2024年浙江省初中学业水平评价考试模拟预测数学模拟预测题（解析版）

2024年浙江省初中毕业生学业水平评价考试模拟预测试卷数学试题卷

（试卷满分120分考试时间120分钟）

参考公式：二次函数）'=依2+法+。图象的顶点坐标公式：I2。’4aJ9

一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分，请选出每小题中一个最符合题意的

选项，不选、多选、错选，均不给分）

1.计算（一6尸的结果是（）

\1,

A.---B.-C.—6D.6

66

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了负整数指数事，解题时运用基的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整

数指数幕当成正的进行计算.

根据负整数指数第的运算法则计算即可.

【详解】解：（一6尸二一］.

6

故选：A.

2.2023年，杭州亚运会正式举办.据悉，上一次广州举办亚运会，总投资为1200多亿人民币.其中数据

“1200亿”用科学记数法表示为（）

A.1.2x10，B.1.2xlO10C.1.2x10"D.12x10'0

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

科学记数法的表现形式为4X10〃的形式，其中14。|<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原数变成〃时，

小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，〃是正整数，

当原数绝对值小于1时，〃是负整数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：120（）亿=120000000000=1.2x10”.

故选：C.

3.下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（）

【答案】C

【解析】

【分析】判断出每一个立体图形的主视图和俯视图，由此即可得到答案.

【详解】解：A、正方体的主视图和俯视图是相同的正方形，不符合题意；

B、圆柱的主视图和俯视图是相同的长方形，不符合题意；

C、圆锥主视图是三角形，俯视图是圆，符合题意；

D、球的主视图与俯视图是相同的圆，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查三视图，熟练掌握常见立体图形的三视图是解题的关键.

4.如图，反比例函数），=&（x>0,攵是常数）的图象经过点A0.4）,点以加〃），其中切>1，

X

轴，8NJ,y轴，AM与BN的交点、为C.若AB=2MN,则8点的坐标为（）

53

A.（3,1）一,一

22

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的性质和判定，解答本题的关键是明确题

意，利用反比例函数的性质解答.

把A点坐标代入），=&可得k的值，进而得到函数解析式；根据A、8两点坐标可得

AC4一〃4

AC=4-n.BC=n-\ON=〃,OM=1,则——=——，再根据反比例函数解析式可得一二，"，则

ftNOnn

i,而生=%zl,可得4£=生，再由NAC3=NNOM=9O。，可得

ONMO1NOMO

△ACAs^NQM,根据AACB与△NOM的相似比为2可得加一1=2,进而得到〃?的值，然后可得

8点坐标.

【详解】解：点A0，4）代入），二月可得：k=4,

X

4

故反比例函数解析式为y=一，

x

QA(l,4),,

/.AC=4—n,BC=77?—1,ON=n,OM=I,

AC4一〃_4

NOnn

8(〃?,〃)在)，=—上，

x

4

/.—=tn,

n

AC.BCm-\

-----m-1,------=-------

ONMOI

•_A_C___B__C_

,~NO~~MO,

・.乙4cB=NM2W=90。，

;：ACBs：.NOM,

QAB=2MN,

-1=2,

解得切=3,

故选：B.

5.现有一组样本数据内，々，七，々，不，它们的平均数和方差分别是〃?，〃.若将其中的每个数据都扩大至

原来的两倍，则平均数和方差分别变为（）

A.2m»nB.C."7,4〃D.2/77,4/7

【答案】D

A

则/O」NA8C=15。,

2

.".ZZMC=75°,

22

设AC=4则BD=AB=2AC=2afBC=\lAB-AC=ga.

QCD=BD+BC=Q+5a，

AD=NDC?+AC?=18+4超a=(&+佝a,

CD

7^0nAr--(2+石)。_V2+V6

••sin75-tanDAC——=一'

AZ)(72+\]6)a4

故选：B.

7.如图，在“8C中，NB=40°,ZC=110°.现分别作出8c边上的高AO和NA的平分线AE.则

NDAE的度数为()

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】此题主要考杳了角的计算，关键是正确作出辅助线.

