高考数学精准复习专项大招6圆锥曲线硬解定理含答案或解析

大招6圆锥曲线硬解定理大招总结圆锥曲线与直线的联立及弦长的计算,一般较为繁琐,如果借用一些勇哥发明的口诀,可以快速写出答案,当然一些应该有的过程还是要装一下样子的.1.口诀:两家(加)小两口方偶方站门外方单身狗如果写出了这个式子,韦达定理就可以快速写出两根之和、两根之积.2.弦长公式也有口诀可以速算. 口诀:小倍积,大方和成对去见(减)单身方。见完回到分母上3.判别式.只需要记住“成对去见单身方”即可。直线与椭圆相切直线与椭圆相交直线与椭圆相离4麻花公式口诀:大倍积小方积典型例题例1.过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于两点,弦长,则直线的斜率为解方法1:椭圆的,右焦点为,设直线的方程为,代入椭圆方程可得，,即有,由椭圆的第二定义可得,. 解得.故答案为:.方法 设直线方程 由公式得:,所以例2.设椭圆的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点,直线的倾斜角为,椭圆的离心率为.如果,求椭圆的方程.解方法1:由,得,则椭圆方程为,即∵直线过右焦点,且倾斜角为,∴直线的方程为,联立,消去得:.设则∴,解得中∴椭圆方程为:.方法2: 设直线方程由公式得:,又,所以解得,椭圆方程为例3.已知椭圆,椭圆的右焦点为,求过点且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长;(2)判断点与椭圆的位置关系,并求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程.解方法1:(1)由题意可得:过点且斜率为1的直线方程为,联立直线与椭圆的方程可得:, 由弦长公式可得:.(2)设以为中点粗圆的弦与椭圆交于,∵为中点, 把分别代入椭圆,得。∴∴∴∴以为中点的椭圆的弦所在的直线方程为:,整理,得.方法2: 直线方程 由公式得：例4.(2021秋-宁县校级期末)已知椭圆的焦距为,短半轴的长为2,过点斜率为1的直线与椭圆交于点.(1)求椭圆的标准方程;(2)求弦的长.解(1)由已知可得:,联立解得:.∴椭圆的标准方程为.(2)方法1:直线的方程为:,即.设联立,化为:,, 方法2： 直线方程 由公式得:例5.(2010-山东)如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为,一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和、.(I)求椭圆和双曲线的标准方程; (II)设直线、的斜率分别为、,证明;(III)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解方法1:(I)由题意知,椭圆离心率为,得,又所以可解得,所以,所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为.设点,则又点在双曲线上,∴,即.(III)假设存在常数,使得得恒成立,则由知,∴设直线的方程为,则直线的方程为,由方程组消得:设,则由韦达定理得,, 同理可得,∵ ∴存在常数,使得恒成立.方法2:(II)根据双曲线第三定义得:(III)假设存在常数,使得得恒成立,则由(II)知,∴设直线的方程为,则直线的方程为,化成一般式,联立椭圆方程其中由公式得:同理可以得到 自我检测已知:椭圆,直线,当为何值时,直线与椭圆相切?解：方法1:由得,当直线与椭圆相切时,,即,解得,即时直线与椭圆相切.方法2:改写一下直线方程,其中时相切,得到2.已知椭圆及点,过与椭圆相切的直线交轴的负半轴于点为椭圆的右焦点,则A. B. C. D. 2.方法1：如图,设过的直线方程为，联立,得.由,得.由题意取,则直线方程为,取,得.∴,在中,,∴.∴.故选B.方法2:改写直线方程然后联立根据相切得到:,那么,所以3.已知椭圆及圆,如图过点与椭圆相切的直线交圆于点,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.解：由,可得为等边三角形,即,设直线的方程为,圆心到直线的距离为,弦长,解得,可得直线,代人椭圆方程,可得,由直线和椭圆相切,可得： 化简可得,由,可得,即有故选4.已知椭圆及.(1)当为何值时,直线与椭圆有公共点?(2)若直线被椭圆截得的弦长为,求直线方程.解:(1)把直线代人得,(1)∴.方法1:设直线与椭圆交于,,两点,由(1)得 ∴,解得.∴所求直线方程为.方法2： 直线方程 由公式得:所求直线方程为.5.已知椭圆以为左右焦点,且与直线相切于点.(1)求椭圆的方程及点的坐标;(2)若直线与椭圆交于两点,且交于点(异于点),求证:线段长成等比数列.方法1：（1）由题意,设椭圆方程为,联立椭圆和直线的方程消去得,所以,化简得,由知,,所以椭圆方程为.将代回原方程组,解得切点的坐标为.方法2：,根据硬解定理相切的时候得到(2)联立直线与的方程解得点为,又因为,由弦长公式得,所以.设,联立椭圆与直线的方程,消去得,得则又因为, 所以,所以,又,所以线段长成等比数列.6.已知点是椭圆上一点,是椭圆的两焦点,且满足.(I)求椭圆的标准方程;(II)求过与椭圆相切的直线方程.解:(I)∵椭圆上的点满足,解得椭圆的方程为,把代人得,解得,∴椭圆方程为.(II)方法1:过与轴垂直的直线与椭圆不相切,因此切线的斜率存在.设过的直线方程,由,消去得关于的方程:.令,解得,故所求的切线方程为:.方法2:改写直线的方程为一般