上海市延安中学2024-2025学年高二下学期3月调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市延安中学高二下学期3月调研数学试卷一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题中正确的是(

)A.若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα

B.若直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α

C.平行于x轴的直线的倾斜角为180∘2.已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面α,β，下列命题中正确的是(

)A.若b⊂α,a//b，则a//α B.若a⊥α,b⊥α，则a//b

C.若a⊥α,α∩β=b，则a//b D.若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b，则l⊥α3.已知圆C1:x2+yA.外离 B.外切 C.相交 D.内切二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。4.三棱锥O−ABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=OC，下列命题中错误的是(

)A.(OA+OB+OC)2=3OA2

B.BC⋅(CA−三、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。5.圆x2+4x+y26.直线3x+y−1=0的倾斜角为

．7.已知点Am,1,B3,2m，若直线AB的一个方向向量坐标为1,1，则实数m的值为8.直线x+2y−3=0与直线x−y−5=0的夹角的大小为

．9.已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆角的2π3的扇形，则此圆锥的母线长为

10.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则侧面积为

．11.已知空间向量a=4,−1,λ，b=2,1,1，c=1,2,1，若，，c⇀共面，则实数λ=12.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90∘，C为球面上的动点.若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，求球O的表面积

．13.已知直线l过P(−2,−1)，且与以A(−4,2)，B(1,3)为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为

．14.已知实数x,y满足x2+y2−4x+1=0，则15.已知向量，满足a=1,1,2，|b⇀|=2，且a+b=16.已知点P为直线l：x+y−2=0上的动点，过点P作圆C：x2+2x+y2=0的切线PA，PB，切点为A，B，当|PC|·|AB|最小时，直线AB四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D(1)求点A到平面BEF的距离；(2)求平面ACC1A118.(本小题12分)如图，平行六面体ABCD−A1B1C

(1)用AB,AD,AA(2)求异面直线AC与BD119.(本小题12分)在平面直角坐标系中，已知▵ABC的顶点A−4,2(1)若AC边上的高BE所在的直线方程为x−3y+10=0，求边AC所在的直线方程；(2)若AB边上的中线CF所在直线方程为x+2y−5=0,∠B的平分线BD所在的直线方程为y=2x，求边BC所在的直线方程；20.(本小题12分)

如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON=−3，OA=6 km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km，6105

km.现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q(1)求水上旅游线AB的长；(2)若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成t ℎ时的半径为r=3at(a为大于零的常数).强水波开始生成时，一游轮以182

km/ℎ的速度自码头A开往码头21.(本小题12分)已知圆C过A(1,−7)，B(6,23(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l过点D2,10，且被圆C截得的弦长为43(3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线OM，ON分别与直线x=8相交于P，Q，记▵OMN，▵OPQ面积为S1,S2，求参考答案1.D

2.B

3.D

4.ABD

5.2

6.2π37.438.arctan3

9.310.48

11.1

12.144π

13.(−∞,−314.−15.3216.3x+3y+1=0

17.解：(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A0,0,0，C4,4,0，A10,0,4，B4,0,0∴BE设平面BEF的法向量为n=x,y,z令x=2，则y=−2,z=1，故n=∴点A到平面BEF的距离为AB⋅(2)由(1)得，AA设平面ACC1A1令x′=1，则y′=−1,z′=0，故m=∴cos∴平面ACC1A1与平面

18.解：(1)由题意可得：AB2AB⋅AC=BDBDBD(2)由(1)可得：AC2所以AC=2AC⋅设异面直线AC与BD1所成角为则cosθ=所以θ=

19.解：(1)因BE⊥AC，且kBE=1因A−4,2则直线AC的方程为y−2=−3x+4，即y=−3x−10(2)设点Ba,b，则线段AB的中点为a−4将其代入CF所在直线方程x+2y−5=0中，得a+2b=10，将点B代入BD所在的直线方程y=2x中，得b=2a，解得a=2,b=4，即B2,4设点A关于直线y=2x对称得点A′m,n则n−2m+4=−12n+2因B、C、A′三点共线，则直线BC所在的直线方程为y−4=−3x−2，即y=−3x+10

20.解：(1)以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立直角坐标系如图所示．

则由题设得：A6,0，直线ON的方程为y=−3x,Qx由3x0+310=6105，及x0>0得x0=3，∴Q3,3．

∴直线AQ的方程为y=−x−6，即x+y−6=0，

由y=−3x,x+y−6=0得x=−3,y=9,即B−3,9，

∴AB=−3−62∴C6−18t,18t．

强水波不会波及游轮的航行，即PC2>r2当t=0时，上式恒成立,当t≠0时,即t∈0,令g(t)=72t+当且仅当t=56∈(0,12]

21.解：

(1)由圆心C在

x

轴上，

设圆的方程为

(x−a)2+又圆C过

A(1,−7)

，

B(6,23)

，

得

(1−a)2+7=r2(6−a(2)①若直线

l

斜率不存在时，

直线

l

与圆C交点为

2,±2直线被圆C截得的弦长为

43

，

故直线

x=2②若直线

l

斜率存在时，设

l:y−10=k(x−2)

，

整理得

l:kx−y+10−2k=0

，所以圆心C

到直线

l

的距离为

|10+2k|k2+1=42−4322,

解得

k=−12综上所述，直线

l

的方程为

x=2

或

12x+5y−74=0；(3)解：由题意知，

∠MON=π2

，

设直线

OM

的斜率为

k(k≠0)

，

则直线

OM

的方程为

y=kx由

y=kxx2+y