2024年河北省高考数学模拟试卷(文科)(解析版)

2024年河北省高考数学模拟试卷（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的）

I.已知集合A={-1,0,1},B={x|y=x2,xGR},则Ar>B=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{1}D.0

2-i

2.设复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）

l+i

A.VTcB-VsD.当

3.同时掷两个匀称的正方体骰子，则向上的点数之和为5的概率为（）

2

4.焦点为（6,0）且与双曲线孑-y2有相同渐近线的双曲线的方程为（）

24121224

2222

C.工_・-=1D.二・工_=1

12242412

5.执行如图的程序框图，假如输出结果为2,则输入的乂=（）

35

A.1B.4C.4D.5

22

7.命题p：直线h：ax+2y-1=0与直线h：x+（a+1）y+4=0互为平行的充要条件是a=-2；

命题q：若平面a内存在不共线的三点到平面B的距离相等，则。〃伍对以上两个命题，

下列结论正确的是（）

A.命题“p且q〃为真B.命题"p或「q〃为假

C.命题'p且q"为真D.命题"p或q"为假

8.设f(x)是定义在R上的恒不为。的函数，对随意实数x,y£R,都有f(x-y)=*-,

+

已知f(1)=2,an=f(n),neN,则数列｛aj的前n项和Sn为()

A.2n-1B.2nC.2n+,-1D.2n+,-2

9.某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为()

10.函数y=sinx(cosx-J^sinx)(OWxW干)的值域为()

A.［加，1+坐］I-率1.率］C［°,I〕D,［・立，1■申］

11.已知点M(-1,-2)是抛物线y2=2px(p>0)的准线上一点，A,B在抛物线上，点

F为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8,则线段AB的垂直平分线必过点()

A.(3,0)B.(5,0)C.(3,2)D.(5,4)

12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+l,函数y=f(x+l)-1为奇函数，则函数f(x)的零点个

数为()

A.0B.1C.2D.3

第口卷。包括必考题和选考题两部分。第13题・21题为必考题，每个考生都必需作答。第

22题.第24题为选考题，考生依据要求作答。二、填空题：(共4小题，每小题5分，满分

20分)

13.已知向帛:小b满意a=1，b=a+b~("V&1)，则cos<印b>=-

f2x-5y+6>0

14.设x,y满意约束条件<4x+9y-7〉0,则目标函数z=*|的取值范围是.

3x+2y-1040

15.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,该四校锥

外接球的体积为8倔，则4PBC的面积为.

16.已知a,b,c分别是锐角AABC的三个内角A,B,C的对边，a=Lb=2cosC,sinCcosA

71

-sin--B)sin(--田)=0,则AABC的内角B的大小为

4

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5小题)

17.已知等差数列佰口的前n项和为Sn，n7N*,J§La5+a6=24,S3=15.

(1)求EJ的通项公式；

]

(2)设bn=2_1，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

a八一工

18.某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参与数学竞赛，他们取得的成果如下：

甲班：92,80,79,78,85,96,85

乙班：81,91,91,76,81,92,83

(I)若竞赛成果在90分以上的视为“优秀生”，则从“优秀生〃中随意选出2名，乙班恰好

只有I名的概率是多少？

(口)依据两组数据完成两班数学竞赛成果的茎叶图，指出甲班学生成果的众数，乙班学生

成果中位数，并请你利用所学的平均数、方差的学问分析一下两个班学生的竞赛成果状况.

19.在二棱ABC中，侧棱AA」底面ABC,AC±AB,AB=2,AC=AAZ=3,

(I)若F为线段B，C上一点，且得CF一二[9■,求证：BC_L平面AA，F；

FB4

(II)若E,F分别是线段B，C的中点，设平面AEF将三棱柱分割成左右两部分，记

它们的体积分别为V|和V2，求V|.

20.如图，已知P是以Fi(I,0),以4为半径的圆上的动点，P与F2(I,0)所连线段的

垂直平分线与线段PFi交于点M.

(I)求点M的轨迹C的方程；

(2)已知点E坐标为(4,0),直线I经过点F2(I,0)并且与曲线C相交于A,B两点,

求AABE面积的最大值.

21.已知函数f(x)=x--*alnx(aGR).

x

(l)若函数f(x)在[I,4-00)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)已知g(x)=-^-x2+(m-I)x+—,mW-h(x)=f(x)+g(x),当时a=l,h

2x2

(x)有两个极值点X],X2,且X]VX2，求h(X|)-h1x2)的最小值.