首先计算出一84七的度数，再计算出N8AQ的度数，利用角的和差关系可得答案.

【详解】如图所示；分别作出8c边上的高AO和NA的平分线AE.

A

在乂8c中，ABAC=1SO0-ZB-ZACB=180°-40°-l10°=30°,

・.・AE平分NB4C,

^BAE=-ZBAC=\50,

2

在心©408中，NBA。=90。-/8=50。，

:"DAE=乙DAB-/BAE=35。，

故选：C.

8.某数学兴趣小组的四位同学在讨•论“比较(%+1)(%+4)与(R+2)(X+3)的大小”这一问题时意见产生

了分歧，你认为说法正确的同学是()

小明：无法比较它们的大小，与X的取值有关.

小红：无论x取何值，都有(X+D(X+4)<(X+2)(X+3).

小华:无论工取何值，都有(x+l)(x+4)>(x+2)(x+3).

小敏:(x+l)(x+4)的值与(x+2)(x+3)的值可能相等.

A.小明氏小红C.小华D.小敏

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查整式的混合运算，两个代数式作差，利用多项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同

类项，根据结果与。的大小比较可得结论.

【详解】解：(x+l)(x+4)—(x+2)(x+3)

=x2+4x+x+4-，+3X+2X+6)

=x2+5x+4-x2-5x-6

=—2<0,

・•・无论x取何值，都有(x+l)(x+4)<(x+24x+3),即小红说法正确,

故选:B.

9.如图，在Rtz\A3c中，ZABC=90°,分别以A8、BC、AC为边向外作正方形ABED、

IQ1AB

BCGF、ACHI,连结E4并延长交印于点Q.若嗫二:，则一的值为（）

HQ4BC

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理.根据正方形的性质及角的和差关系得出NMAQ=NAC8,

根据篇二；'得到与二华二:’设=则A/=5x‘进而分别表示出AM、QM,再根据正切

的定义即可得答案.

【详解】如图，连接4H,过点。作于M,

四边形ABDE,ACH/都是正方形,

:.ADAB=ZHAC=45°,

/.ZBAC+ZMAQ=90°,

ZE4C+Z4C«=90o,

^MAQ=ZACB,

HQ"

.丝二丝J

**IHAlS'

设/Q=x,则4=5R,

:.QH=4xf

AM=AH—MH=5叵x-2瓜=3x/2x，

•/AMAQ=AACBt

.AB/"八QM272x2

•・---=tanZACB=tanZ.MAQ=-------=—=—♦

BCAM3&x3

故选：A.

10.如图，在RtZXABC中，NC=90。，点。在BC边上，连结AO,在线段AO上取一点匕使得

DB=DH，且NC4O=NA8E.若已知CO的长，则一定可以求出（）

A.AC的长B.A3的长C.AE的长D.3七的长

【答案】C

【解析】

【分析】根据得出NDEB=/DBE=0,根据三角形外角的性质得出4。。=24，再根

据三角形内角和定理得出/。4。=90。-24，ZABE=ZmC=90°-2^,NABC=90。—夕，延长

DC至点、N,使得ON=DA,连接AN,4DNA=4DAN=90。一。,即可得出NA3C=N/W3,证

明VACV@MC8,

根据全等三角形的性质得出CN=CB,根据图形得出£W=2CO+BO,DE+AE=BD+2CD,即可得

出AE=2C力，即可求解.

【详解】解：・.・OE=QB，

."DEB=NDBE，

设4DEB=/DBE=/3,

..AADC=ADEB+"BE=26,

・・•ZACD=90°,

/.ZDAC=90°-2/?,

ZABE=ADAC=90。-2万,

/.ZABC=90。-2〃+4=90。一/,

延长。。至点N,使得DV=DA,连接AN,

N*

:"DNA=/DAN=I8。；24=9。。一/

/.AABC=ZANB,

AB=AN,

・；ACkBN,

:NACN讣ACB,

:.CN=CB,

:.CN=CD+BD,

QDN=DC+CN=2CD+BD,

QAD=DE+AE,AD=DN,

:.DE+AE=BD+2CD,

/.AE=2CD,

・•・若已知CO的长，则一定可以求出A石的长，

故选：C.

