线性映射与线性变换

关于线性映射与线性变换第1页，共87页，星期日，2025年，2月5日线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间中元素间的一种基本联系，体现出一种“动态的”或者“直观的”视角。借助基的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。第2页，共87页，星期日，2025年，2月5日2维空间的线性变换第3页，共87页，星期日，2025年，2月5日3维空间的线性变换第4页，共87页，星期日，2025年，2月5日§2.1线性映射及其矩阵表示定义1设V1，V2是数域P的两个线性空间，A

是V1到V2的一个映射，如果对V1中任意两个向量

,

和任意数k

P

，都有

A(

+

)=A(

)+A(

)

A

(k

)=kA(

)则称A是V1到V2的线性映射或线性算子。若V1=V2=V，则称A是V上的线性变换。第5页，共87页，星期日，2025年，2月5日线性映射与变换的举例由数k决定的数乘变换：事实上，

单位变换(恒等变换)：零变换：I

:V

V:I

(

)=,

VO:V

V:O(

)=0,

VK:V

V:K(

)=k,

V第6页，共87页，星期日，2025年，2月5日线性映射与变换的举例线性空间P[x]n的微分运算是线性变换.I

(f(x))=f’(x)，f(x)

P[x]n线性空间C[a，b]

的积分运算是线性变换.

作为数学分析的两大运算：微分和积分，从变换的角度讲都是线性变换当然，非线性映射也是大量存在的，I

(A)=detA，A

Pn

n不是线性映射。第7页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理1

设A是线性空间V1到V2的线性映射，则

(1)A(0)=0,

(2)

A(-

)=-A(

)(3)若

1,2…

m

是V1的一组向量，k1,k2,…km

P,有A(k1

1+k2

2…+km

m)=k1A(

1)+k2A(

2)+…+kmA(

m)(4)若

1,2…

m

是V1的一组线性相关向量，则A(

1),A(

2),…,

A(

m)在V2中线性相关，当且仅当A是一一映射时，V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关。线性映射的性质第8页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理2设A

,B

是线性空间V1到V2的两个线性映射，若

1，

2，…

n是V1的一组基，并且A(

i)=B(

i)(i=1,2…n),则A=B.

注：定理2说明线性映射由基像组唯一确定第9页，共87页，星期日，2025年，2月5日2.线性映射的运算(1)设A,B

都是V1到V2的线性映射,A,B的和A+B为:(A+B)(

)=A(

)+B(

)，任意的

V1。

(2)设A是V1到V2的线性映射,B

是V2到V3的线性映射定义A,B的乘法BA为:(BA)(

)=B(A(

))，任意的

V1.(3)设A是V1到V2的线性映射,k

P，定义k与A的数量乘积kA为:(kA)

(

)=kA(

)，任意的

V1第10页，共87页，星期日，2025年，2月5日线性映射的加法适合交换律和结合律，线性运算的乘法适合结合律。对线性映射定义了加法和数乘运算后可知，V1到V2的所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间，记为L(V1,V2)。第11页，共87页，星期日，2025年，2月5日3.

线性映射的矩阵表示

是的基,是的基.

设是线性映射，

记:则存在唯一的使得:

称矩阵A为线性映射T在基与基下的矩阵第12页，共87页，星期日，2025年，2月5日矩阵和线性映射互相唯一确定；在给定基的情况下，线性空间V1到V2的线性映射L与m

n矩阵一一对应，且这种对应保持加法和数乘两种运算。L(V1,V2)与Pm

n同构。注：第13页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理7

设T为V1到V2的线性映射，

则:

称为线性映射在基与基下的坐标变换公式第14页，共87页，星期日，2025年，2月5日例1

设V1=R[x]n，V2=R[x]n-1，取线性映射T：V1→V2T(f(x))=f’(x)

,

f(x)