选做题：请在22,23,24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分(共1小题,

满分10分)【选修几何证明选讲】

22.如图，在AABC中，NBAC的平分线交BC于点D,交AABC的外接圆于点E,延长

AC交4DCE的外接圆于点F,DF=V14

(I)求BD；

(II)若NAEF=90°,AD=3,求DE的长.

【选修4-4：坐标系与参数方程】(共1小题，满分0分)

23.在平向直角坐标系中.直线1：《二.厂(t为参数，OWaVii),在以。为极点,

(y=l+tsina

x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：p=4cos6

(I)求曲线C的直角坐标方程；

(n)已知点P(2,1),若直线I与曲线C交于A,B两点，且^^2强，求tana

【选修4-5：不等式选讲】

24.已知函数f(x)=|x2-l|

(1)解不等式f(x)W2+2x；

(2)设a>0,若关于x的不等式f(x)+5Wax解集非空，求a的取值范围.

2024年河北省高考数学模拟试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个

是符合题目要求的）

I.已知集合庆={-1,0,1},B={x|y=x2,x£R},则AcB=（）

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{1}D.0

【考点】交集及其运算.

【分析】求出B中x的范围确定出B,找出A与B的交集即可.

【解答】解：：A={-1,0,1},B={x|y=x2,xGR）=R,

AAnB=A={-1,0,1},

故选:A.

2.设复数z=21-一i（i为虚数单位），则|z|二（）

1+1

A.VIOB.叵C.加D.返

22

【考点】复数求模.

【分析】干脆利用复数的模的运算法则化简求解即可.

【解答】解：复数=（i为虚数单位），则|z二监工:艰=卑

1+i|l+i|V22

故选:B.

3.同时掷两个匀称的正方体骰子，则向上的点数之和为5的概率为（）

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【分析】运用排列数公式计算基本领件个数和符合条件的基本领件个数，利用古典概型的概

率计算公式计算概率.

【解答】解：同时掷两个匀称的正方体骰子，共有。上。卜36个基本领件，

其中向上的点数之和为5的基本领件共有4个，分别是（1,4）,（2,3）,（3,2）（4,1）.

，向上的点数之和为5的概率为

369

故选:A.

2

4.焦点为（6,（））且与双曲线3--y?有相同渐近线的双曲线的方程为（）

24121224

2222

C.-2__=iD.

12242412

【考点】双曲线的简洁性质.

2

【分析】设所求的双曲线方程是Z-y2=K,由焦点（6,0）在x轴上，知k>0,截距列

2

出方程，求出k值，即得所求的双曲线方程.

2

【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是--yJK,•・•焦点（6,0）在x轴上,

2

Ak>0,

由2k+k=c2=36,Ak=12,

22

故所求的双曲线方程是：工-工=1.

2412

故选：A.

5.执行如图的程序框图，假如输出结果为2,则输入的*=（）

A.0B.2C.4D.0或4

【考点】程序框图.

x+2x<C0

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出x=<「、的值，分

Ix-2x>0

类探讨求出对应的x的范围，综合探讨结果可得答案.

（x+2x<0

【解答】解•：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出X=°、的值，

|X-2x>o

•・•输出结果为2,

x<0x）0

[x+2=2（x-2=2

工解得x=4.

故选：C.

x2-3x+l,x〉l

6.若函数f(x)=ii，，则f(f⑵)=()

名)仁x<l

A.1B.4C.4D.5

22

【考点】分段函数的应用.

【分析】干脆利用分段函数的表达式，逐步求解函数值即可.

x2-3x+l,

【解答】解：函数f(x)(i)x+rX<1

=()-1

则f(f(2))=f(22-3X2+1)=f(-1)i44

故选：C.

7.命题p：直线h：ax+2y-1=0与直线12：x+(a+1)y+4=0互为平行的充要条件是a=-2；

命题q：若平面a内存在不共线的二点到平面。的距离相等，则。〃比对以上两个命题，

下列结论正确的是()

A.命题"p且q"为真B.命题"p或­'q"为假

C.命题”「p且q〃为真D.命题"p或q"为假

【考点】复合命题的真假.