【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形

的性质和判定等知识点，解题的关键是正确作出辅助线.

二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

11.一个不透明的袋子中装有红球和白球共10个，这些球除颜色不同外其余均相同.已知红球的数量比白

球多2个，则随机从袋子中摸出2个球，都是白球的概率为.

【答案】—

15

【解析】

【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

依据题意先算出白球有4个，则红球有6个，再用列表法法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式

求出该事件的概率.

【详解】解：设白球有X个，则红球有（2+X）个，

故（2+x）+x=10,

解得：x=4,

则白球有4个，则红球有6个，

列表如图：

白白白白红红红红红红

白白白白白白白红白红白红白红白红白红白

白白白白白白白红白红白红白红白红白红白

£白白白白白白红白红白红白红白红白红白

£白白白白白白红白红白红白红白红白红白

红红白红白红白红白红白红白红白红白红白

红红白红白红白红白红白红白红白红白红白

红红白红白红白红白红白红白红白红白红白

红红白红白红白红白红白红白红白红白红白

红红白红白红白红白红白红白红白红白红白

红红白红白红白红白红白红白红白红白红白

•・•一共有90种情况，两个球都是白球有12种，

122

P（两个球都是白球）=而二一,

故答案为：一.

15

12.已知点42,2）关于直线），=心；（^>0）的对称点恰好落在坐标轴上，则左的值为.

【答案】垃-1或上+1

【解析】

【分析】本题考查了一次困数及轴对称的性质，要熟知对称轴是对称点连线的垂直平分线，本题还利用了

中位线的性质及推论，这此知识点要熟练掌握：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.求正

比例函数的解析式，就是求直线上一点的坐标即可.

当点42,2）关于直线），=依（4>0）的对称点恰好落在/轴上时，作辅助线，构建点与工轴和），轴的垂

线，先根据点A的坐标得出OA'的长，再根据中位线定理和推论得：。/是一AA'E1的中位线，所以。尸

=；AE=1,也可以求。尸的长，表示出点C的坐标，代入直线，一仆一中求出左的值.当点42,2）关于走

线y=（A>0）的对称点恰好落在轴上时，同理，即可求解.

【详解】解：当点42,2）关于直线），=履（々>0）的对称点恰好落在x轴上时•，

设A关于直线>=丘的对称点为A,连接A4'，交直线丁=6于C,分别过A、。作％轴的垂线，垂足

•••4(2,2),

:,AE=OE=2,

，OA=2&，

〈A和A'关于直线)=质对称，

・•・。。是AA'的中垂线，

。4=OA=2及，

QA七〃",AC=A'C,

/.EF=A!F=-1，

2

CF=-AE=\,

2

/.。歹=04-4/=2夜-(&-1)=&+1,

/.C(V2+1,1),

把C(&+1,1)代入)』履中得：1=(忘+1)2,

解得：k=>/2-1;

当点A(2,2)关于直线)，="(k>0)的对称点恰好落在》轴上时，

当设A关于直线)，二"的对称点为A〃，连接A4〃，交直线y=4•于C,分别过A、C作y轴的垂线,

/.AE,=OEf=2,

：・0A=2血，

•・•A和A〃关于直线>=kx对称,

:.。。'是AA〃的中垂线，

.•.。4〃=。4=2及，

QAE〃CF：AC=A”C',

E'F'=AF'=2血-2=逝_i,

2

/.CF=-74EZ=1,

2

OF,=OAn-Af,F,=2y/2-(y[2-\)=y/2+\,

CZ(1,V2+I),

把C'(l,友+D代入丁=履中得：6+\=k，

解得：k=6+T；

故答案为：&-1或加+1.

