高考数学精准复习专项大招5同构与导数放缩含答案或解析

大招5同构与导数放缩大招总结同构不等式是近些年高考模拟题的热点题型，经常出现在压轴选择填空和导数大题中，特别是恒成立求参数取值范围，或证明不等式，常规方法可能需要采用隐零点，往往较为繁琐，而用同构，则会达到四两拨千斤的功效．那么何为同构？什么时候用同构呢？顾名思义，同构，函数结构相同时使用，或者通过变形使不等式两边的函数结构相同。例如题目给了条件能等价变形为，然后利用的单调性，如递增，再转化为，这种方法我们就可以称为同构不等式，简称同构．王国维先生有人生三重境界：“昨夜西风调碧树，独上高楼，望尽天涯路。”此第一境也。“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。”此第二境也。“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。”此第三境也。现在，勇哥逐层递进，给大家讲解同构的三重境界．同构的方法，勇哥从多位老师的文章和书籍中学到很多，如唐鑫老师、陈永清老师，在此表示感谢!同构第一重境界：双变量问题、地位完全等价，只需把同一个变量移到不等式同一边即可。给大家一些常见的例子，一看便知．（1）为增函数，求导证明即可（2）为减函数．同构第二重境界：指对跨阶时使用，何谓指对跨阶？简单做一个介绍，、x、中，指数增长最快属于第一阶，x其次，属于第二阶，增长最慢，属于第三阶。如果题目中既出现，又出现，我们暂且称之为指对跨阶．指对跨阶常见模型及处理方法：（1）积型：（2）商型：（3）和差型：同构第三重境界：有些同构式不是很明显的指对跨阶，需要配凑常数或者自变量x，此类题型较为含蓄，需要同学们多加练习。举例说明：例如：（1）（2）（3）以上就是同构的三重境界，很多同学看完后可能同构的运用还是不够灵活，要想用好同构，还要掌握两种方法，指对变换与放缩．常见的指对变换有，，基于此，有如下一些变形，需要大家理解并掌握．，；，，常见的放缩在本书的前几讲有详细讲解，有如下一些变形，需要大家理解并掌握．（1），（2），，，常见的指对变换与放缩结合有如下几种：，；；，典型例题例1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．（1）：解：，．（2）；解：，．（3）；解：，．（4）；解：，．（5）；解：，．（6）．解：，．（7）；解：，．（8）；解：，．例2．（2020·新课标Ⅱ）若，则（）A． B． C． D．方法1：由，可得，令，则在上单调递增，且，所以，即，由于，故．方法2：取，，满足，此时，，可排除BCD．故选A．例3．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．解：方法1：当，由题意可得与互为反函数，故问题等价于在区间上恒成立．构造函数，则，令，得，且此时函数取到最小值，故有，解得；当时，不符合条件，舍去，故a的取值范围是：；故答案为：．方法2：由指对函数图像可知，，构造，，，，，构造，，从而，．例4．（2021春·碑林区校级月考）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为______．解：方法1：隐零点∵实数，对任意的，不等式恒成立，∴，设，，，，令，得，由指数函数和反函数在第一象限的图象，得到与有且只有一个交点，设交点为，当时，，递增，当时，，递减，∴在处取得极小值，且为最小值，∴，令，解得，，当时，不等式恒成立，则的最小值为．方法2：同构，，当，不等式恒成立当，构造，，，构造，，．例5．（2020·成都二诊）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（）A． B． C． D．解：即所以且，构造，所以，，故，令，，则，令，解得，令，解得，∴在单调递增，在单调递减，∴．故选C．例6．若对任意，恒有，则实数a的最小值为______．解：，令，则，，易知在（0，1）上递減，在上递增，所以，所以在单调递增．则，易证，所以，故答案为：．例7．（2020·金安区校级模拟）已知函，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．解：方法1：，令，显然为增函数．则原命题又等价于．由于，所以，即得．方法2：，，，，，构造，，，，令，，，．例8．对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值为______．解：．由于为增函数，所以由，得，即恒成立．令，则，易得，所以实数a的最小值为．例9．（2020·山东）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若，求a的取值范围．解：（1）当时，，∴，∴，∵，∴曲线在点处的切线方程为，当时，，当时，，∴曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．（2）方法1：同构，由，可得，即，即，令，则，∴在上单调递增，∵，∴，即，令，∴，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，∴，∴，故a的范围为．方法2：由可得，，，即，设，∴恒成立，∴在单调递增，∴，∴，即，再设，∴，当时，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴，∴，即，∴，则，此时只需要证，即证，当时，∴恒成立，当时，，此时不成立，综上所述a的取值范围为．