Δ＞0，故答案为：有两个不相等的实数根．14．如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A，B两点的俯角分别为30°和45°．若AB＝2km，则A，C两点之间的距离为（2+23）km．【答案】见试题解答内容【解析】解：如图所示，延长AB，过点C作CD垂直于AB延长线，垂足为D，由题意知∠CBD＝45°，∠A＝30°，AB＝2km，设BD＝CD＝x，在Rt△ACD中，由tanA=CDAD可得解得x＝1+3，即CD＝1+则AC＝2CD＝2+23（km），故答案为：（2+23）．15．菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，这个菱形的面积为24cm2．【答案】24cm2．【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴菱形面积=12×6×8＝24（故答案为：24cm2．16．已知闭合电路的电压为定值，电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，根据下表，则a＝12．I/A102.421.2R/Ωa5060100【答案】12．【解析】解：设电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）的函数解析式为I=k∵当I＝2时，R＝60，∴2=k解得k＝120，∴I=120当I＝10时，10=120解得R＝12，故答案为：12．17．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝3，则AC的长等于952【答案】95【解析】解：设AD，BE交于点G，过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF=A∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABG＝∠DBG，又∵AD⊥BE，∴∠AGB＝∠DGB＝90°，在△ABG和△DBG中，∠ABG=∠DBG∠AGB=∠DGB∴△ABG≌△DBG（AAS），∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC=3故答案为：9518．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+k4）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3＜k【答案】见试题解答内容【解析】解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+k设x2﹣2x+k4=0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，m﹣n=(m+n)根据三角形三边关系定理，得：m﹣n＜1＜m+n，即4−k＜∴4−k＜14−k≥0，解得3＜三、解答题（本大题共8小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：﹣4x2（3x+1）；（2）解方程：xx+1【答案】（1）﹣12x3﹣4x2；（2）x=−3【解析】解：（1）﹣4x2（3x+1）＝﹣4x2•3x﹣4x2•1＝﹣12x3﹣4x2；（2）xx+1xx+1方程两边都乘3（x+1），得3x＝2x+3（x+1），3x＝2x+3x+3，3x﹣2x﹣3x＝3，﹣2x＝3，x=−3检验：当x=−32时，3（所以分式方程的解是x=−320．（10分）为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动，测试满分为100分，为了解八、九年级学生此次竞赛成绩的情况，分别随机在八、九年级抽取了20名参赛学生的成绩．已知抽到的八年级的竞赛成绩（单位：分）如下：80，95，60，80，75，60，95，65，75，70，80，75，85，65，90，70，75，80，85，80．注：分数在80分以上（不含80分）为优秀．为了便于分析数据，统计员对八年级的数据进行了整理，得到下表：成绩等级分数（单位：分）学生数D级60≤x≤70aC级70＜x≤809B级80＜x≤90bA级90＜x≤1002八、九年级所抽竞赛成绩的平均数、中位数、优秀率如表：年级平均数中位数优秀率八年级77c25%九年级78.582.550%（1）根据题目信息填空：a＝6，b＝3，c＝77.5；（2）八年级小明和九年级小亮的分数都为80分，则两位同学在各自年级的排名小明更靠前（按照分数由高到低的顺序排序）；（3）若九年级共有700人参加竞赛，请估计九年级80分以上（不含80分）的人数．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）根据频数统计的方法可得，成绩在60≤x≤70的有6人，即a＝6，成绩在80≤x≤90的有3人，即b＝3，八年级20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为75+802=77.5（分），因此中位数是77.5，即故答案为：6，3，77.5；（2）八年级小明排名靠前，理由：八年级学生成绩的中位数是77．（5分），而九年级学生成绩的中位数是82.5，而八年级小明的得分8（0分）在中位数之上，九年级小亮的得分8（0分）在中位数以下，因此八年级的小明排名靠前；故答案为：小明；（3）700×50%＝350（人），答：估计九年级8（0分）以上（不含80分）的人数为350人．21．（10分）如图，已知△ABC，D是AB延长线上一点，BD＝CB，∠C+∠ABE＝180°，BE＝AC，连接DE，试说明：BC∥DE．【答案】见解析．【解析】解：∵∠C+∠ABE＝180°，∠DBE+∠ABE＝180°，∴∠C＝∠DBE，在△ABC与△EBD中，BD=BC∠C=∠DBE∴△ABC≌△EBD（SAS），∴∠ABC＝∠D，∴BC∥DE．