13.我国古代数学著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多

七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一

间客房住9人，那么就空出一间房.则该店有客房间，客人.

【答案】①.8②.63

【解析】

【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设有“间客房，则列方程得7x+7=9(x-l),求出x即可得到

答案，正确理解题意列得方程是解题的关键.

【详解】解：设有x间客房，则7x+7=9(x-l),

解得x=8,

;.9(X-1)=9X7=63

・•・该店有客房8间，客63人，

故答案：8,63.

14.如图，CO是，/8C的外接圆，BC=B。，点A是弧5。的中点，若NCBD=2。。,则2Aa)的

度数为.

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连

接Q4、OB、OC,可证.80。丝.3O£>(SSS),得到NOBC=NOBD=10。,可到

/OBD=/ODB=10。,即得到N3OD=160。，再根据点A是弧8D的中点，得到

ZAOD=ZAOB=-ZBOD=80°,最后根据圆周角定理即可得到NA3。的度数，正确作出辅助线是解

2

题的关键.

【详解】解：连接OA、OB、OC,

BC=BD

•：［B0=B0,

0C=0D

:.BOC-BOD(SSS),

・•・4OBC=ZOBD=-/CBD=10°,

2

•：OB=OD,

・•・/OBD=/ODB=TO0，

:./BOD=180°-10°x2=160%

•・•点A是弧的中点，

・・48=AO,

・•・^AOD=ZAOB=-NBOD=80°,

2

：.AABD=-ZAOD=40°,

2

故答案为:40°.

15.如图，边长为1的正方形A8CO的对角线AC、8。相交于点O.N/PN=90。，使直角顶点P与点

。亘合，直角边PM、PN分别与04、。3重合，然后逆时针旋转NA/PN,旋转角为。

(00<6><90°),PM、PN分别交48、BC于E、尸两点,连结E/交。8于点G.在旋转过程中，设

8G的长为。.问：①△3EF与sCOF面积之和的最大值为：②46+。尸2的值为.(第

②.1一\[la##->/2a+1

U针斤】

【分析】根据四边形A3CO是正方形，得出

A8=5C,Z4BC=90。,NBAO=480=NO5C=45。,AC_L8D,再根据NEOF=90。，证出

ZBOE=ZCOF,证明上BOEgaCOF,得出=过点。作O/718C,根据直角三角形的性

质得出OH=1BC=L,设则BE=CF=1—羽8/=工，则表示出

22

\(1A2O1

5^.+5^.=--L--+二，根据二次函数最值可解出当x=w时，SBM+S。8最大，最大为

214,324

9

—；证明NOEF=45。，从而记明N8OE=N89G,证出根据相似三角形的性质得

32

出BFBE=BOBG,表示出AE?+C/？=2f-2x+l,BG=a,8O=0〃O=E，即可得出

“一产二在〃，代入即可求解.

2

【详解】解：•・•四边形A8CO是正方形,

AB=BC.ZABC=90°,ZBAO=ZABO=ZOBC=45°.AC±BD,

/EOF=90。,

:"BOE+/BOF=9(r,

・・"OF+NCOF=90°,

:"BOE=NCOF,

在4BOE和aCOF中

/BOE=NCOF

<OB=OC,

△JBE=NOC”

・•・，BOE与COF,

:,BE=CF,OE=OF,

过点。作O”IBC,

・・・BC=1,

:.OH=-BC=-

2

设AE=x，则

=-BE'BF+—CF-OH=—x(l-x)+—(l-x)x—=--fx--

**SBEF+S.COF9

222222(4j32

1Q

.•.当工=工时，S麻尸+S(8最大，最大为行;

JJ

QAB=BC,BE=CF,

:.AE=BF，

QOE=OF/EOF=9。。，

ZOEF=45°,

Q"EG=ZOBC.NOGE=ZFGB,

:"BOE=/BFG,

XQNOBE=NFBG=45°,

/.BOEs；BFG,

.BEBO

~BG~~BFy

BFBE=BOBG,

•;AE=BF,

:.AEBE=BOBG,

・・・AE2+CF2=X2+(1-X)2=2X2-2x+1,BG=a,BO=四HO=等,

x(\-x)=^-a，

：.-x2=—a，

x2

/.AE2+CF2=2x2-2x+I=-2(x-x2)+l=-2x^y«+l=l-V2«,

9

故答案为：—；1—ypia-

【点睛】此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似

三角形的判定与性质，勾股定理以及二次函数的最值问题.注意掌握转化思想的应用是解此题的关键.