【分析】对于命题P：对a分类探讨，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出.对于命

题q：若平面a内存在不共线的三点到平面0的距离相等，可得a〃。或相交，即可推断出

真假.

【解答】解•：命题p：a=-1时，两条直线不平行；aW7时，两条直线方程分别化为：y=

-泰+2，y=--7TX--4r，由于两条直线相互平行，

Z2a+1a+1

a__1

-yr，解得a=・2或1.

2a+1La+1

，直线h：ax+2y-1=0与直线12：x+(a+1)y+4=0互为平行的充要条件是a=-2或1,因

此p是假命题.

命题q：若平面a内存在不共线的三点到平面B的距离相等，则a〃。或相交，因此是假命

题.

对以上两个命题，下列结论正确的是命题"p或q〃为假.

故选：D.

fI'X)

8.设f⑺是定义在R上的恒不为0的函数，对随意实数X‘都有f(x-y)二

已知f(1)=2,an=f(n),n£N+,则数列｛an｝的前n项和511为()

A.2n-1B.2nC.2n+,-1D.2n+,-2

【考点】数列与函数的综合.

【分析】令x=n,y=l,由条件可得f(n)=f(n-I)f(1)=2f(n-1),进而发觉数列｛aQ

是以2为首项，以2的等比数列，运用等比数列的求和公式可以求得Sn.

f(x)

【解答】解:对随意实数X,y£R,都有f(x-y)

f(y)'

且f(1)=2,an=f(n),

可得f(x)=f(x-y)f(y),

令x=n,y=l,可得=2f(n-I).

即有数列｛aj是2为首项，2为公比的等比数列，

n

则an=2,

n

s-2(l-2)_2n+I_2

n__-

故选：D.

9.某儿何体的三视图如图所示，此儿何体的体积为()

—

A.4B.6C.8D.9

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图可知该几何体为底面边长分别为3,4的长方形，侧立的一个四棱锥，其

中一个长方形的侧面垂直于底面，高为2.

【解答】解：由三视图可知该几何体为底面边长分别为3,4的长方形，

侧立的一个四棱锥，其中一个长方形的侧面垂直于底面，高为2.

故其体积v[x3X4X2=8.

故选：C.

10.函数y=sinx(cosx-^sinx)(0《xW?)的值域为()

A.[加.1+号]R.[-零,1-喙]C.[0,I]D.[.爪.1-喙]

【考点】三角函数的最值；两角和与差的正弦函数.

【分析】由三角函数公式化简可得y=sin(2x+?)-左，由OWxW?和三角函数的值域

可得.

【解答】解：由三角函数公式化简可得y=sinx(cosx-J^inx)

=sinxcosx-V3sin2x=-isin2x-(I-cos2x)

22

1./o正•“*兀、V3

=­sin20x+----coszx------=sin(2x+—-)-----,

22232

•••OWxW3，

2

故选：D

11.已知点M(-1,-2)是抛物线y2=2px(p>0)的准线上一点，A,B在抛物线上，点

F为抛物线的焦点，且有|AF|+|BF|=8,则线段AB的垂直平分线必过点()

A.(3,0)B.(5,0)C.(3,2)D.(5,4)

【考点】抛物线的简洁性质.

【分析】确定抛物线的方程，由|AF|+|BF|=8,利用抛物线的定义转化为XI+X2+2=8,从而

求出A,B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|,

代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值.

【解答】解：设A(xi，yi),B(X2»y2)(X1WX2),

•••点M(-1,-2)是抛物线y2=2px(p>0)的准线上一点，

・•・抛物线方程为y2=4x,其准线x=l.

V|AF|+|BF|=8,

・,•由定义得x]+x2+2=8,则x।+X2=6.

设直线AB的垂直平分线1与x轴的交点C(m,0).

由C在AB的垂直平分线上，从而|AC=|BC|,

即(xi-m)2+yi2=(X2-m)2+y22>

即(xi+x2-2m)(X|-X2'1=4x2-4x)=-4(xj-x2),

Vxi^X2>«*.xi+x2_2m=-4.

又,；X|+X2=6,/.m=5,

・••点C的坐标为(5,0).

即直线AB的垂直平分线I与x轴的交点为定点(5,0).

故选：B.

12.已知函数f(x)=x3+a\2+bx+l,函数y=f(x+l)-1为奇函数,则函数f(x)的零点个

数为()

A.0B.1C.2D.3

【考点】根的存在性及根的个数推断.