方法3：由题意可得，，∴，易知在上为增函数，①当时，，，∴存在使得，当时，，函数单调递减，∴，不满足题意，②当时，，，∴，令，∴，易知在上为增函数，∵，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴，即，综上所述a的取值范围为．方法4：∵，，，∴，易知在上为增函数，∵在上为增函数，在上为减函数，∴与在上有交点，∴存在，使得，则，则，即，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴∴设，易知函数在上单调递减，且，∴当时，，∴时，，设，，∴恒成立，∴在上单调递减，∴，当时，，∴，∴．例10．已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围．解：（1）若，则，设，则，故存在唯一，使得，即，，，单调递减，，，单调递增，所以，所以在单调递增．（2）若，当时，，若，，则．设，则，令，则，，，单调递减，，，单调递增．当时，，当时，，，若，只需满足，即．设，则，令，则，，，单调递增，，，单调递减，所以所以若，即，则，综上所述，当时，．自我检测1．（2020·成都模拟）已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为（）A． B． C． D．答案：D，函数定义域，，当时，，单调递增，当时，，所以时，；时，；当时，，单调递减，此时，所以若存在，，使得成立，则且，所以，即，所以，，令，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，，故选D．2．（2021春·浉河区校级月考）设实数．且不等式对恒成立，则m的最大值是（）A．e B． C．2e D．答案：D由题意，，，不等式对恒成立，等价于，设，则，于是在递增，∵，时，不等式显然成立，时，有，故，令，，，故在递增，在递减，故，故，即m的最大值是，故选D．3．（2021春·渝中区校级月考）已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为（）A． B． C． D．答案：D即为，设，则上式对任意的实数恒成立，显然是上的增函数，∴，故选D．4．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C，令，，由，且，知在为减函数．所以，故选C．．5．已知，函数的最小值为0，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．答案：C，当且仅当，即，即时等号成立，所以．答案：C．6．已知函数，的零点，则______．答案：2．所以，即，或．则．7．已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值是______．答案：（利用）等号成立的条件是，即有解．令，则，易得．故a的最小值为．8．已知函数，，其中，求证：．答案：证明：，令，则，易知，故．9．已知函数，若，求a的取值范围．答案：．由于，当且仅当等号成立，所以．10．已知函数，，当时，若恒成立，求a的取值范围．答案：，当，不等式恒成立；当时，，由于，【利用】当且仅当等号成立，所以．故．11．已知函数，求证时，．答案：证明：令，则，易知，又时，．所以时，．12．已知函数，．（1）讨论，零点的个数；（2）若方程有实数根，求a的取值范围．答案：（1），，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当，即时，无零点，当时，有一个零点，当时，有两个零点当时，有一个零点．，当时，，单调递增，是的唯一零点，当时，若，则，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，当时，即时，无零点，当时，有一个零点，当时，有两个零点，当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，即时，无零点，当时，有一个零点，当时，有两个零点．（2）若方程有实数根，即有大于零的实数根，即有大于零的实数根，设，则，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立，设，若方程有实数根，则存在零点，，当时，则，在单调递增，所以存在唯一零点，当时，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，即时，存在零点，综上所述，当时，方程有实数根．13．已知函数，．（1）若，求的极值；（2）证明：．答案：（1）当时，．，当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．综上，的极小值为，无极大值．（2）因为，当且仅当时等号成立，所以若，只需，设，则，，所以只需证明，设，则，当时，，，，单调递减，当时，，，，单调递增，所以，即，当且仅当，且严时等号成立，此时，．所以．14．已知函数，已知实数，若在上恒成立，求a的取值范围．答案：方法1：同时加x构造，单调递增，即15．已知函数，，若，求的最大值．答案：由题意：；，而：，∴．构造在单增，∴，∴，∴，∵，∴．16．若时，关于x的不等式恒成立，求a的最大值．答案：．构造，，∵，当时，恒成立当时，在所以：．17．已知函数，若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．答案：方法1：，∴，∴令，单增，∴．方法