16.如图，在RtAABC中，ZA=90°,点。在A8边上，连接CO，在CO上取一点F,使得

NBFD=45。,过点r作EbIAC.若A8=6,AE=2,EF=3,则△86的面积为

或22.1

【解析】

【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质，添加合适辅助线，利

用相似二角形的性质求解是解答的关键.过“作尸”J.A6于〃，过“作J_C£＞交CZ）延K线于M,

先证明四边形4石五”是矩形，FH=AE=2,AH=EF=3,进而解直角三角形求得8/二相

BM=FM=^~,设"。=x，则BD=3—x,，证明,.FHDs.・.BMD和

2

..FDH^.CDA分别求解即可.

【详解】解：过尸作FHJ.AB于从过B作BWJ_CD交CO延长线于M,则

ZFHA=ZFHB=4BMF=90c,

・•・/FEA=ZFHA=ZA=90。，

・•・四边形AEF”是矩形,

:・FH=AE=2,AH=EF=3,

在RtZ^/7/B中，3H=A3-4”=6-3=3,

・••BF=\lFH2+BH2=>/22+32=V13»

•：4BFD=45°,NBMF=90。，

・•・BM=FM=BFcos45°=—=,

22

设=则BD=BH—HD=3—x,

・••六。=^bH2+HLf=,4+f,

VZFHD=ZBMD=90°,NFDH=/BDM，

・•・；FHIA\.BMD,

FHFD_2=V4+r_

丽一丽’"2^3T'

2

解得x（负值己舍去），则尸O=

5

VZFf7D=ZA=9O°,4FDH=4JDA,

:・LFDHS.CDA,

27262

FDHD

■则3—二3

'~CD~~ADCD3+2

5

解得3等

・c_1厂八*_117726V26221

BCD225210

221

故答案为：—

三、解答题（本大题有7个小题，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过

程）

17.（1）解不等式：3x+2<1.

（2）写出二元一次方程2工一3），=1的一组解.

21-+2

（3）先化简，后在给出的x的值中选择一个代入求值：―其中x的值为-1,2,3.

x—2A—3

1[x=22

【答案】（1）x<—：（2）方程组的解为〈，（答案不唯一）；（3）——：-2

3[y=\x-3

【解析】

【分析】本题考杳的是二元一次方程的解，解一元一次不等式，分式的化简求值，分式中的一些特殊求值

题并非是一味的化简，代入，求值.熟练掌握二元一次方程的解有无数个是解.许多问题还镉运用到常见

的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一

定帮助.

（!）根据一元一次不等式解答方法解答即可；

（2）写出使二元一次方程2x-3y=1成立的一组解即可.

（3）化简分式，最后选出合适的.1的值代入进行计算即可.

【详解】（1）解：3x+2<1,

移顶得：3x<—1,

系数化为一得；x<--；

3

(2)•••二元一次方程2x—3)，=1,

令1=2,解得y=l,

・•・方程组的解为《x=2，(答案不唯一).

卜=1

2x+22(x+\)2

2==,

⑶解:x-2r-3(x+l)(x-3)^3

：工工一1,工工3,

2

・••将x=2代入得，原式二——=-2.

2-3

18.如图，在菱形ABCO中，NB=40。，问：

(1)连接4C,求的度数.

(2)若以点C为圆心，8c长为半径画弧，交直线AC于点E,求/ABE度数.

【答案】(1)70°

(2)15。或75。

【解析】

【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理：

(1)由菱形的性质可得人3=3。，再根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可;

(2)分点E在C4延长线上和点E在4c延长线上，两种情况讨论求解即可.

