广西壮族自治区柳州市柳城县中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题含答案

/柳城县中学2022级3月月考数学卷试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】解不等式，得，则，而，所以.故选：C2.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算求解即可；【详解】.故选：A.3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式列式计算得解.【详解】由，得.故选：B4.已知抛物线的焦点是双曲线的右顶点，则双曲线的离心率是（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，根据抛物线焦点是双曲线的右顶点，可求得，进而可求得，代入离心率公式即可求解.【详解】由题意，得抛物线的焦点坐标是，则在双曲线中，.又因为在双曲线中，，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（）A.5 B.8 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案.【详解】依题意，得为偶函数，则，即，当时，，D正确，其他选项均不正确.故选：D．6.若函数是奇函数，则b的值为（）A. B.2 C.-2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用奇函数定义，结合对数运算求出值.【详解】由函数是奇函数，得，即，则，即，而不恒为0，因此，解得，此时4x2+1函数的定义域为R，符合题意，所以.故选：A7.在中，若的面积为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式可得出的值.【详解】在中，因为，则，故，，由同角三角函数的基本关系可得，解得，，由三角形的面积公式可得，可得.故选：B.8.已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的满足，且，则（）A. B.是偶函数C.曲线关于点对称 D.【答案】D【解析】【分析】借助赋值法令，即可判断A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可判断B；结合复合函数导数公式与对称性可判断C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可判断D.【详解】对A：令，有，故，故A错误；对B：令，有，又不恒为零，故，即，又，故是奇函数，故B错误；对C：令，；令，所以，即，因为不恒为零，所以，，关于直线对称，所以关于直线对称，故C错误；对D：由，故，令，有，即，则，即，，即，，即，令，有，即，则，则；，所以；，所以；故，故D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（）A.平面B.当时，平面C.当时，平面D.当时，点G到平面的距离为【答案】AC【解析】【分析】利用共面向量定理可判断A；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD.【详解】因为，所以共面，又均过点，所以共面，所以平面，故A正确；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，当时，，所以，所以，又，所以不平行于平面，故B错误；所以，所以，所以平面，故C正确；当时，，所以点G到平面的距离为，故D错误.故选：AC.10.已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.数列为等比数列【答案】ACD【解析】【分析】由等比数列的通项公式求得首项和公比，进而逐项判断即可；【详解】根据题意，解得故A正确；则，故B不正确；，C正确；因为，，所以，是等比数列，D正确．故选：ACD11.已知点，，抛物线的焦点为．过的直线交于，两点，线段交于点，则下列说法正确的是（）A. B.若，则C.若，则直线的斜率为 D.的内心在定直线上【答案】ACD【解析】【分析】根据焦点坐标，可求，判断A的真假，结合抛物线焦点弦的性质和焦半径公式，可判断B的真假；根据条件，求点坐标，确定直线的斜率，判断C的真假；根据的位置关系，可判断D的真假.【详解】如图：对A：因为，所以，故A正确；对B：因为，所以抛物线标准方程为，设，，根据抛物线焦点弦的性质可得：.不妨设在第一象限，由，所以，所以，所以，故B错误；对C：因为，所以为中点，所以，由或.所以直线的斜率为或，故C正确；对D：设，直线：，代入，整理可得：.所以，又，所以.即关于轴对称，所以的角平分线为轴，所以的内心一定在轴上.故D正确.故选：ACD【点睛】结论点睛：对抛物线（），，在抛物线上.（1），为抛物线的焦点；（2）若直线经过抛物线的焦点，则，.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中的项的系数为________．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用组合应用问题列式计算得解.【详解】展开式中的项是4个多项式中取3个用，余下一个用，该项为，所以展开式中的项的系数为.