2024年圆锥曲线复习题含答案

2024年高考圆锥曲线复习题

1.已知曲线C上的点都在），轴及其右侧，且。上的任一点尸到y轴的距离比它到圆F：.r+/

-2A-+皆=0的圆心的距离小1.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点厂分别作直线八，/2,其中直线八交曲线。于点4,B,直线/2交曲线。于点

M,N,且直线AM过定点。（0,V2）,求证：直线BN的斜率为定值.

【分析】（1）解法I：配方法可得圆尸的标准方程，进而可得圆心尸坐标，设尸的坐标

为（x,y）,由C上的任一点P到y轴的距离比它到圆心F的距离小1,可•得

V（x-l）2+y2=x+h化简即可得出结论.

解法2：配方可得圆户的标准方程，进而可得圆心为尸坐标，由抛物线的定义可得知，

点P的轨迹为以点产为焦点的抛物线，即可得出答案.

（2）设其方程为工=机（），一企），联立抛物线的方程，则由△＞（）,可得机＞鱼或机＜0,

设4（xi,yi）,M（%2,”），结合韦达定理可得yi+”，yiy2,设B（巴y3）,N,

44

产），设直线48方程为x=〃y+l,联立抛物线的方程，结合韦达定理可得），1*=-4,进

而可得点8的坐标，同理可得点N的坐标，写出直线8N的斜率，即可得出答案.

1

解：（1）解法1:配方法可得圆尸的方程为（『1）2+），2=（-）2,

4

即圆尸的圆心为尸（1,0）,

设P的坐标为（x,＞,）,

由已知可得-1＞+*=x+i,

化简得，曲线。的方程为）?=4x.

解法2：配方可得圆产的方程为（x-1）2+/=（i）2,

4

即圆尸的圆心为尸（I,0）,

由题意可得。上任意一点P到直线x=-I的距离等于该点到圆心户的距离，

由抛物线的定义可得知，点P的轨迹为以点尸（1,0）为焦点的抛物线，

所以曲线。的方程为』=4尤

（2）证明：依题意可知直线AM不与坐标轴垂直，故可设其方程为（y-V2）,

代入）？=4x,得y2-4〃p+4在〃1=0,

其判别式4=16加2-16企机＞0,

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所以机或加V0,

设A(xi,yi),M(X2.)2),

贝|Jyi+y2=4/〃，y\y2=4y/2m,

因为点5,N在曲线C上,

VQ3yA2

所以可设其坐标为8(,V3)»N(---,)4),

44

因为直线A6过点尸(1,0),

所以可设其方程为x=〃y+l,代入)2=4X,

得y2-4ny-4=0,A>0,

4

所以)“*=-4,所以V3=,

-y\

所以点8的坐标为(’5,-3)，

yi2yi

同理可得点N的坐标为(/弓，一力,

所以直线BN的斜率为k=丁手)=为及1「；2)=-举"=一需=一企,为定

丫2-%yi+及4m

y/yr

值.

【点评】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的相交的问题，解题中需要一定的计算

能力，属于中档题.

2.已知产为抛物线C：)2=2px(p>0)的焦点，点A(-,b)(b>0)在抛物线C上，且

4

Hf]=3.

(1)求以线段A"为直径的圆的方程；

(2)不过原点O且斜率为1的直线交抛物线C于M,N两点，若P为线段MN的中点，

且|法|一|而|,求直线A/N的方程.

【分析】(1)由依4的值即抛物线的性质可得〃的值，进而求出抛物线的方程，将A的点

的只能代入抛物线的方程可得b的值，即A的坐标，由抛物线的方程可得焦点厂的坐标，

进而求出AF的中点的坐标，求出以A尸为直径的圆的方程；

(2)由题意设直线M/V的方程，由题意可得OMJ_ON,可得M,N的坐标的关系，将直

线MN与抛物线的方程联立可得两根之积，再由垂直可得横纵坐标的关系，进而求出参

数的值，即求由直线MN的方程.

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解：（1）由题意，及抛物线的性质可得：|4/1=3=2+舄解得：〃=4,

所以抛物线的方程为：/=8x：

4

由点A在抛物线上，所以庐=8­，。>0,

4

可得：人=2企：所以人（1,2V2）,

由抛物线的方程可得焦点/（2,0）

3「

所以A广的中点坐标（:，V2）,

所以以线段A尸为直径的圆的方程：《|）2+（y-V2）2=y

（2）因为P是MN的中点，R\OP\=\MP\,可得OM_LOM

由题意设直线MN的方程为x=y+m,则机W0,

设M（xi,yi）,N（X2,y2）»

联立y^Qx，整理可得：）？-8.V・8〃?=0,

则△=64+326>0,可得：m>-2,

且产+*=8,yiy2=-8m,

（乃为产

WllOhlxi.v2------=nr,

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由OM_LON,所以x\xi-¥y\y2=0，

即nr-8m=0,

可得〃2=8或/〃=0（舍）,

所以直线的方程为：x=y+8,

即直线MN的方程：x->'-8=0.

【点评】本题考杳求抛物线的方程及圆的方程的求法及直线与抛物线的综合，属于中档

题.

3.己知椭圆G：卷+[=1,椭圆。2：今+*l（a>b>0）经过椭圆Ci的左焦点尸和上

下顶点4,从设斜率为A的直线/与椭圆C2相切，且与椭圆Ci交于P,Q两点.

（I）求椭圆C2的方程；

（2）①若OP-OQ=4,求攵的值;

②求PQ弦长最大时攵的值.

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【分析】（1）根据椭圆方程。的性质，求得C2经过（0,V3）,（-V6,0）,即可求得椭

圆方程：

（2）①分类讨论，当直线斜率存在时，设直线方程，代入椭圆C2方程，由△i=0,求

得相2=3（29+1）,将直线方程代入。方程，由韦达定理向量的坐标运算，即可求得〃

的值；

②由①可知，利用弦长公式及基本不等式的性质和成立条件即可求得k的值.

解：（1）题意可知C2经过（0,V3）,（-V6,0）,

%2y2

所以椭圆Q的方程丁+—=1；

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（2）①当斜率不存在时，直线PQ方程为％=述，或x=-巫,

当工二遍，则P（灰，1）,Q（JZ1一1）,则办•花二5,显然不成立，同理当％二-遍，

不成立，

当直线。。的斜率存在，且不为0,

设直线PQ的方程P（xi,y\）,QGz>,2）»

（y=kx+m

联立方程组卜2y2_,整理得（1+2必）/+4也优+2加2-6=0,△1=16后〃2-4（1-2^）

（2m2-6）=0,即#=3（2必+1）,

y=kx+m

①联立22,整理得(1+3^)f+6财"3序-9=0,

(xV+Ty=1

6km

则％i+x2=-2f%1%2=3m2-；,

l+3k‘1+3/c'

血2_9k2

22

[hy1y2=kxxx2+fcm(x1+x2)+m=—―

2

由6>.6Q=x/2+丫仍=4m2