正弦交流电路110

关于正弦交流电路110第1页，共77页，星期日，2025年，2月5日

前面两章分析的是直流电路，其中的电压和电流的大小和方向是不随时间变化的。直流电压和电流第2页，共77页，星期日，2025年，2月5日

ti10正弦波正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路各部分所产生的电压和电流(响应)均按正弦规律变化的电路。正弦交流电动势、电压、电流统称为正弦量。第3页，共77页，星期日，2025年，2月5日2.1正弦电压与电流

tu0

电路图上所标的方向均为电压、电流的参考方向实际方向Rui+–Rui+–u=Umsin(t+i)代表正半周时的实际方向第4页，共77页，星期日，2025年，2月5日

i角频率最大值初相位2.1.1

正弦量的三要素正弦量的三要素第5页，共77页，星期日，2025年，2月5日频率与周期T周期T：正弦量变化一周所需要的时间角频率

=T2

i0tTT/2

t2

=2

f频率

f=T1sHzrad/si=Imsin(t+i)例：我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz第6页，共77页，星期日，2025年，2月5日2.1.2幅值与有效值瞬时值是交流电任一时刻的值。用小写字母表示如i,u,e分别表示电流、电压电动势的瞬时值。最大值是交流电的幅值。用大写字母加下标表示。如Im、Um、Em。有效值交流电流通过一个电阻时在一个周期内消耗的电能与某直流电流在同一电阻相同时间内消耗的电能相等，这一直流电流的数值定义为交流电的有效值，用大写字母表示。如I、U、E。i0Im

t2

i=Imsin(t+i)I=2ImU=2UmE=2Em第7页，共77页，星期日，2025年，2月5日t=0时的相位角称为初相位2.1.4初相位

ti0i=Imsint

i=Imsin(t+

)i

t0(t+

)称为正弦量的相位。它表明正弦量的进程。常用于描述多个正弦波相互间的关系。ii1i2第8页，共77页，星期日，2025年，2月5日

两个同频率正弦量的相位差(|

|≤π)

ti2

超前i1

角i1

落后i2

角第9页，共77页，星期日，2025年，2月5日

ti0i1i2i4i1与i4反相i1与i2同相第10页，共77页，星期日，2025年，2月5日ii1i2幅度、相位变化频率不变第11页，共77页，星期日，2025年，2月5日同频率正弦波加减运算后，频率不变。结论:因角频率（

）不变，所以讨论同频率正弦波时，

可不考虑，主要研究幅度与初相位的变化。正弦量乘以常数、正弦量的微分、积分、同频正弦量的代数和运算后，频率不变。第12页，共77页，星期日，2025年，2月5日一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段在纵轴上的投影值来表示。矢量长度

=

矢量与横轴夹角

=

初相位ω矢量以角速度

按逆时针方向旋转正弦量可用旋转有向线段表示yωx相量(phasor)：描述正弦量的有向线段2.2正弦量的相量表示法第13页，共77页，星期日，2025年，2月5日

相量符号

包含幅度与相位信息。有效值最大值相量图、符号的书写方式相量(phasor)：描述正弦量的有向线段

()

sinjw+=tUmu

2()

sinjw+=tUu第14页，共77页，星期日，2025年，2月5日欧拉公式ab相量的复数表示代数式

指数式极坐标形式三角式abbaU122tan-=+=j+j+1第15页，共77页，星期日，2025年，2月5日解：例1：已知瞬时值:

100相量图求：

i

的相量(复数)，画出相量图第16页，共77页，星期日，2025年，2月5日求：例2：其相量形式为：解：已知两个频率都为1000Hz的正弦电流第17页，共77页，星期日，2025年，2月5日相量的运算1.加、减运算设：第18页，共77页，星期日，2025年，2月5日2.乘法运算设：则：设：任一相量则：90°旋转因子。+j逆时针转90°，-j顺时针转90°第19页，共77页，星期日，2025年，2月5日3.除法运算设：则：第20页，共77页，星期日，2025年，2月5日解：（1）用相量图法求解1j0

i1

i2Im•Im1•Im2•

正弦电量（时间函数）所求正弦量变换相量（复数）相量结果反变换相量运算（复数运算)（2）用复数式求解ii1i2已知：求：i=i1+i2A)60(80+=tsin1iwA)40(602－tsiniw=第21页，共77页，星期日，2025年，2月5日

