2024-2025学年江苏省盐城市滨海县东元高级中学高二下学期3月份检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省盐城市滨海县东元高级中学高二下学期3月检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l的方向向量为a=1,0,2，平面α的法向量为n=−2,0,−4A.l//α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α相交但不垂直2.已知直线l1的方向向量为a=(1,0,m)，直线l2的方向向量为b=(0,1,m)，若l1与l2的夹角为6A.1 B.−1 C.±1 D.03.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=2DC，E为PC上一点，且PC=4EC，则异面直线AC与BE夹角的余弦值为(

)

A.−4214 B.4214 4.已知a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(7,5,λ)，若{a,bA.0 B.357 C.9 D.5.已知向量a=(1,2,2)，b=(−2,1,1)，则向量b在向量a上的投影向量为

(

)A.(−29,−49,−49)6.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为线段DD1A.255 B.215 C.7.如图，三棱柱ABC−A1B1C1满足棱长都相等且AA1⊥平面ABC，AE=x，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是(

)A.先增大再减小 B.减小 C.增大 D.先减小再增大8.如图，棱长为2正方体ABCD−A1B1C1D1，O

为底面AC

的中心，点P

在侧面BC1内运动且D1O⊥OP，则点P

A.85 B.125 C.5二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.以下四个命题中正确的是(

)A.若非零空间向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c，则有a/​/c

B.若{a,b10.在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点P0(x0,y(2)过点P(x0,y0,z现已知平面α:x+2y+3z=6，l1:6x−3y=2,3y−2z=1,lA.l1⊥α B.l2//α C.11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BA.三棱锥D−A1D1Q的体积为定值

B.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段

C.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=λ+1,0,2λ，b=(6,2μ−1,2)，若a//b，则13.在空间直角坐标系中，点P坐标可记为x,y,z：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为r,θ,z.如图所示，空间直角坐标x,y,z与柱面坐标r,θ,z之间的变换公式为：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z.则在柱面坐标系中，点A1,π2,214.如图所示的木质正四棱锥模型P−ABCD，过点A作一个平面分别交PB,PC,PD于点E，F，G，若PEPB=35,PFPC=1四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图，在六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，底面ABCDEF是正六边形，设

(1)A(2)AE16.(本小题12分)在四棱柱ABCD−A1B1C(1)求证：平面A1BD⊥(2)若BD=2A1D=2，求平面A117.(本小题12分)

如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角B−AD−C为60∘，如图2，M为CD的中点．

(1)证明：BM⊥AC．(2)求二面角M−AB−D的余弦值．(3)试问在线段AC上是否存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为210?若存在，求出线段AQ的长度18.(本小题12分)如图，已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为2的正四棱柱，O1为A(1)证明：C1O//平面(2)若点C1到平面AB1D1(3)若线段CC1上存在点P，使得直线AP与平面AB1D119.(本小题12分)定义两个n维向量ai=xi,1,xi,2,⋯,xi,n，aj=xj,1,xj,2,⋯,xj,n的数量积ai⋅aj=xi,1xj,1+xi,2xj,2+⋯+xi,nxj,n(i,j∈N+)，ai⋅ai=ai2，记x(1)求2的完美3维向量集：(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由：(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和Sk=T．参考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.B

6.D

7.D

8.A

9.BCD

10.AC

11.ABD

12.71013.1014.3415.【详解】(1)依题意，底面ABCDEF为正六边形，连接对角线且交点记为O，如图：

A1=2ABA1由AB=2,AA1=5由cos∠BAA1a⋅c=A=16+8+25−12−8−6=23．(2)由(1)知AE因此A=4+16+25−8+4+8=49，所以AE

16.【详解】(1)在四棱柱ABCD−A1B由AA1=AB,∠A1于是A1B=A1A=A1D，令AC与而A1O∩AC=O,A1O,AC⊂平面A1AC，因此BD⊥所以平面A1BD⊥平面(2)由A1B=A1D及BD=2AO=A1O=12由(1)知直线OA,OB,OA1两两垂直，以O为原点，直线OA,OB,OA则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,−1,0),A设平面B1BD的法向量n=(x,y,z)，则n⋅DB平面A1BD的法向量为OA=(1,0,0)，设平面A1BD则cosθ=|cos⟨所以平面A1BD与平面B1

17.解：(1)证明：

在图1的等腰直角△ABC中，

D为BC的中点，所以AD⊥BC，

所以在图2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，

又BD∩CD=D，BD、CD⊂平面BCD，

所以AD⊥平面BCD，

因为BM⊂平面BCD，所以AD⊥BM，

因为AD⊥平面BCD，

所以∠BDC是二面角B−AD−C的平面角，

即∠BDC=60∘，所以△BCD为正三角形，

因为M为CD的中点，所以CD⊥BM，

又AD∩CD=D，AD、CD⊂平面ACD，

所以BM⊥平面ACD，

因为AC⊂平面ACD，所以BM⊥AC；

(2)以D为原点，DC，DA所在直线分别为y，z轴，过D点作平面ADC垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易知A(0,0,2)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，

所以AB=(3,1,−2)，BM=(−3,0,0)，

设平面ABM的法向量为n1=(x,y,z)，

则3x+y−2z=0−3x=0,

令y=2，得z=1，x=0，

所以平面ABM的一个法向量为n1=(0,2,1)，

同理平面ABD的一个法向量为n2=(−1,3,0)，

所以cosn1,n2=n1⋅n2|n1||n2|=2325=155，

观察可知二面角M−AB−D的平面角为锐角，

18.【详解】(1)证明：连接AO因为ABCD−A1B所以AA故四边形AA1C1C又O1为A1C1与B1D1所以AO=O1C故四边形AOC所以AO1//OC1，又AO1所以C1O//平面(2)以A1为坐标原点，A1B则B12,0,0,D1设平面AB1D则m⊥B令z=1，则x=y=ℎ2，故点C1到平面AB1解得ℎ=故正四棱柱ABCD−A1B(3)设AA1=ℎ由(2)知平面AB1D设P2,2,t,0≤t≤ℎ，则则AP⋅故ℎ+tt+ℎ2则s故11−4ℎ则11−4ℎu+4因为y=4ℎ2故2ℎ2≤故ℎ28+ℎ2≤故线段CC1的取值范围为

19.【详解】(1)由题意知，集合A中含有3个3维向量元素ai因为a12=a2又a1⋅a2=a1所以2的完美3维向量集为A=1,1,0(2)依题意，完美4维向量集B含有4个4维向量元素bi(i=1,2,3,4)，(i)当T=0时，bi(ii)当T=1时，bi∈1,0,0,0(iii)当T=2时，bi因为1,1,0,0⋅0,0,1,1=0，故1,1,0,0与0,0,1,1同理：1,0,1,0与0,1,0,1至多有一个为集合B中元素，1,0,0,1与0,1,1,0至多有一个为集合B中元素，故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去；(iv)当T=3时，bi∈1,1,1,0(v)当T=4时，bi综上所述，不存在完美4维向量集．(3)依题意，T的完美n维向量集C含有n个n维元素ci因为ci2=T，所以每个元素中有T个分量为1所以S1由(2)知