广东省汕尾市普宁华美实验学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（3月）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省汕尾市普宁华美实验学校高二下学期第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若a，b，c为实数，数列−1,a,b,c,−25是等比数列，则b的值为(

)A.5 B.−5 C.±5 D.−132.“直线mx−y+1=0与直线x−my−1=0相互平行”是“m=1”的(

)A.充分不必要条件 B.充要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知点F为抛物线C:y2=42x的焦点，P为C上一点，若|PF|=3A.2 B.2 C.224.已知圆x2+2x+y2=0关于直线ax+y+1−b=0(a,b为大于0的常数)对称，则A.14 B.12 C.1 5.已知函数fx=2x−2exA.fx有极小值，且极小值为0 B.fx有极小值，且极小值为−2

C.fx有极大值，且极大值为0 D.6.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点分别为F1、F2，点A.12 B.18 C.24 D.367.设Sn为等差数列an的前n项和，且∀n∈N∗，都有SnnA.Sn的最小值是S7 B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S8.已知抛物线C:y2=4x，其中AC，BD是过抛物线焦点F的两条互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α=45∘时，如图所示的“蝴蝶形图案(A.4 B.8 C.16 D.32二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=1,1,0,bA.向量a与向量b的夹角为π6

B.c⊥a−b

C.向量a在向量b上的投影向量为0,1210.等差数列an的前n项和为Sn，若a1>0，公差d≠0A.若S4>S8，则S12<0 B.若S4=S8，则S6是Sn中最大的项11.已知函数f(x)=1ex+1+sinA.当a=−12时，f(x)为奇函数

B.f(x)的图象关于直线x=π2对称

C.当a=0时，∃x0∈[0,2π]，fx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=1−2+3−4+⋯+(−113.如图，已知O是圆柱下底面圆的圆心，AA1为圆柱的一条母线，B为圆柱下底面圆周上一点，OA=1，∠AOB=2π3，▵AA1B为等腰直角三角形，则异面直线A1O14.已知函数f(x)=lnx−aeax，若对任意的x≥1e，f(x)≤0成立，则正数四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=2x(1)讨论f(x)的单调性；(2)已知a=1时，直线l:y=kx为曲线f(x)=2x3−ax16.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2(1)求双曲线C的方程;(2)若A，B为双曲线C上的两点，且直线l:y=13x过AB的中点，求直线17.(本小题12分)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．(1)求证：CN//平面AMD；(2)求证：平面AMN⊥平面MBC．18.(本小题12分)已知圆C的半径为3，圆心C在射线y=−2x(x≥0)上，直线x+y−1=0被圆C截得的弦长为3(Ⅰ)求圆C方程;(Ⅱ)过点P(2,0)的直线l与圆C交于M、N两点，且△OMN的面积是6(O为坐标原点)，求直线l的方程．19.(本小题12分)已知正项数列an(n∈N∗)的前n项和为Sn，且2Sn=an2+n.当(1)当n=5时，写出所有满足b1=2的数列(2)试判断数列bn(3)当n=80时，数列bn满足：b5,b10,⋯,b5k,⋯,b80参考答案1.B

2.B

3.C

4.A

5.D

6.D

7.C

8.B

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.9

13.314.1e15.【详解】(1)f′x令f′x=0，得x=0或若a>0，则当x∈−∞,0∪a3,+∞时，f故f(x)在−∞,0,a3若a=0时，f(x)=2x3，f(x)在若a<0，则当x∈−∞,a3∪0,+∞时，f故f(x)在−∞,a3,综上所述：当a>0时，f(x)在−∞,0,a3当a=0时，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；a<0时，f(x)在−∞,a3,(2)当a=1时，f设切点P(x0因为切线过原点，故−2x03解得x0=0所以k=0或k=−1

16.解：(1)因为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦点与椭圆x25+y2=1的焦点重合，

所以a2+b2=5−1=4．

因为双曲线C的渐近线方程为y=±33x，

所以ba=33．

解得a=3，b=1．

所以双曲线方程为x23−y2=1

(2) ①当直线AB过原点时，y=13x过AB的中点恒成立，因为直线AB与双曲线相

交，所以−317.【详解】(1)证明：因为四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．所以以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，C0,1,0，N1,1,1，A1,0,0，M0,0,1CN=1,0.1，平面AMD的一个法向量为CN⋅n=0，所以CN⊥n所以CN//平面AMD；(2)由(1)可得AN=设平面AMN的一个法向量m=则m⋅AM=−x+z=0m⋅B1,1,0，MC=0,1,−1设平面MBC的一个法向量P=则p⋅MB=a+b−c=0p⋅m⋅p=−1+1=0所以平面AMN⊥平面MBC．

18.解：(Ⅰ)设圆心C(a,−2a)(a≥0)，则圆的方程为(x−a)2∴32=2∴圆的方程为(x−2)(Ⅱ)①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=2，原点到直线的距离为d=2，令x=2代入圆方程得y=−1或−7，∴|EF|=6，∴S△OMN=12②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)，圆心C(2,−4)到直线l的距离d=4|MN|=2原点O到直线l的距离d=|2k|整理，得25k2+9=0综上所述，所求的直线的方程为x=2．

19.【详解】(1)∵2Sn∴当n=1时，2a1=a1当n≥2时，2Sn−1由①−②得：2an=∵an>0，a1=1∴数列an是以1为首项，1∴a由题意可得当n=5且b1=2的数列bn为：2，4，1，3，5和2，5，3，1(2)数列bn假设bn是等差数列，公差为t当t>0时，由题意知，t=2或3，此时，bi∴b1+1∴b当t<0时，由题意，t=−2