图示电路试用相量法求电流

i。[例]=8ej6006e-j400+=+8(cos600+jsin600)6(cos400–jsin400)==++4(4√4)–4(4√4)j10ej240A)24(100+=tsiniwIm=.I1m

.I2m

.+复数运算法已知：A)60(80+=tsin1iwA)40(602－tsiniw=ii1i2第22页，共77页，星期日，2025年，2月5日波形图瞬时值相量图相量小结：正弦波的四种表示法

Ti第23页，共77页，星期日，2025年，2月5日符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写

+“.”最大值

---大写+下标第24页，共77页，星期日，2025年，2月5日正误判断？瞬时值复数相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是时间的函数，所以二者之间并不相等。第25页，共77页，星期日，2025年，2月5日已知：正误判断？？有效值j45

第26页，共77页，星期日，2025年，2月5日

则：已知：？正误判断最大值第27页，共77页，星期日，2025年，2月5日2.3单一参数的交流电路

2.3.1

电阻元件的交流电路

2.3.2电容元件的交流电路

2.3.3

电感元件的交流电路第28页，共77页，星期日，2025年，2月5日积化和差公式：

sinα·cosβ＝1/2[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα·sinβ＝1/2[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ＝1/2[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα·sinβ＝－1/2[cos（α＋β）－cos（α－β）]第29页，共77页，星期日，2025年，2月5日和差化积公式：

sin(a)+sin(b)=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sin(a)-sin(b)=2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]cos(a)+cos(b)=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cos(a)-cos(b)=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

第30页，共77页，星期日，2025年，2月5日

同频率、同相位设i=Imsint

1.电压电流关系有效值大小关系U=RIu波形图电压与电流相量关系U=R•I•2.3.1电阻元件的交流电路Rui+–u=Ri

t0相量图+1+j0I•U•i则u=Ri

=RImsint=Umsint

o0Ð=UUo0Ð=II第31页，共77页，星期日，2025年，2月5日

i=Imsintu=Umsint

2.功率Rui+–u

t0ip0

tUIp=ui1.（耗能元件）2.p随时间变化=UI(1–

cos2t)(1)瞬时功率3.平均功率（有功功率）p：一个周期内的平均值

sin2α＝1/2(1-cos2α)第32页，共77页，星期日，2025年，2月5日设iuL1.电压电流关系2.3.2电感元件的交流电路

相位相差

90°

（u

领先

i

90

°）iu

有效值

相量关系

相量图UI

感抗（Ω）第33页，共77页，星期日，2025年，2月5日电感电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息()LXjIU=第34页，共77页，星期日，2025年，2月5日感抗是频率的函数关于感抗（XL=ωL

）e+_LR电感线圈对直流可视为短路，而对高频电流的阻碍作用很大。感抗表示电感电路中电压、电流有效值之间的关系ωXL第35页，共77页，星期日，2025年，2月5日1.瞬时功率

p

：iuL2.功率储存能量P<0释放能量+P>0P<0可逆的能量转换过程+PP>0uisinα·cosα＝1/2(sin2α)第36页，共77页，星期日，2025年，2月5日2.）平均功率

P（有功功率）结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）第37页，共77页，星期日，2025年，2月5日3.）无功功率QQ

的单位：乏、千乏(var、kvar)

Q

的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用以衡量电感电路中能量交换的规模。第38页，共77页，星期日，2025年，2月5日设：uiC2.3.3电容元件的交流电路1.电压电流关系