【小问1详解】

解：：四边形ABCO是菱形，

AB=BC»

•/4=40。，

・•・ZBAC=ZBCA==70°；

2

D

【小问2详解】

BC

解：由题意得，BC=CE,=CE2,

由（1）得NBCEi=70。,

・•・4CBE、=ZCEB=二550,

1}12

・•・^ABEi=NCBE「/CBA=15°；

VZBCE2=180°-ZBCA=110°,且CB=CE?,

・・一功

•NCBE,=NCE,B=5=35<5

''2

.・./ABE?=ZCBE2+ZCBA=75。：

综上所述，N7WE的度数为15。或75°.

19.小红随机调查了若干市民某天和用公共自行车的骑车时间/（单位:分）的情况，将获得的数据分成四组,

绘制了如图统计用，请根据图中信息，解答下列问题，

每组人数的条形统计图每组人数占被调查总人数的百分比统计图

A：分

B:10分Vf<20分

C:20分V/W30分

C:>30分

图2

（1）求这次被调查的总人数，并补全条形统计图

（2）如果骑自行车的平均速度为12切〃氏请估算,在该天租凡公共自行车的市民中，骑车路程不超过

4k72的人数所占的百分比.

【答案】（1）50人；详见解析；12）约占64%

【解析】

【分析】（1）根据条形图得到B组人数，根据扇形图得到B组人数所占的百分比，计算即可；（2）根据

各组市民骑车时间计算，得到答案.

【详解】解：（1）18-36%=50（人）

。组的人数为：50-14-18-5=13,

（2）骑自行车的平均速度为12切?/爪骑车路程不超过4%

.•“K20分钟

.*.（14+18）4-50=64%

答:掩车路程不超过的人数约占64%

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决

问题的关键.

20.如图，在矩形44CD中，AD=2AB=4.点石在射线。。上运动（不与点。重合），连接AE，将

VADE沿AE翻折，点。的对应点为点E

（1）如图1,若点尸恰好落在矩形某一边所在的直线上，直接写出N7ME的度数.

（2）如图2,当点E恰好与点C重合时，求产的面积.

（3）在点E运动的过程中，是否存在一点人使得△8b成为直角三角形？若存在，请你在虚线框内作

图（要求：尺规作图，并标出相应的点厂）；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴30°

5

（3）见详解

【解析】

【分析】（1）根据四边形A8CD是矩形，得出AO=BC,AB=CD,力。〃3C,ZB=90°,根据

AD=2AB=4,和折叠性质可得A3=2,AF=AD=4,证明r，得出NAF8=30。，再根据

平行得出/D4/=乙4/归=30。，即可求解；

（2）设〃4C=x,根据折叠可得NC4/=NDAC=x,再根据AO〃8C,即可得出

ZCAF=ZACB,证出AM=CM,设4/=CM=a,则8M=4—。，在放一A3M中，根据勾股

定理解出。，算出AM，CM,BM,FM,过点尸作_LAB交A3的延长线于点"，证明

NABMKAHF,根据相似性质算出”/，根据&A研=g48-“尸，即可求解.

（3）当？FBC90?时，延长”,A3,尺规作=D4,AF=，再连接EE,AE;C/即可.当

/吕叱二巩）。时，作线段CB的垂直平分线，交。于点。，以点。为圆心线段C3的一半氏为半径画

圆，再以点A为圆心线段A8的长为半径画圆，两圆交于两点6,与，分别连接A耳,4鸟，再分别作

/D4f；,N/）A8的角平分线，延长交。。和OC的延长线分别交于点E，即为所求.

【小问1详解】

•・•四边形/WCD是矩形,

:•AD=BC,AB=CD,AD〃BC,Z^=90°,

VA£>=2AB=4,

:.AB=2,

根据折叠可得：AF=AD=4fZDAE=ZFAE，

:.AB=-AF,

2

则在m中，ZAFB=30°.