【分析】化简y=f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x-1)+1-l=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)

x+l+b+a,从而可得<"a°,从而化简出f(x)=x3・3x?+2x+l,求导F(x)=3x?-6x+2=3

l+a+b=O

(x・1)2・1=3(x・I・堂)(x-1+左)以确定函数的单调性，从而确定函数的零点的

33

个数.

【解答】解：Vf(x)=x3+ax2+bx+l,

/.y=f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1

=X3+3X2+3X+I+ax2+2ax+a+bx+b

=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+l+b+a,

•函数y=f(x+1)-1为奇函数,

./3+a=0

“il+a+b=0’

解得，a=-3,b=2：

故f(x)=x3-3X2+2X+1,

f（x）=3x2-6x+2=3（x-1）2-1=3（x-1-先）（x7+先）,

33

故f（x）在（・8,I■理）上是增函数，在（1・当，|+当）上是减函数,

在（1+哼，+OO）上是增函数；

且f（1-哼）=1+1-%-哼-4+2有2-

f（1+鱼）=1+1+V3+—~4-2V3i2+-^^+l>0,

393

・•・函数f（X）的零点个数为1,

故选B.

第n卷。包括必考题和选考题两部分。第13题・21题为必考题，每个考生都必需作答。第

22题-第24题为选考题，考生依据要求作答。二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分

20分）

13.已知向量£E满意扇=1，bl=V3»+b=（J5，I），则cosvgk>=0.

【考点】平面对量数量积的运算.

【分析】利用已知条件求出W，石,然后求解cosV』fe>.

【解答】解：向量』E满意』=1，%，W+百（第，1），

可知W=（O,1）,b=（M，0）,

>=

贝ijcos<a,bix^~0-

故答案为：0.

r2x-5y+6>0

14.设x,y满意约束条件，4x+9y-7>0,则目标函数z=要的取值范围是」

3x+2y-10<0X

【考点】简洁线性规划的应用.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

z=^的几何意义为平面区域内的点到定点D（-2,-3）的斜率，

x+2

由图象知CD的斜率最小，AD的斜率最大，

其中C(0,2),

X=4,即A

2x-5y+6=04x+9y-7=0x=4

由，得4i),由,…N解得如C

4x+9y-7=03x+2y-10=0y=-1

尸1

(4,-1)

-1+3i_1+.3_gio

则CD的斜率z=—AD的斜率z=_1_哆即为

4十/J2>ZJJJ

15.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为矩形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,该四梭锥

外接球的体积为8何，则ZXPBC的面积为2«Tq源-2.

【考点】球内接多面体.

【分析】利用四棱锥外接球的体枳为8由，求出四棱隹外接球的半径，利用勾股定理求出

BC,即可求出APBC的面积.

【解答】解：设四棱锥外接球的半径为R，则

•・•四棱锥外接球的体积为8%n,

二-1冗R3=8J5,

/.R=3^2，

设BC=x,则4R2=4+4+X2,：.x=d36,-&

•••△PBC的面积为今PB・BC='X2V2义正如-32日7q羽-2,

乙乙

故答案为：2亚•正铲1

16.已知a,b,c分别是锐角aABC的三个内角A,B,C的对边，a=l,b=2cosC,sinCcosA

-sin(二-B)sin(%B)=0,则4ABC的内角B的大小为

44-6

【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦定理.

【分析】a=l,b=2cosC,利用正弦定理可得:sinB=2sinAcosC.E&sinCcosA-sin(-B)

4

JT1JT

cos(--B)=0,利用诱导公式可得：sinCcosA-4sin(2X--2B)=0,

424

利用倍角公式可得：2sinCcosA=l-2sin2B,联立化简即可得出.

1

【解答】解：,锐角4ABC中，a=l,b=2cosC,....=—；—―,可得sinB=2sinAcosC.

sinAsine

TTJTTTJT

VsinCcosA-sin(——-B)sin(——+B)=0,sin(——*B)=cos(一^~~"B),

4444

71711JI

/.sinCcosA-sin(----B)cos(-----B)=0,/.sinCcosA----sin(2X----2B)=0,

4424

/.sinCcosA-工os2B=0,

2

2sinCcosA=1-2sin2B,

Z.2sin(A+C)=sinB+l-2sin2B,

/.2sin2B+sinB-1=0,

1TT

解得sinB=gB£(0,—

故答案为：

6

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（共5小题）

17.已知等差数列EJ的前n项和为Sn，n£N*,且as+a6=24,S3=15.