容抗（Ω）i

超前u90°

有效值

相量关系iu第39页，共77页，星期日，2025年，2月5日电容电路中复数形式的欧姆定律其中含有幅度和相位信息第40页，共77页，星期日，2025年，2月5日ωe+-是频率的函数容抗电容对直流可视作开路，对高频电流的容抗很小。表示电容电路中电压、电流有效值之间的关系第41页，共77页，星期日，2025年，2月5日ui1.）瞬时功率p2.功率充电p放电放电P<0释放能量充电P>0储存能量iuωt当u、i同号时（

u

增长）p>0,电容吸收功率；当u、i异号时（

u

减小）p<0,

电容提供功率。sinα·cosα＝1/2(sin2α)第42页，共77页，星期日，2025年，2月5日2.）平均功率P瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）3.）无功功率Q（电容性无功取负值）单位：var，乏第43页，共77页，星期日，2025年，2月5日单一参数电路中的基本关系小结参数LCR基本关系阻抗相量式相量图第44页，共77页，星期日，2025年，2月5日在电感电路中：正误判断？？？？？

第45页，共77页，星期日，2025年，2月5日例：下图中电容C=24.5F，接在电源电压U=220V、频率为50Hz、初相为零的交流电源上，求电路中的电流i

、P及Q。i=Imsin(t+90)=2.4sin(314t+90)A

XC=

C1解：

I=XCU=1.69A=2

f

C1=130

P=0Q=-UI=-371.8VariuC+–第46页，共77页，星期日，2025年，2月5日总电压与总电流的关系式相量方程式：相量模型CRLuRuLuciu+–+–+–+–I•jLR+–+–+–+–U•UR•UC•UL•C1–j2.4R、L、C串联的交流电路第47页，共77页，星期日，2025年，2月5日R-L-C串联交流电路中各量相量图先画出参考相量电压三角形RC1–jjL第48页，共77页，星期日，2025年，2月5日=[R+j(XL-XC

)]Z=U•I•阻抗

R-L-C串联交流电路中的

复数形式欧姆定律RC1–jjL第49页，共77页，星期日，2025年，2月5日RLC

=arctanXL-XCR2、关于复数阻抗Z

的讨论当时，－电路呈感性,u

超前i当时，－电路呈电阻性,u

、i同相当时，－电路呈容性,u

落后iXXRZCL-+=22)(阻抗模阻抗角阻抗三角形第50页，共77页，星期日，2025年，2月5日瞬时功率p=ui=UIcos

–UIcos

(2t+

)2.功率i=Imsint

u

=Umsin(t+

)

平均功率∫=UIcos

T10TuidtP=Ucos

=UR=RIP=URI=I2R

无功功率Q=UIsin

视在功率S=UI伏·安（VA）或千伏·安（kVA）

S用来衡量发电机可能提供的最大功率（额定电压×额定电流）PQSsinα·sinβ＝-1/2[cos(α＋β)-cos(α-β)]第51页，共77页，星期日，2025年，2月5日SQU•UR•UX•RXZ

功率、电压、阻抗三角形PS=

P2+Q2X=

XL-XC

UX•UL•UC•

=+Q=

QL–QCRLC第52页，共77页，星期日，2025年，2月5日解：1.

感抗XL=L=314×127×10-3=40

容抗

XC=C1=314×40×10-61=80复阻抗模

R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30

、L=127mH、C=40F，电源电压u=220sin(314t+45

）V求：1.感抗、容抗及复阻抗;2CRLuRuLuciu+–+–+–+–例复阻抗Z=

R2+(XL–Xc)2=50

或复阻抗第53页，共77页，星期日，2025年，2月5日求：2.电流的有效值和瞬时值表达式；解：1.

XL=40

XC=80=50–53

Z2.=22045

VU•电压相量I•=U•Z=22045

50–53

=4.498

A

I=4.4Ai=4.4sin(314t+98

)A电流有效值瞬时值2I•jLR+–+–+–+–U•UR•UC•UL•C1–j第54页，共77页，星期日，2025年，2月5日求：3.各元件两端电压瞬时值表达式。解：1.2.=22045

VU•电压相量I•=4.498

A

I•jLR+–+–+–+–U•UR•UC•UL•uR=1322sin(314t+98

)V3.=RI•=13298

VUR•=I•jXL=176–172

VUL•uL=176sin(314t

–172

)V2Uc•=--jXcI•=3528

VuC=352sin(314t

+8

)V2C1–jXL=40

XC=80=50–53

Z第55页，共77页，星期日，2025年，2月5日Z1U•I•Z2U2•U1•2.5.1

阻抗的串联+–2.5

阻抗的串联与并联分压公式：第56页，共77页，星期日，2025年，2月5日2.5.2

阻抗的并联=Z

1Z1Z211+Z1U•I•Z2I1•I2•+–分流公式：当并联支路较多时，计算等效阻抗比较麻烦，因此常应用导纳计算。导纳：阻抗的倒数第57页，共77页，星期日，2025年，2月5日例：图示电路中，电压表读数为220V,电流表读数为I1=10A，I2=14.14A,R1=12

，电源电压u与电流i同相。求总电流I、R2、XL、

Xc.