•：AD//BC,

/.ZDAF=ZAra=30°,

・•・乙DAE=Z.FAE=-4DAF=30°.

2

【小问2详解】

设ZZMC=x,

则根据折叠可得ZCAF=ZDAC=X,

•・•AQ〃8C,

ZACB=ZDAC=x,

^CAF=ZACB,

:.AM=CM,

设AM=CW=。，

则BM=8C—CM=4—。，

在中，AB2+BM2=AM2^

2?+(4-4)2=/,

解得：a=2.5,

AM=CM=2.5,W=4-2.5=1.5,FM=4-2.5=1.5,

过点尸作F77_LA3交A8的延长线于点H,

・•・BM//HF，

・•・7ABMKAHF,

BMAM

:.——=——，

HFAF

1.52.5

即ltII一=—,

HF4

解得〃尸=£,

—J

IIIoio

：.S.=-ABHF=-X2X—=—.

ARBFF2255

【小问3详解】

•・•ZAFE=/D=90°ZE4C+乙FEA=90°,

故当N3CF=90。时，点EC重合，不满足题意;

当？FBC90?时，△3（才能成为直角三角形,

作图：如图，延长。C,A3,尺规作。石=。44/=同。，再连接即可.

此时，AD=DE=AF=EF，ADEF是正方形,AE4£能由VAOE沿AE翻折得至U，

且？FBC90?.

当N8FC=90。时，△3CV能成为直角三角形,

作图：如图，作线段C3的垂直平分线，交C5于点。，以点。为圆心线段C3的一半长为半径画圆，再

以点A为圆心线段AB的长为半径画圆，两圆交于两点入，分别连接A£,A鸟，再分别作

ND44,ND4用的角平分线，延长交0c和。C的延长线分别交于点E,即为所求.

理由，3c是的直径，

NB"C=N8鸟。=90。；

QZDAE=ZFlAE,AD=AFiyAE=AEf

:.VDAE^VF}AE,

即。EAE是由VAD石沿AE翻折得到,日是百角二角形:

同理，是由VADE沿1翻折得到，且，BCF2是直角三角形•

【点睛】该题主要考查了矩形的性

质，圆周角定理，解直角三角形，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作-线段，角平

分线，线段垂直平分线，圆，解题的关键是掌握以上知识点.

21.如图，在面积为12的等腰三角形A3。中，底边3。的长为6.

（1）求4B的长.

（2）若点M在直线BC上运动，连接AM.则在点M运动过程中，问：

①当.A8M成为等腰三角形时，直接写出AM的长.

②不再连接其他线段，当图中存在某个角为45。时，求的长，并指出相应的45。角.

2525

【答案】（1）5（2）①，或5或26或46；②当NM48=45。时，8必=25或8M=—；当

67

NM4C=45。时，8M=一或3M=31；当〃VW6=45。时，BM=1或8M=7

7

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理：

（1）过点A作AO上3C于。，根据三角形面积公式求出4）=4,再由三线合一定理得到

BD=CD=；BC=3,则由勾股定理可得43=8》=5；

（2）①分当8M=B4=5时，当8M=B4=5时，当点M与点C重合时，此时有/W=AM=5,当

=时，四种情况讨论求解即可；②分当NM48=45。时，当NM4C=45。时，当

NAMO-45。时，二大种情况，六小种情况，画出对应的图形，讨论求解即可.

【小问1详解】

解：如图所示，过点A作401BC于。,

•・•的面积为12,底边BC的长为6

\-BCAD=n,即，x6AO=12,

22

；・A£)=4,

•・•.ABC是以8c为底边的等腰三角形，

:.BD=CD=-BC=3,

2

在RtZXABO中，由勾股定理得AB=Jw2+8Z)2=5；

【小问2详解】

解：①如图所示，当8W=84=5时，

・•・DM=BM+BD=X,

在RtaAZM；中，由勾股定理得AA/=攻4£>2+£)〃2=4石:

