最优方案习题

最优方案习题在各类实际问题和数学应用场景中，寻找最优方案是一个关键任务。最优方案习题旨在考察学生运用数学知识、逻辑思维以及实际分析能力，来确定在给定条件下达成最佳结果的方法。这些习题涵盖了众多领域，如资源分配、成本控制、时间管理、行程规划等。通过解决这些习题，学生能够提升解决复杂问题的能力，学会在多种可能性中筛选出最符合目标的方案。二、常见题型及解题思路资源分配类1.题型示例某工厂有甲、乙两种原材料，可用于生产A、B两种产品。生产一件A产品需要甲材料3千克，乙材料1千克；生产一件B产品需要甲材料2千克，乙材料2千克。已知甲材料有120千克，乙材料有80千克，且生产一件A产品利润为500元，生产一件B产品利润为600元。问如何安排生产，可使利润最大？2.解题思路设生产A产品\(x\)件，生产B产品\(y\)件。根据材料限制可得不等式组：\(\begin{cases}3x+2y\leq120\\x+2y\leq80\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)利润\(Z=500x+600y\)。通过解不等式组确定可行域，然后在可行域内找出使得目标函数\(Z\)最大的\(x\)和\(y\)的值。首先解\(3x+2y=120\)与\(x+2y=80\)的交点：将两式相减可得：\(3x+2y(x+2y)=12080\)，即\(2x=40\)，解得\(x=20\)。把\(x=20\)代入\(x+2y=80\)，得\(20+2y=80\)，解得\(y=30\)。交点坐标为\((20,30)\)。分别将可行域的顶点坐标\((0,0)\)，\((0,40)\)，\((20,30)\)，\((40,0)\)代入目标函数\(Z=500x+600y\)：\(Z(0,0)=500×0+600×0=0\)；\(Z(0,40)=500×0+600×40=24000\)；\(Z(20,30)=500×20+600×30=10000+18000=28000\)；\(Z(40,0)=500×40+600×0=20000\)。比较可得当\(x=20\)，\(y=30\)时，利润\(Z\)最大，最大利润为28000元。成本控制类1.题型示例某公司计划生产一批产品，有两种生产工艺可供选择。工艺一的固定成本为10000元，每件产品的可变成本为50元；工艺二的固定成本为15000元，每件产品的可变成本为40元。若产品售价为每件80元，问生产多少件产品时，采用工艺二比工艺一成本更低？2.解题思路设生产\(x\)件产品。工艺一的成本\(C_1=10000+50x\)；工艺二的成本\(C_2=15000+40x\)。要使工艺二比工艺一成本更低，则\(C_2<C_1\)，即：\(15000+40x<10000+50x\)移项可得：\(1500010000<50x40x\)\(5000<10x\)解得\(x>500\)。所以当生产产品数量大于500件时，采用工艺二比工艺一成本更低。时间管理类1.题型示例小明一天有24小时，他要完成语文作业、数学作业和英语作业，预计语文作业需要3小时，数学作业需要4小时，英语作业需要2小时，他还想留出2小时用于阅读课外书籍。问他如何安排做作业的顺序，可使完成所有任务后剩余时间最多？2.解题思路因为阅读时间固定为2小时，所以要使剩余时间最多，需尽量缩短做作业总时间。先完成用时短的作业，这样可以减少等待切换任务的时间。按照英语作业（2小时）、语文作业（3小时）、数学作业（4小时）的顺序完成。总共做作业时间为\(2+3+4=9\)小时。加上阅读的2小时，总共花费\(9+2=11\)小时。一天24小时，剩余时间为\(2411=13\)小时。若采用其他顺序，如先语文作业（3小时）、再数学作业（4小时）、最后英语作业（2小时），总共做作业时间为\(3+4+2=9\)小时，加上阅读2小时，总用时11小时，但等待切换任务时间相对较长。所以按照英语、语文、数学的顺序做作业，可使完成所有任务后剩余时间最多。行程规划类1.题型示例从A地到B地有两条路线，路线一全程120公里，限速60公里/小时；路线二全程150公里，限速80公里/小时。已知在路线一上行驶每超速10公里/小时需多交罚款50元，路线二无超速罚款。问选择哪条路线用时更短？若路线一超速行驶，怎样超速行驶可使两条路线用时相同？2.解题思路对于路线一：不超速情况下用时\(t_1=120÷60=2\)小时。若超速行驶，设超速\(x\)公里/小时，则用时\(t_1'=120÷(60+x)\)小时。对于路线二：用时\(t_2=150÷80=1.875\)小时。比较\(t_1\)和\(t_2\)大小：因为\(2>1.875\)，所以不超速时路线二用时更短。若要使两条路线用时相同，则\(120÷(60+x)=1.875\)\(120=1.875×(60+x)\)\(120=112.5+1.875x\)\(1.875x=120112.5\)\(1.875x=7.5\)\(x=4\)即路线一超速4公里/小时（速度为64公里/小时）时，两条路线用时相同。三、习题巩固与拓展资源分配类拓展1.题型示例某农场有三块地，分别种植甲、乙、丙三种作物。