I•I1•U2•1014.1410U1•120100uii2i1CR2LR1A1A2Vu1u210A14.14AI1=10AXc=10010=10

=10014.14Z2=7.07

R2=

XL=5

解：I2•+–+–+–U•220

Z=45o第58页，共77页，星期日，2025年，2月5日

含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全补偿，即：u、i

同相，便称此电路处于谐振状态。谐振串联谐振：L

与C

串联时

u、i

同相并联谐振：L

与C

并联时

u、i

同相谐振概念：2.6电路中的谐振第59页，共77页，星期日，2025年，2月5日一、串联谐振串联谐振条件串联谐振频率:I•jLR+–+–+–+–U•UR•UC•UL•C1–j串联谐振的条件是：CL1ww=第60页，共77页，星期日，2025年，2月5日串联谐振电路的特征I00fI0fR1

CLZ(2)阻抗模最小,为R。(3)电路电流最大，为U/R。f0f0IU•UR•UC•UL••(1),电路呈电阻性,电源供给电路的能量全部被电阻消耗掉，没有能量转换。(4)

电感和电容两端电压大小相等,相位相反。当XL=XC>R时，电路中将出现分电压大于总电压的现象。注：串联谐振也被称为电压谐振第61页，共77页，星期日，2025年，2月5日品质因数——

Q

值

定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的电压与总电压之比。(无量纲)谐振时:

在谐振状态下,Q

则体现了电容或电感上电压比电源电压高出的倍数。UC=UL=QU

Q值越大，选择性越好。第62页，共77页，星期日，2025年，2月5日串联谐振应用举例收音机接收电路接收天线与C（可变电容）

：组成谐振电路将选择的信号送接收电路第63页，共77页，星期日，2025年，2月5日

组成谐振电路，选出所需的电台。

为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信号；第64页，共77页，星期日，2025年，2月5日并联谐振条件或同相时则谐振二、并联谐振要使Z呈纯电阻（图中电阻为电感电阻）第65页，共77页，星期日，2025年，2月5日并联谐振电路特征(1)电路呈电阻性。(4)支路电流可能会大于总电流。(2)

阻抗模为Z0=LRC比非谐振情况下阻抗模要大(3)外加电压一定时,电流I为最小值。0ff0Z0I所以并联谐振又称电流谐振。品质因数:Q=ICI0

0CR1

L=R=ILI0=第66页，共77页，星期日，2025年，2月5日功率因数低引起的问题有功功率P=UNIN

cos

功率因数1.电源设备的容量将不能充分利用2.增加输电线路和发电机绕组的功率损耗I=Ucos

P在P、U一定的情况下，cos

越低，I越大损耗越大。情况下，cos

越低，P越小，设备得不到充分利用。P=UIcos

P=rI2电压与电流的相位差角(功率因数角)在电源设备UN、IN一定的2.7功率因数的提高(自学)第67页，共77页，星期日，2025年，2月5日负载iu说明：

由负载性质决定。与电路的参数和频率有关，与电路的电压、电流无关。功率因数和电路参数的关系RZ第68页，共77页，星期日，2025年，2月5日纯电阻电路R-L-C串联电路纯电感电路或纯电容电路电动机空载满载

日光灯

（R-L-C串联电路）常用电路的功率因数第69页，共77页，星期日，2025年，2月5日提高功率因数的原则：

必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。提高功率因数的措施:uiRL并电容C第70页，共77页，星期日，2025年，2月5日并联电容值的计算uiRLC

设原电路的功率因数为cos

L，要求补偿到cos

须并联多大电容？（设U