22．（10分）如图，不透明的管中放置着三根完全相同的绳子AA1、BB1、CC1．在不看的情况下，小明从左端A、B、C三个绳头中随机选一个绳头，小刚从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选一个绳头，用画树状图（或列表）的方法，求小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率．【答案】见试题解答内容【解析】解：列表得：A1B1C1AAA1AB1AC1BBA1BB1BC1CCA1CB1CC1由表可知共有9种等可能结果，其中选中的两个绳头恰好是同一根绳子的有3种结果，∴小明和小刚选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率为3923．（10分）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积．【答案】（1）见解答；（2）3227π【解析】（1）证明：连接OD，如图，∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠CBD＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）解：连接DE、OD、OF，如图，∵AB＝8，E是AO的中点，∴AE＝OE＝OB=8在Rt△AOD中，DE=12∴DE＝OD＝OE，∴△DOE为等边三角形，∴∠DOE＝60°，∵OD∥BC，∴∠FBO＝∠DOE＝60°，∵OF＝OB，∴△FBO为等边三角形，∴∠BOF＝60°，∴S扇形BOF=60π×(824．（12分）茶为国饮，茶文化是中国传统文化的重要组成部分，这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业的发展，在“春季茶叶节”期间，某茶具店老板购进了A、B两种不同的茶具．若购进A种茶具1套和B种茶具2套，需要250元；若购进A种茶具3套和B种茶具4套，需要600元．（1）A、B两种茶具每套进价分别为多少元？（2）由于茶具畅销，茶具店老板决定再次购进A、B两种茶具共80套，茶具厂对这两种类型的茶具进行了价格调整，A种茶具的进价比第一次购进时提高了8%，B种茶具的进价按第一次购进时进价的八折．如果茶具店老板此次用于购进A、B两种茶具的总费用不超过6240元，则茶具店老板最多能购进A种茶具多少套？【答案】（1）A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元；（2）茶具店老板最多能购进A种茶具30套．【解析】解：（1）设A种茶具每套的进价为x元，B种茶具每套进价为y元，由题意得：x+2y=2503x+4y=600解得：x=100y=75答：A种茶具每套的进价为100元，B种茶具每套进价为75元；（2）设茶具店老板最多能购进A种茶具m套，则购进B种茶具（80﹣m）套，由题意得：100（1+8%）m+75×0.8（80﹣m）≤6240，解得：m≤30，答：茶具店老板最多能购进A种茶具30套．25．（13分）【定义】若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A（﹣2，﹣6），B（0，0），C（1，3）等都是“三倍点”．【背景】已知二次函数y＝﹣x2﹣x+c（c为常数），（1）若记“三倍点”D的横坐标为t，则点D的坐标可表示为（t，3t）；（2）若该函数经过点（1，﹣6）；①求出该函数图象上的“三倍点”坐标；②在﹣3≤x≤1范围中，记二次函数y＝﹣x2﹣x+c的最大值为M，最小值为N，求M﹣N的值；（3）在﹣3≤x≤1的范围内，若二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，直接写出c的取值范围．【答案】（1）（t，3t）；（2）①函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）；②M﹣N的值为254（3）﹣4≤c≤5．【解析】解：（1）根据定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，可得D（t，3t），故答案为：（t，3t）；（2）①将点（1，﹣6）代入y＝﹣x2﹣x+c，得：﹣6＝﹣1﹣1+c，解得：c＝﹣4，∴y＝﹣x2﹣x﹣4，将（t，3t）代入，得：3t＝﹣t2﹣t﹣4，解得：t1＝t2＝﹣2，∴函数y＝﹣x2﹣x﹣4图象上的“三倍点”坐标为（﹣2，﹣6）；②∵y＝﹣x2﹣x﹣4＝﹣（x+12）2∴M=−15当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣（﹣3）﹣4＝﹣10，当x＝1时，y＝﹣1﹣1﹣4＝﹣6，∴N＝﹣10，∴M﹣N=−154−（3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在﹣3≤x≤1的范围内，二次函数y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一个交点，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得：x2+4x﹣c＝0，则Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得：c≥﹣4；把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9≥﹣6+c，解得：c≤﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3≥﹣2+c，解得：c≤5，综上，c的取值范围为：﹣4≤c≤5．26．（13分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB＝∠DEF＝90°，∠A＝∠