华师 九年级 下册 数学《阶段拔尖专训4 二次函数中的存在性问题》课件

阶段拔尖专训4二次函数中的存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线上存在一点D(不与点C重合)，使得∠ABD＝∠ABC，请求出点D的坐标．(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC，x轴于点M，N，△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍，请求出满足条件的点P的横坐标．3．[2024徐州一模]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－3的图象交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直线BC于点E.(1)a＝________，b＝________；1－2【点拨】由题意可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，∴a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a＝ax2＋bx－3，∴－3a＝－3，∴a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，∴b＝－2.(2)在点P的运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标．【解】由(1)知抛物线的表达式为y＝x2－2x－3，∴易得点C(0，－3)，∴可设直线BC的表达式为y＝kx－3，将点B的坐标代入得3k－3＝0，∴k＝1，∴直线BC的表达式为y＝x－3.当∠ECD＝90°时，易得直线CD的表达式为y＝－x－3，联立直线CD与抛物线表达式得－x－3＝x2－2x－3，解得x＝0或x＝1，∴点D的横坐标为1，∵PD⊥x轴，∴P(1，0)；4．[2024娄底模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c经过A(－2，0)，B(0，4)两点，直线x＝3与x轴交于点C，与抛物线交于点G.(1)求抛物线的表达式；(2)在线段OC上是否存在点F，使得∠BFG是直角？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．[2023成都节选]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋c经过点P(4，－3)，与y轴交于点A(0，1)，直线y＝kx(k≠0)与抛物线交于B，C两点．(1)求抛物线的表达式；(2)若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．7．[2024广元节选]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y＝－x2＋bx＋c经过点A(－3，－1)，与y轴交于点B(0，2)．(1)求抛物线的表达式；(2)作抛物线F关于直线y＝－1上一点的对称图象F′，抛物线F与F′只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线AB上一点，H为抛物线F′对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点的坐标．【解】由题意易知，抛物线F与F′的公共点E为直线y＝－1与抛物线F的右交点，且抛物线F与F′关于点E成中心对称．令－x2－2x＋2＝－1，解得x＝－3或x＝1，∴E(1，－1)．∵y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，∴抛物线F的顶点坐标为(－1，3)，∴抛物线F′的顶点坐标为(3，－5)，对称轴为直线x＝3，由A(－3，－1)，B(0，2)可得直线AB的表达式为y＝x＋2，∴可设G(m，m＋2)，当BE为平行四边形的对角线时，m＋3＝0＋1，解得m＝－2，∴G(－2，0)；当BG为平行四边形的对角线时，0＋m＝3＋1，∴m＝4，∴G(4，6)；当BH为平行四边形的对角线时，m＋1＝0＋3时，解得m＝2，∴G(2，4)．综上所述，G点的坐标为(－2，0)或(4，6)或(2，4)．8．[2024西安碑林区校级模拟]如图，已知抛物线L：y＝x2－2x－3与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，顶点为C，将抛物线L向左平移5个单位，得到抛物线L′.(1)求A，B，C三点的坐标；【解】令x2－2x－3＝0，则x＝－1或x＝3，∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(3，0)．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴C(1，－4)，即点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(1，－4)．(2)M为抛物线L上一动点，N为抛物线L′上一动点，是否存在M，N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形？若存在，请求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．【解】存在．由题意得L′：y＝(x－1＋5)2－4＝x2＋8x＋12.设点M，N的坐标分别为(m，m2－2m－3)，(n，n2＋8n＋12)，9．如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B(3，0)，与y轴交于点C，连结AC.(1)求此抛物线的表达式；(2)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B，C，E，F为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．[2024泸州节选]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称．(1)求该抛物线的表达式；【解】∵抛物线经过点A(3，0)，且关于直线x＝1对称，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，则a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a＝ax2＋bx＋3，∴－3a＝3，解得a＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．【解】存在．当x＝0时，y＝3，∴点B(0，3)，当BC是对角线时，BD＝CD.由点A，B的坐标易得直线AB的表达式为y＝－x＋3，11．[2024深圳三模]如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C(0，3)，点B的坐标为(3，0)，点P是抛物线上的一个动点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P在第一象限运动，当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P

的坐标和△BPC面积的最大值；【解】如图①，过点P作PQ⊥x轴，交BC于点Q.(3)连结PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解】存在．四边形POP′C如图②所示，连结PP′交CO于点E，设P(t，－t2＋2t＋3)，(1)求点A，B的坐标；(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点(点D在点C的左侧)，点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形ACMD是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图，二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象交x轴于点A，B(3，0)，交y轴于点C(0，3)，点M是直线BC上方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MD⊥x轴，垂足为D，交BC于点E.(1)求二次函数的表达式和点A的坐标；(2)连结AM，交y轴于点F.①当ME＝2CF时，求点M的坐标；设点M的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，则点E的坐标为(m，－m＋3)，∴ED＝3－m，MD＝－m2＋2m＋3，∴ME＝－m2＋2m＋3－3＋m＝－m2＋3m.∵A(－1，0)，∴AO＝1，∴AD＝m＋1.②连结EF，四边形ODEF有可能是正方形吗？如果有可能，此时∠M的正切值是多少？如果没可能，请说明理由．【解】有可能．由①得OF＝3－m＝ED，∵OF∥DE，∴四边形ODEF是平行四边形．∵∠FOD＝90°，∴四边形ODEF是矩形．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是抛物线第四象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点N，交OB于点M，是否存在点P，使得△OMN与以点N，A，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点和点A(4，0)．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1，3)，与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m，是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解】存在．易知∠ADE＝∠ACO，∵∠ADE＝∠BDP，∴∠BDP＝∠ACO.∵△AOC是直