（I）求｛aj的通项公式；

1

（2）设bn=2_1，求数列｛bj的前n项和T.

an-1n

【考点】数列的求和.

【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；

（2）利用“裂项求和〃方法即可得出.

【解答】解：（1）设等差数列｛%｝的公差为d,Va5+a6=24,S3=15.

/.2ai+9d=24,3ai+3d=15,

解得a1=3,d=2.

/.an=3+2（n-1）=2n+l.

⑵'W、=（2n+；）2一广寺4一小5

-

・•・数列｛bn｝的前n项和Tn=i[(l-v)+(VT)+•••+(L-士)]

4223nn+1

二41,)

4n+1'

n

-4(n+l),

18.某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参与数学竞赛，他们取得的成果如下：

甲班：92,80,79,78,85,96,85

乙班:81,91,91,76,81,92,83

(I)若竞赛成果在90分以上的视为“优秀生〃，则从“优秀生〃中随意选出2名，乙班恰好

只有1名的概率是多少？

(口)依据两组数据完成两班数学竞赛成果的茎叶图，指出甲班学生成果的众数，乙班学生

成果中位数，并请你利用所学的平均数、方差的学问分析一下两个班学生的竞赛成果状况.

甲乙

【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差.

【分析】(I)先列举出全部的基本领件，再找到满意条件的基本领件，依据概率公式计算

即可.

(口)画出茎叶图，依据众数和中位数的概念求出甲班学生成果的众数，乙班学生成果中位

数，再求出平均数、方差，分析即可.

【解答】解：(I)乙班有四名学生成果为优秀，设为a”a2,a3，甲班有两名学生成果为

优秀，设为b],b2,

则选取两名成果为优秀的学生的全部可能为：(aHa2),(aHa3),(aH"),(aHb2),(a2,

aj),(aa，b]),(a2>ba)»(33,bj),(33,ba)>(bpb：)共10种可能,

其中乙班恰好只有1名的有6种可能，

故乙班恰好只有1名的概率是概率P二之尚■:

105

(n)茎叶图如图.

甲班学生成果的众数85,乙班学生成果中位数83,

而=,(78+79+80+85+85+92+96)=85,瓦=y(76+81+81+83+91+91+92)=85,

S^=y[(78-85)2+(79-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(92-85)2+

(96-85)2]=40

[(76-85)2+(81-85)2+(81-85)2+(83-85)2+(91-85)2+(91-85)2+

(92-85)2]=34

统计结论甲班的平均成果等于乙班的平均成果；

②乙班的成果比甲班的成果更稳定.

甲乙

8976

5508113

629112

19.在三棱ABC・ABC'中,侧棱AA」底面ABC,AC1AB,AB=2,AC=AAZ=3,

q

(I)若F为线段B，C上一点，且若CF一弓，求证：BC_L平面AA，F；

rDq

(口)若E,F分别是线段BBTB9的中点，设平面A£F将三棱柱分割成左右两部分，记

它们的体积分别为V]和V2,求V1.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定.

CMC

【分析】(I)过A作AM1_BC,垂足为M,连结MF,通过计算CM,BM可得瞿二，于

BM4

是MF〃BB，〃AA-于是AMu平面AAT,再利用侧棱AA，_L底面ABC得出BC_LAA'即可

得出结论；

(II)作出截面AEF左右两侧的几何体，则右侧为四棱锥，且底面为矩形，高与AM相等,

利用三棱柱的体积减去V?即为V1.

【解答】解：(D过A作AM_LBC,垂足为M,连结MF,

•・•AA'_L平面ABC,BCc平面ABC,

AAAUBC,

VAB1AC,AB=2,AC=3,

ABC=7AB2+AC2=V13»AM喂绛备

[QA

ACM=VAC2-AM^/，BM=BC・CM=^-.

,CMCF

,,丽守力

・・・MF〃BB'〃AA',

AAMc平面AAT.

又AA，u平面AARAMnAAf=A,

•••BC_L平面AAT.