R[x]n，求T在R[x]n的一组基1,x,…xn-1与R[x]n-1的基1,x,…xn-2下的矩阵D第15页，共87页，星期日，2025年，2月5日D(

1)=0=0

1+0

2+…+0

n-1D(

2)=1=

1+0

2+…+0

n-1D(

3)=2x=0

1+2

2+…+0

n-1……

D(

n)=(n-1)xn-2=0

1+2

2+…+(n-1)

n-1

解

在R[x]n中取基

1=1，

2=x,…

n=xn-1,在R[x]n-1中取基

1=1，

2=x,…

n-1=xn-2，则第16页，共87页，星期日，2025年，2月5日D(

1,

2,…n)=(

1,

2…

n-1)即于是D在基1，x,…

xn-1与1，x,…

xn-2下的矩阵为D=第17页，共87页，星期日，2025年，2月5日另：若在R[x]n-1中取基

1=1，

2=2x,…

n-1=(n-1)xn-2则D在基1，x,…

xn-1与1，2x,…

(n-1)xn-2下的矩阵为D=说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同第18页，共87页，星期日，2025年，2月5日

定理8

设A是n维线性空间V1到m维线性空间V2的线性映射，

1,

2,…

n和是V1的两组基,由

1,

2,…

n到的过渡矩阵是Q

，和是V2的两组基。由到的过渡矩阵是P，A在基与基下的矩阵为A，而在基与基下的矩阵为B，则B=P-1AQ，（称A与B相抵）第19页，共87页，星期日，2025年，2月5日定义1

V是数域P上的线性空间，对V

中的任意两个向量

，

和任意kP，映射T：VV满足

(i)(可加性):T(

+

)=T(

)+T(

)(ii)(齐次性):kT(

)=T(k)称T为V上的线性变换，T(

)为

在变换T下的像，

称为原像。

§2.3线性变换第20页，共87页，星期日，2025年，2月5日例1

对每个x=(

1,

2,

3)

R3,定义变换

T(x)=(

1,

2,0)则变换T是线性空间R3上的线性变换（称为投影变换）第21页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理1

设T是线性空间V上的线性变换，则

(1)T(0)=0,

(2)

T

(-

)=-T

(

)(3)若

1,2…

m

是V的一组向量，k1,k2,…km

P,有T

(k1

1+k2

2…+km

m)=k1T(

1)+k2T(

2)+…+kmT

(

m)(4)若

1,2…

m

是V的一组线性相关向量，则T(

1),T

(

2),…,

T

(

m)也线性相关，当且仅当T是一一映射时，V中线性无关向量组的像也线性无关。线性变换的基本性质第22页，共87页，星期日，2025年，2月5日

L

(V,V)表示线性空间V上的所有线性变换的集合，对任意的T,T1,T2∈L(V,V),

∈V,定义则可以验证，T1+T2,kT,

T1T2都是线性变换，因此L

(V,V)是数域P上的线性空间。注：数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念.（1）线性变换的和：（2）线性变换的数乘：（3）线性变换的乘法：T1T2(

)=T1(T2(

))线性变换的运算第23页，共87页，星期日，2025年，2月5日特殊的变换：

(1)对任意的k∈P，定义数乘变换K(x)=kx，

(2)恒等变换：I(x)=x，

(3)零变换：O(x)=0

(4)逆变换：设A是线性空间V上的线性变换，

如果存在V的变换B，使得AB=BA=I，

称A可逆，B为A的逆变换.

(5)线性变换的幂：A0=I，Am=Am-1A=AA…A

指数法则：AmAn=Am+n，(Am)n=Amn第24页，共87页，星期日，2025年，2月5日线性变换的矩阵用矩阵表示即为

设

1,

2,…,

n为数域P上线性空间V的一组基，

T为V上的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设第25页，共87页，星期日，2025年，2月5日其中

矩阵A称为线性变换T在基下的矩阵.

第26页，共87页，星期日，2025年，2月5日单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；

零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；

数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵；

A的第i列是在基下的坐标，它是唯一的.故T在取定一组基下的矩阵是唯一的.

注：第27页，共87页，星期日，2025年，2月5日线性变换运算与矩阵运算定理1

设为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与中①线性变换的和对应于矩阵的和；

②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.L(V,V)与Pn

n同构；第28页，共87页，星期日，2025年，2月5日例2

设线性空间的线性变换为求在自然基底下的矩阵.