故答案为：13.如图，在中，，，，，，若D，E，F三点共线，则最小值为______．【答案】【解析】【分析】结合图形由平面向量的基本定理可得，再利用基本不等式的乘“1”法可得答案.【详解】由，得，即，，E，F三点共线，，，当且仅当，时取等号，所以的最小值为故答案为：.14.已知正三棱台的上底面边长是下底面边长的一半，侧棱长为2，过侧棱中点且平行于底面的截面的边长为3，则正三棱台的体积为________.【答案】##【解析】【分析】将该正三棱台补成正三棱锥，结合题意可得三棱台的上、下底面边长，则可得正三棱锥的侧棱长，再计算出三棱锥的高后结合体积公式计算即可得解.【详解】如图，延长三棱台的侧棱交于一点O，可以得到正三棱锥，设三棱台上底面边长为，下底面边长为，则有，即，则正三棱锥的侧棱长为，过点O作平面ABC，交平面于点，记的中点为，则，故三棱锥的高为，故三棱台的体积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球．某校为了了解学生爱好足球是否与性别有关，对本校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，其中女生有20人爱好足球，男生有40人爱好足球．（1）根据已知条件，填写下列2×2列联表，并依据独立性检验表，判断是否有99.9%的把握认为该校学生爱好足球与性别有关？爱好不爱好合计男生女生合计附:，．α0.0500.0100.0013.8416.63510.828（2）现从该样本爱好足球的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．【答案】（1）表格见解析，有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）由题意直接填写表格即可，接着根据表格数据计算卡方值即可依据独立性检验的思想方法得解；（2）依据分层抽样先求出抽取的6名学生中男女生人数，接着求出随机变量的所有可能取值，再求出各取值相应的概率即可求解分布列和均值.【小问1详解】填写列联表为：爱好不爱好合计男生401050女生203050合计6040100零假设爱好足球与性别无关.根据列联表中的数据得，故依据独立性检验，可以推断不成立，所以有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关.【小问2详解】由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，其中男生人数为（人）；女生人数为（人）由题意可得，随机变量的所有可能取值为.，随机变量的分布列如下：123则.16.已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）利用给定条件求出切点，结合导数的几何意义求出斜率，进而求出切线方程即可.（2）将函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解参数范围即可.【小问1详解】当时，，，则切点为，切线方程是，即【小问2详解】，，函数在区间上单调递减区间上恒成立，，化简得，而，则，得到恒成立，令，即恒成立，即可，而，令，，而当时，，则在上单调递减，故，得到在上单调递减，，．17.如图，四棱锥中，，且.（1）求证：平面平面；（2）若是等边三角形，底面是边长为3的正方形，是中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合线面角定义进行求解即可.【小问1详解】由，得，，又，则，而，平面，则平面，平面，所以平面平面.【小问2详解】取中点，连接，由是等边三角形，得，平面平面，平面，平面平面，则平面，过点作，则平面，又四边形为正方形，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知椭圆C的方程为，上顶点为，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为椭圆C上异于A，B的动点，设交直线于点T，连结交椭圆C于点Q．直线，的斜率分别为，．（ⅰ）求证：为定值；（ⅱ）证明直线经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析；【解析】【分析】（1）依题意可得，，从而求出，即可求出椭圆方程.（2）①分别求出的坐标，设，，利用数型结合分别求出，从而求解；②中设出直线方程，然后与椭圆方程联立，再利用根与系数的关系及①中结论，即可求解.【小问1详解】依题意可得，，则，所以，所以椭圆的方程为.【小问2详解】（ⅰ）设，，.由（1）可知，，如图所示，所以，，又因为，即，于是，所以，又，则，因此为定值.（ⅱ）设直线的方程为，由（ⅰ）中知，，由，得，Δ=16t2由根与系数的关系得，由（ⅰ）可知，，即，代入化简得，解得或(舍去)，所以直线的方程为，所以直线经过轴上的定点，定点坐标为.【点睛】关键点点睛：（2）问（ⅰ）中利用数型结合及转化从而求出为定值；（ⅱ）中利用直线与椭圆联立消元后利用根与系数关系及（ⅰ）中结论建立等式，从而求解.19.已知数列，若为等比数列，则称具有性质．（1）若数列具有性质，求；（2）若，求证：数列具有性质；（3）数列具有性质，求．【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（