(ID取CC中点N,连结EN,AN,AE,

TAA」平面ABC,AA/BB，，

，BB」平面ABC,

YBCu平面ABC,AMu平面ABC,

，BB」AM,BB」BC,

又AM_LBC,BCu平面BBCC,BB，u平面BBCC,BCnBB^B,

AM_L平面BBZCC,

••.丫2=\\*6£二]可5矩形8/I1xy3xVI—i3x

又VABC-ABC=SAABC・AA'二■1"X2X3X3=9,

乙

•••VI=VABC-AEC-V2=6・

20.如图，已知P是以Fi（1,0）,以4为半径的圆上的动点，P与F?（1,0）所连线段的

垂直平分线与线段PR交于点M.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）己如点E坐标为（4,0）,直线I经过点七（1，0）并且与曲线C相交于A,B两点,

求4ABE面积的最大值.

【考点】轨迹方程.

【分析】（1）依据题意，|MP|=|MF2|,贝IJ|MFI|+|MF?|=|MF[|+|MP|=4）|F|F2|,故M

的轨迹C是以B，F2为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求动点M的轨迹C的方程.

（2）设直线1的方程为*=111丫+1,设A（xi，yi）,B（X2,y2），与椭圆方程联立化为（3m2+4）

y2+6my-9=0,再利用弦长公式与点到直线的距离公式即可得出.

【解答】解：（1）依据题意，|MP|=|MF21，

则|MFI|+|MF21=MF1I+MP|=4>|FIF2|,

故M的轨迹C是以F1,F2为焦点，长轴长为4的椭圆，a=2,c=l,

所以b二立，

所以点M的轨迹方程为

22

(2)设直线1的方程为乂=0^+1,代入q_+=_=l,

可得3(my+1)2+4y2=12,

(3nr+4)y2+6my-9=0,

6m9

设A(xi，yi),B(X2，〉,2)，贝I」yi+y2=-2，yiY2=-2-

3m+43m+4

3

，E到更线1的距离为dp.2,ABTl+n121yl72

K+l

/.△ABE面枳S=yyi-y2=18.

(3ID2+4)2

nAl

设3m2+4=t(t24),则S=18.

(3m，4)

•・T24,

q

.,.t=4,m=0时，Z\ABE面积的最大值为

21.已知函数f(x)=x-i-alnx(a£R).

x

(1)若函数f(x)在[1,+8)上单调递增，求实数af勺取值范围；

(2)已知g(x)=4-X2+(m-1)x+工，mW•且2,h(x)=f(x)+g(x),当时a=l,h

2x2

(x)有两个极值点X],X2,且X]VX2,求h(X])-h(X2)的最小值.

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数探讨函数的极值.

【分析】(1)利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.

(2)求出函数h(x)的表达式，求出函数h(x)的导数，利用函数极值，最值和导数之间

的关系进行求解.

【解答】解：(1)Vf(x)=x--+alnx,

x

1分

AT(x)=1+-y+—,

XX

Vf(x)在[1,+8)上单调递增，

1a

Af(x)=1+-7+q》0在[1,十8)上恒成立，

XX

■(x」~)在[1,+°°)上恒成立，

x

二'y=-x■]■在[1,+8)上单调递减，

x

-2,

-2；

(2)h(x)=f(x)+g(x)=lnx+--x2+mx,其定义域为(0,+°°),

求导得，h，(x)d+mx+l,

x

若h'(x)=0两根分别为X],X2，则有X|”2=l,X|+X2=-m,

，X2=3，从而有m=-X|-

X1X1

〈mW-当竺

2

11n]11

+

则h（X1）-h（x2）=h（X1）-h（-）=21nxi+-^-（xj-/2）（-X|--）（X|--）,

2

令巾（x）=2hix--i-（x-x£U.

2x

则[h（X|）-h（x2）]min=4）（X）min，

（x2-1）2

0（X）=----------5---，

X

当XE（坐，1］时，巾，（X）＜0,

2

.・・。（X）在［返，1］上单调递减，

2

6（x）min=4＞（1）=0，

h（XI）-h（X2）的最小值为（）.

选做题：请在22,23,24题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分（共1小题,

满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

22.如图，在AABC中，NBAC的平分线交BC于点D,交aABC的外接圆于点E,延长

AC交4DCE的外接圆于点F,DF=V14

（I）求BD；

（H）若NAEF=90。，AD=3,求DE的长.

【考点】与圆有关的比例线段.

【分析】（1）由同弧或等弧所对的圆周角相等，运用全等三角形的判定，可得△AB