第一块地面积为10亩，适合种植甲作物和乙作物；第二块地面积为12亩，适合种植乙作物和丙作物；第三块地面积为8亩，适合种植甲作物和丙作物。已知种植甲作物每亩利润为800元，种植乙作物每亩利润为600元，种植丙作物每亩利润为700元。问如何分配种植面积，可使总利润最大？2.解题思路设第一块地种植甲作物\(x\)亩，种植乙作物\(y\)亩（\(0\leqx\leq10\)，\(0\leqy\leq10\)，\(x+y\leq10\)）；第二块地种植乙作物\(z\)亩，种植丙作物\(w\)亩（\(0\leqz\leq12\)，\(0\leqw\leq12\)，\(z+w\leq12\)）；第三块地种植甲作物\(u\)亩，种植丙作物\(v\)亩（\(0\lequ\leq8\)，\(0\leqv\leq8\)，\(u+v\leq8\)）。且\(x+u\)为甲作物种植总面积，\(y+z\)为乙作物种植总面积，\(w+v\)为丙作物种植总面积。总利润\(Z=800(x+u)+600(y+z)+700(w+v)\)。根据土地面积限制可得：\(\begin{cases}x+y\leq10\\z+w\leq12\\u+v\leq8\\x,y,z,w,u,v\geq0\end{cases}\)通过解不等式组确定可行域，然后在可行域内找出使得目标函数\(Z\)最大的各变量的值。可采用线性规划的方法求解，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，再代入目标函数比较大小。比如解\(\begin{cases}x+y=10\\z+w=12\\u+v=8\end{cases}\)等不同组合的方程组得到顶点坐标，经过计算和比较最终确定最优种植面积分配方案。成本控制类拓展1.题型示例某工厂生产一种产品，有两种生产设备可供选择。设备A购买成本为50000元，每生产一件产品的能耗成本为10元，维护成本为5元；设备B购买成本为80000元，每生产一件产品的能耗成本为8元，维护成本为3元。产品售价为每件20元，预计市场需求为10000件。问选择哪种设备可使总成本最低？若考虑设备的使用寿命为5年，每年生产产品数量相同，又该如何选择？2.解题思路设生产\(x\)件产品。设备A的总成本\(C_A=50000+(10+5)x=50000+15x\)；设备B的总成本\(C_B=80000+(8+3)x=80000+11x\)。当市场需求为10000件时：\(C_A=50000+15×10000=50000+150000=200000\)元；\(C_B=80000+11×10000=80000+110000=190000\)元。此时选择设备B总成本最低。若考虑设备使用寿命为5年，每年生产\(y\)件产品（\(5y=10000\)，即\(y=2000\)件）。设备A的总成本\(C_A'=50000+5×(10+5)×2000=50000+5×15×2000=50000+150000=200000\)元；设备B的总成本\(C_B'=80000+5×(8+3)×2000=80000+5×11×2000=80000+110000=190000\)元。还是选择设备B总成本最低。时间管理类拓展1.题型示例小张一天要完成写报告、做PPT、参加会议和与客户沟通这四项任务。写报告预计需要4小时，做PPT预计需要3小时，参加会议预计需要2小时，与客户沟通预计需要3小时。会议时间固定在上午10点12点，写报告和做PPT可以在上午或下午进行，与客户沟通必须在会议结束后进行。问小张如何安排这些任务，可使一天内完成所有任务且休息时间尽量均匀分布？2.解题思路因为会议时间固定在上午10点12点，所以先参加会议。会议结束后开始与客户沟通，需要3小时，即从12点开始到15点。写报告预计需要4小时，若从15点开始写报告，到19点完成。做PPT预计需要3小时，从19点开始做PPT，到22点完成。这样安排任务，小张在完成所有任务后，休息时间相对均匀分布。若先写报告4小时（假设从上午8点开始到12点），然后参加会议（10点12点，会有时间冲突，此方案不可行）。若先做PPT3小时（假设从上午8点开始到11点），然后参加会议（10点12点，也会有时间冲突，此方案不可行）。所以按照会议、与客户沟通、写报告、做PPT的顺序安排任务较为合理，可使休息时间尽量均匀分布。行程规划类拓展1.题型示例从城市A到城市B有飞机、火车和汽车三种交通方式。飞机票价为1000元，飞行时间为2小时；火车票价为500元，行驶时间为10小时；汽车票价为300元，行驶时间为15小时。若小明对时间的价值评估为每小时50元，即节省一小时时间相当于获得50元收益，问小明选择哪种交通方式最划算？2.解题思路对于飞机：总花费\(C_1=1000\)元，时间成本\(2×50=100\)元，总成本\(1000+100=1100\)元。对于火车：总花费\(C_2=500\)元，时间成本\(10×50=500\)元，总成本\(500+500=1000\)元。对于汽车：总花费\(C_3=300\)元，时间成本\(15×50=750\)元，总成本\(300+750=1050\)元。比较\(C_1\)、\(C_2\)、\(C_3\)大小：因为\(1000<1050<1100\)，所以