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阶段拔尖专训7圆与尺规作图1．[2024连云港六模]【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图①，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【解】(作法不唯一)如图①，直线OG即为所求．【问题联想】如图②，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP(点P在MN上方)；【解】如图②，三角形MNP即为所求．【问题再解】如图③，已知扇形AOB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．(以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)2.1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图．后来意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中．请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分．(按如下步骤完成，保留作图痕迹)．【解】如图，点G，D，H即为所求．3．[2024郑州模拟]如图，点A，B为⊙O上的两点，连结AO，BO，AB(∠AOB＜90°)．(1)请用无刻度的直尺和圆规，过点B作OA的平行线，与⊙O交于点C(保留作图痕迹，不写作法)；【解】如图，直线BC即为所求．(2)连结AC，则∠CAO与∠O有怎样的数量关系？请说明理由．【解】如图，∠O＝2∠CAO.理由：∵BC∥OA，∴∠CAO＝∠BCA.∵∠O＝2∠BCA，∴∠O＝2∠CAO.4.马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，部分红彩、黑彩、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图②，已知⊙O和圆上一点M.作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；②连结MO并延长，交⊙O于点C.即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；【解】如图，点A，B，C即为所求．(2)根据(1)画出的图形，连

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