解：

()=第29页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理2

设T是n维线性空间V的线性变换，和是V的两组基,由到的过渡矩阵是P

，T在基与基下的矩阵分别为A和B，则B=P-1AP，（称A与B相似）在两组基下所对应的矩阵.

如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一线性变换

线性变换在不同基下的矩阵是相似的，反过来，线性变换在不同基下的矩阵表示第30页，共87页，星期日，2025年，2月5日

设B=P-1AP(1)rank(A)=rank(B);(2)detA=detB;(3)A与B的特征值相同和特征多项式；(4)Bk=(P-1AP)k=P-1AkP.补充:相似矩阵的性质第31页，共87页，星期日，2025年，2月5日例3

在线性空间中，线性变换定义如下：（1）求在标准基下的矩阵.（2）求在下的矩阵.解：(1)由已知，有第32页，共87页，星期日，2025年，2月5日设在标准基下的矩阵为A，即即：为过渡矩阵，又所以

(

1,

2,

3)=

((

1,

2,

3)P)=

(

1,

2,

3)P=(

1,

2,

3)AP第33页，共87页，星期日，2025年，2月5日因而，第34页，共87页，星期日，2025年，2月5日

设

在

1,

2,

3下的矩阵为B，则B=P-1AP（2）求

在

1,

2,

3下的矩阵.第35页，共87页，星期日，2025年，2月5日

定义1

设T是数域P上的线性空间V

的一个线性变换，如果对于数域P中任一元素

，V中都存在一个非零向量

，使得T(

)=那么称

为T的一个特征值，而

称为T的属于特征值

的一个特征向量。

§2.4特征值和特征向量第36页，共87页，星期日，2025年，2月5日由此可得：

是线性变换T的特征值，则

是对应矩阵A的特征值.

是线性变换T的属于

的特征向量，则

是矩阵A的属于

的特征向量.设V是数域P上的n

维线性空间，V中取定一组基

1,

2

，…

n.设线性变换T在这组基下的矩阵是A，向量

在这组基下的坐标是x,那么我们有

T(

)=

Ax=x第37页，共87页，星期日，2025年，2月5日因此，只要将矩阵A的全部特征值求出来，它们就是线性变换T的全部特征值；只要将矩阵A的属于

的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是线性变换T的属于

的全部特征向量。第38页，共87页，星期日，2025年，2月5日例1

设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换，在V的一个自然基下的矩阵是求线性变换T的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为第39页，共87页，星期日，2025年，2月5日所以的特征值是3（二重）与-6。对于特征值3，解齐次线性方程组得到一个基础解系：

1=[-210]T,2=[201]T,于是T属于3的全部特征向量是k1

1+k2

2,k1,k2

P这里为数域P中不全为零的数对。第40页，共87页，星期日，2025年，2月5日对于特征值-6，解齐次线性方程组得到一个基础解系：

3=[12-2]T于是T的属于-6的全部特征向量

k

3,k

P这里k为数域P中任意非零数。第41页，共87页，星期日，2025年，2月5日矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）n

阶矩阵A的属于特征值

0的全部特征向量再添上零向量，可以组成V的一个子空间，称之为矩阵A的属于特征值

0特征子空间，记为V

0

，不难看出V

0正是特征方程组

(

0I-A)X=0的解空间。显然，V

0的维数是属于

0的线性无关特征向量的最大数目，称dim(V

0)为特征值

0的几何重数.（2）V

0属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

第42页，共87页，星期日，2025年，2月5日（3）设

1,

2,…

r,

是A的r个互不同的特征值，

i的几何重数为qi,，

i1,

i2,…

iqi,是对应于

i的qi

个线性无关的特征向量，则所有这些特征向量

11,

12,…

1q1,

21,

22,…

2q2,…

r1,

r2,…

rqr,仍然是线性无关的。第43页，共87页，星期日，2025年，2月5日由代数基本定理知，n阶矩阵A在复数域内恰有n个特征值

1,

2,

…

n，其中

i作为特征方程的根的重数，称为

i的代数重数,记为m

i(A)，矩阵A的特征值的全体称为A的谱，最大特征值的模称为A的谱半径，记为

(A).（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。(5)A是n阶矩阵，其特征值为

1,

2,

…

n，则

第44页，共87页，星期日，2025年，2月5日定义1

数域P上的n维线性空间V的一个线性变换T

称为可以对角化的，如果V中存在一组基，使得T在这个基底下的矩阵为对角矩阵。定义2如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称矩阵A是可对角化的。(单位矩阵只和自己相似)

