2017年数学高考题分类解析考点37 抛物线

高考试题分类解析PAGE考点39抛物线一、选择题1.(2017·全国乙卷理科·T10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10【命题意图】考查抛物线的相关性质,并以抛物线为载体考查直线与抛物线位置关系问题.【解析】选A.方法一:设直线l1方程为y=k1(x-1),联立方程QUOTEy2=4x,y=k1得QUOTEk12x2-2QUOTEk12x-4x+QUOTEk12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),所以x1+x2=-,同理直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=QUOTE2k22+4k2由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=QUOTE2k12+4k12+QUOTE2k22+4k22+4=QUOTE4k12++8≥2QUOTE16k12k22当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:不妨设AB倾斜角为θQUOTE0<θ<π2.作AK1垂直于准线,垂足为K1,AK2垂直x轴,垂足为K2,准线交x轴于点G,易知QUOTEAF·cosθ+GF=A所以QUOTEAF·cosθ+p=QUOTEAF,同理QUOTEAF=QUOTEp1-cosθ,QUOTEBF=QUOTEp1+cosθ,所以QUOTEAB=QUOTE2p1-cos2θ=QUOTE2psin2θ,又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,QUOTEDE=QUOTE2psin2π2+θ=,而y2=4x,即p=2.所以QUOTEAB+QUOTEDE=2pQUOTE1sin2θ+1cos2θ=4QUOTEsin2θ+cos2θsin2θcos2θ=QUOTE4sin2=QUOTE16sin22θ≥16,当θ=取等号,即QUOTEAB+QUOTEDEQUOTEDE最小值为16,故选A.二、简答题2.(2017·浙江高考·T21)如图,已知抛物线x2=y.点AQUOTE-12,14,BQUOTE32,94,抛物线上的点P(x,y)QUOTE-12<x<32,过点B作直线AP的垂线(1)求直线AP斜率的取值范围.(2)求的最大值.【命题意图】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.【解析】(1)设直线AP的斜率为k,k=QUOTEx2-14x+12=x-QUOTE12,因为-QUOTE12<x<QUOTE32,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ=QUOTE-k2+4k+32(k2因为|PA|=QUOTE1+k2x+12=QUOTE1+k2(k+1|PQ|=QUOTE1+k2(xQ-x)=-QUOTE(k-1)(k+1)2k2+1所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间QUOTE-1,12上单调递增,QUOTE12,1上单调递减,因此当k=QUOTE12时,|PA|·|PQ|取得最大值.3.(2017·北京高考理科·T18)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程.(2)求证:A为线段BM的中点.【命题意图】本题主要考查抛物线的性质,意在培养学生运算能力与分析问题解决问题的能力.【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=QUOTE12,所以C:y2=x,所以焦点坐标QUOTE14,0,准线:x=-.(2)设l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),OP:y=x,ON:y=x,由题知A(x1,x1),BQUOTEx1,x1y2由QUOTEy=kx+12,y消去y得k2x2+(k-1)x+=0,所以x1+x2=QUOTE1-kk2,x1·x2=.所以y1+QUOTEx1y2x2=kx1++=2