A

如图所示，当6M=H4=5时，

・•・DM=BM-BD=2,

在RtAADM中，由勾股定理得AM=，人斤+DM?=2石:

A

当点M与点。重合时，此时有AB=AM=5；

如图所示，当=时，设AM=8M=x,贝i」OM=x—3,

在RtZiADW中，由勾股定理得AW?=4。2+/)/2,

X2=42+（X-3）\

25

解得x二—,

6

•…25

..AM=—；

6

A

25

综上所述，AM的长为二或5或2石或40；

6

②如图所示，当NM43=45。时，过点8作8G_LAM于G,

5币

：,3G=A3•sin/BAG=—

2

.：Sj-xA"tfyj=2-ADBM2=-AMBG,

・1ADW15友人..

----x48M=-x------AM，

222

45/2

・•・AM=—^—BM，

5

4J?

设BM=m,则AM=-----m,DM=/??+3，

5

在RtZVUW中，由勾股定理得4加2=4。2+0/2,

（4丘、，

:.-----mY=4~,+（/〃？+3）,

/

25

解得加=25或相=—―（舍去）：

・•・BM=25；

An

如图所示，当NAA〃?=45。时，则DW=-------------=4,

tanZAMD

A

如图所示，当NM4C=45。时，过点M作于从设CM=5f,

An4CD3

在Rt.ADC中，sinC=—=-,cosC=—=-,

AC5AC5

・••在Rt二CW/中，CH=CMcosC=3r,=CMsinC=41,

・••在R144W7中，AH=—————=4r,

tan/MAH

・•・AC=AH+CH=1t=5,

5

7

:.BM=6-5r=—；

7

A

525

如图所示，当NM48=45。时，同理可得BM=-x5=一；

77

.1

如图所示，当NAA/8=45。时，同理可得EW=6+1=7；

,1

同理可得BW=25+6=31；

综上所述，当NM钻=45。时，80=25或=一；当NM4C=45。时，8M=一或=31；

77

当NAMfi=45。时，8M=1或加=7.

22.如图，在半径为1的0O中，直径A8与直径CO的夹角NAOQ=60。，点。是劣弧BO上一点，连

接PA、PC分别交C。、A3于点M、N.

（1）若PC_L4B,求证：PA=PC.

（2）猜想线段与CW之和是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

（3）过点C作0O的切线小过点。作CO的切线，2,当直线4和4的夹角为80。时，求弧4P的长.

（4）求证：AM（PA+PC）=3.

【答案】（1）见解析（2）线段。W与QV之和为定值，即。M+QV=I

二、7兀8兀

（3）——或——

99

（4）见解析

【解析】

【分析】（1）先根据垂径定理和线段垂直平分线的性质得到AC=AP,再根据圆周角定理求得

?CA8i?HOC30?,进而得到NACP=60。，根据等边三角形的判定与性质证明△4PC是等边三角

形即可•证得结论；

（2）连接A。，先证明△AOD是等边三角形得到NAOM=NCON=60。，AD=OA=OC,再证明

COV（ASA）得到Z）M=QN,进而可得结论：

（3）设CO的切线乙和切线4相交于点Q,分NCQP=80。和NCQP=100。两种情况，利用切线长定理

和弧长公式分别求解即可；

（4）连接A。、BC,先证明△AOD和△CO8都是等边三角形，得到4。=3。=1,然后利用圆周角

ANPA

定理和相似三角形的判定与性质证明LAPNSWBN，3cpM得到一=—=PA①，

CNBC

—=—=PC②两式相加即可求解.

AMAD

【小问1详解】

证明：当尸C_LA8时，如图，则A8垂直平分尸C，

：,AC=AP,

•・,Z^OC=Z4OD=60°,

A?CAB-?BOC30?,

2

・•・ZACP=90°-ZC4B=60°,

・•・△4PC是等边三角形，

・•・PA=PC；

解：线段。“与CW之和为定值.

连接4力，如图，

•・・/8OC=ZAOD=60。，OA=OD=\,

・•・△AOQ是等边三角形，

/.ZAZX?=