§2.5矩阵的相似对角形第45页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理1

n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量；定理2

若n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A是可对角化的。（注：不是充要条件）定理3

n阶矩阵A可对角化的充要条件每一个特征值的代数重数等于其几何重数。

第46页，共87页，星期日，2025年，2月5日例1

判断矩阵是否可以对角化？解：先求出A的特征值第47页，共87页，星期日，2025年，2月5日于是A的特征值为（二重）由于是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑于是从而不相似对角矩阵。第48页，共87页，星期日，2025年，2月5日例2

设V是数域P上的3维线性空间，T是V上的一个线性变换，在V的一个基

1,

2,

3下的矩阵是判断线性变换T是否可对角化。解：根据上一节例1的讨论可知T有3个线性无关的特征向量:第49页，共87页，星期日，2025年，2月5日由基到基的过渡矩阵是于是有因此，T可以对角化，T在这组基下的矩阵是第50页，共87页，星期日，2025年，2月5日定义1

设T是数域P的线性空间V上的线性变换,W是V的子空间。如果对任意向量都有，则称W是T的不变子空间。§2.6线性变换的不变子空间*

（Invariantsubspace）

第51页，共87页，星期日，2025年，2月5日定义2

设T

是数域P上的线性空间V上的线性变换。令R(T)=Im(T)={T(a)|a

V}Ker(T)=N(T)={a

V|T(a)=0}称R(T)是线性变换T的值域，而Ker(T)是线性变换的核。R(T)的维数称为T的秩，Ker(T)的维数称为T的零度。线性变换的值域与核第52页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理1

设T是数域P上的线性空间V上的线性变换。令T在V的一组基

1,

2,…

n下的矩阵表示为A，则（1）R(T)和Ker(T)都是V的子空间；（2）R(T)=span(T(

1),T(

2),…T(

n))（3）rank(T)=dim(R(T))=rank(A)（4）dim(R(T))+dim(Ker(T))=n第53页，共87页，星期日，2025年，2月5日证明（1）显然R(T)是V的非空子集，对任意T(

),T(

)

R(T)，k

P

有

T(

)+T(

)=T(

+

)

R(T)kT(

)=T(k

)

R(T)所以R(T)是V的子空间又T(0)=0,所以Ker(T)是V的非空子集,对任意

,

Ker(T)，k

P

T(

+

)=T(

)+T(

)=0

Ker(T)T(k

)=kT(

)=0

Ker(T)所以Ker(T)是V的子空间第54页，共87页，星期日，2025年，2月5日例1

设线性变换T在4维线性空间V的基

1,

2,

3,

4下的矩阵为（2）求Im(T)的一组基;（1）求Ker(T)的一组基;第55页，共87页，星期日，2025年，2月5日解（1）对任意有0=T(

)=T(x1

3+…x4

4)因此AX=0,对A做初等变换第56页，共87页，星期日，2025年，2月5日解得其基础解系则的基为第57页，共87页，星期日，2025年，2月5日（2）由于从而这说明Im(T)=span(T

1,T

2,T

3,T

4)=span(T

1,T

2)第58页，共87页，星期日，2025年，2月5日例2

线性空间和零子空间都是上的线性变换的（平凡）不变子空间。例3

线性空间V上的线性变换T的值域Im(T)和核Ker(T)都是V的不变子空间。

第59页，共87页，星期日，2025年，2月5日例4

线性空间V上的线性变换T的对应于某个特征值的所有特征向量加上零向量组成的集合也是的子空间，称为的特征子空间(eigenspace)

。进一步，也是的不变子空间。第60页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理2

线性变换T的不变子空间的交与和仍然是T的不变子空间。定理3

设线性空间V的子空间W=span{

1,

2,…,

m}，则W是线性变换T的不变子空间的充要条件是T(

i)

