2024-2025学年河北省沧州市三县学校联考高一下学期第一次月考数学试卷（3月）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省沧州市三县学校联考高一下学期第一次月考数学试卷（3月）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=6,−3,b=−4,m，若a与A.2 B.−2 C.8 D.−82.在▵ABC中，下列结论错误的是(

)A.AB=−BA B.AB+BC=AC3.已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若A:B:C=1:1:4，则a:b:c=(

)A.1:1:4 B.1:1:2 C.2:3:14.在▵ABC中，∠B=π3,AB=8,AC=7，则BC=A.5 B.3或5 C.4 D.2或45.已知向量a,b满足a=2,b=1，且b⊥a−A.−14a B.14a 6.已知向量a=cosθ,813,bA.32或74 B.32或−74 C.−327.为了测量A、B两岛屿之间的距离，一艘测量船在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15∘、北偏东45∘方向．再往正东方向行驶48海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60∘方向，则AA.283海里 B.286海里 C.248.如图，正方形ABCD的边长为2,M,N分别为AB,BC边上的动点，若E为MN的中点，且满足BE=1，则DM⋅DN的最小值为(

)

A.8−42 B.4 C.16−8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在下列各组向量中，e1,e2A.e1=−1,0,e2=0,−1 10.已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则(

)A.a≥bsinA

B.若sinAa=2，则sinB+sinCb+c=2

C.若a11.已知两个非零向量a,b的夹角为θ，定义运算⊗:a⊗A.若a⊗b=0，则a//b

B.λa⊗b=λa⊗bλ≠0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.与a=5,−12垂直的单位向量的坐标为

．13.在边长为2的菱形ABCD中，M,N分别为BC,CD的中点，AM⋅AB=5，则AM⋅AN14.如图，在扇形AOB中，∠AOB=60∘，OA=14m，点C在扇形AOB内部，OC⊥AC，∠AOC=∠OBC，则阴影部分的面积为

m2．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(3,1),(−4,2),(−1,4)．

(1)写出向量AB,AC(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求点D的坐标．16.(本小题12分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin(1)求角A的大小；(2)若a=2bcosC，判断▵ABC17.(本小题12分)已知向量a,b满足b=1(1)求向量a与2a−b(2)若向量a−3tb与ta−318.(本小题12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点，AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点．

(1)用基底AB,AD表示(2)求BNND(3)设AC=xDB+yAP19.(本小题12分)在▵ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点．(1)若CD=DB，证明：BC+2ACcos(2)若∠ACD=π(i)求▵ABC面积的最大值；(ii)求BC的最小值．

参考答案1.A

2.C

3.D

4.B

5.B

6.C

7.D

8.A

9.BCD

10.AB

11.AC

12.(1213,13.13214.98315.【详解】(1)ABAC=(−1,4)−(3,1)=(−4,3)BC=(−1,4)−(−4,2)=(3,2)(2)设D(x,y)，由AD=BC=(3,2)所以x=6,y=3，故D(6,3)．

16.【详解】(1)在▵ABC中，因为sin所以由正弦定理得a2=由余弦定理得cosA=由0<A<π，所以A=π(2)因为a=2bcos故b2−c2=0，即b=c所以▵ABC为等腰三角形．

17.【详解】(1)因为a+2b⋅a−2又b=1，所以a因为a⋅a−b=4所以a2a所以cosθ=(2)a由题意知a−3tb⋅ta所以−6t2+15t−6>0解得12<t<2，且t≠±1，即实数t的取值范围为

18.【详解】(1)因为AM=BC=所以AM=(2)设AN=tAM设BN=λBD，可得即AN=1−λ由①②得，3t4=1−λ所以BN=所以BNND(3)由题意，可设DP=m代入AC=xDB+y又AC=故x+my=12因为0≤m≤12，且函数y=3所以1≤y≤3xy−2因为函数fy=y−所以f(y)所以xy−2的取值范围为−

19.【详解】(1)因为D是AB边上靠近B的三等分点，所以CD=所以CD2设▵ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，则CD=所以19c2在▵ABC中，由余弦定理得c2所以a2化简得a+2bcos即BC+2ACcos(2)(i)在▵ACD中，由余弦定理得AD又∠ACD=π所以3=AC当且仅当AC=CD，即▵ACD为等边三角形时等号成立，所以AC⋅CD≤3，又D是AB边上靠近B的三等分点，所以S▵ABC即▵ABC的面积的最大值为9(ii)在▵ACD中，∠ACD=π由正