W(i=1,2,…m)第61页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理4

线性空间V上的线性变换T有非平凡的不变子空间的充要条件是T在V的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？第62页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理5

线性空间V上的线性变换T在V的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵的充要条件是V可以分解为T的若干个非平凡不变子空间的直和。不变子空间是特征值的根子空间定理6

n维线性空间V上的线性变换T在V的某个基下的矩阵表示为对角矩阵的充要条件是V可以分解为T的n

个一维特征子空间的直和

V=V

1

V

2…V

n这里为T的两两不同的特征值。第63页，共87页，星期日，2025年，2月5日线性变换T的矩阵化简为一个块对角矩阵（对角矩阵）与线性空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的。第64页，共87页，星期日，2025年，2月5日定义：设A

为一个n

阶复矩阵，如果其满足AAH=AHA=I则称A是酉矩阵，一般记为A

Unn。设A为一个n阶实矩阵，如果其满足AAT=ATA=I则称A

是正交矩阵,一般记为A

Enn。

§2.7酉变换与酉（正交）矩阵

UnitarytransformationandUnitarymatrix（Orthogonalmatrix）

第65页，共87页，星期日，2025年，2月5日例1是一个正交矩阵是一个正交矩阵第66页，共87页，星期日，2025年，2月5日是一个酉矩阵第67页，共87页，星期日，2025年，2月5日酉矩阵与正交矩阵的性质：设A,B是酉矩阵，那么设，那么定理1：设，A是一个酉矩阵的充分必要条件为A

的

n个列（或行）向量组是标准正交向量组。第68页，共87页，星期日，2025年，2月5日定义2

设T是n为酉（欧氏）空间V的线性变换，如果对任意的

，

V都有则称T是V的酉（正交）变换。正交变换保持V中的内积不变，根据定义，显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度、距离及向量间的夹角等几何属性不变。酉（正交）变换第69页，共87页，星期日，2025年，2月5日定理2

设是欧氏空间上的一个线性变换，则下列命题是等价的：（1）T是正交变换；（2）T保持向量的长度不变，即||T

||=||

||;（3）若是V的一组标准正交基，则也是V的标准正交基；（4）T在V的任意一组标准正交基下的矩阵表示

A为正交矩阵。第70页，共87页，星期日，2025年，2月5日证明：

若线性变换保持长度不变，即展开上式同样有根据定义显然成立。左式=(T

,T

)+2(T(

),T(

))+(T

,

T

)=(

,

)+2(T(

),T(

))+(,)右式=(

,

)+2(

,

)+(,)化简得(T(

),T(

))=(

,

)#第71页，共87页，星期日，2025年，2月5日因此则

对任意，令

显然成立。第72页，共87页，星期日，2025年，2月5日设在下的矩阵为，即由于也是标准正交基，所以A是两组标准正交基间的过渡矩阵，因此A是正交矩阵。第73页，共87页，星期日，2025年，2月5日设是正交矩阵，则所以也是标准正交基。第74页，共87页，星期日，2025年，2月5日注

鉴于正交的重要性，所以相应的正交变换显得尤为重要。Householder变换（即反射变换）和Givens变换（即旋转变换）是两种最重要的正交变换，它们的作用主要是在数值算法中构造正交基。

补充：两种基本的图形变换第75页，共87页，星期日，2025年，2月5日例1（旋转变换或Givens变换）将线性空间中的所有向量均绕原点顺时针旋转角，这时像与原像之间的关系为第76页，共87页，星期日，2025年，2月5日例2（反射变换或Householder变换）将中任一向量x

关于横轴做反射得向量y。这时像(x2,y2)与原像(x1,y1)之间的关系为第77页，共87页，星期日，2025年，2月5日

从几何上看，图形经过旋转变换或反射变换后只是位置改变了，形状和大小都没有改变，也就是说变换前后的图形是全等的，即这两种变换都是正交变换。将这两种变换扩展到n维欧氏空间，得到两类重要的正交变换：第78页，共87页，星期日，2025年，2月5日一般形式的Givens矩阵为：第j列第i列对应的变换称为Givens变换，或初等旋转变换：在n维欧式空间中取一组标准正交基e