2024年中考数学几何模型24专题专题01 手拉手模型含解析

中考数学几何模型24专题专题01手拉手模型

一、方法突破

问题一：构成手拉手的必要条件.

当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点，

比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等.

条件：如图，OA=OB,OC=OO(四线共点，两两相等)，NAO5=NCOQ(夹角相等)

结论：^OAC^/\OBD(SAS)

证明无需赘述，关于条件中的OA=O8,OC=OD,有时候会直接以特殊几何图形的形式给出,

比如我们都很熟悉的等边三角形和正方形.

1.等边三角形手拉手

(1)如图，B、C、D三总共线，△ABC和aCOE是等边三角形，连接A。、BE,交于点P：

结论一：XACD叁XBCE

AC=BC

证明：ZACD=ZBCE—"CO丝(SAS)

CD=CE

(2)记AC、BE交点为M,AD.CE交点为N：

结论二：2ACN以BCM；&MCE//XNCD

4MBC=4NAC

证明：\BC^ACT^ACN%ABCM(SAS)；

/BCM=4ACN

NMCE=/NCD

CE=CD->>MCE出△NCO(ASA)

NCEM=ZCDN

(3)连接MN：

结论三：△MNC是等边三角形.

证明：二了“。—△似CN是等边三角形.

[/MCN=60。

（4）记A。、BE交点、为P,连接PC

结论四：PC平分NBPD

证明：&BCE妥/XACD—CG=CH—PC平分/BPD.

(5)结论五：NAPB=NBPC=NCPD=NDPE=60°.

(6)连接4E：

结论六：P点是△人CE的费马点(%+PC+PE值最小)

2.正方形手拉手

如图，四边形A4CO和四边形均为正方形，连接BE、DG：

A._________________.D

结论一：LBCE^^DCG

CB=CD

证明：，NBCE=NDCG—XBCE/^DCG(SAS)

CE=CG

结论二：BE=DG,BE上DG

证明：&BCEm4DCG-BE=DG；

NCBE=NCDG-NDHB=NBCD=90°(旋转角都相等)

【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、

定模型”.

问题二：条件与结论如何设计？

设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的

结论那样：

设计二：如果题目已知△ABCgAAOE外，则还可得△ABD和△ACE均为等腰三角形，且

ABAD_BD

有△ABQs/\ACE,

~^C~~^E~~CE

8J

D

问题三：如何构造手拉手？

如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？

当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？

图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数显关系，则先有位置关系.

二、典例精析

例一：如图，等边三角形A4C的边长为4,点O是AA3C的中心，ZFOC；=12()°,绕点O

旋转/FOG，分别交线段AB、8c于。、E两点，连接DE，给出下列四个结论:①；

②S、ODE=S、BDE：③四边形OD8E的面积始终等于④&5QE周长的最小值为6.上述

结论中正确的个数是()

例二：如图，点尸在等边A43c的内部，且0。=6,抬=8,依=10,将线段尸C绕点C

顺时针旋转60。得到尸C,连接AP,则sin的值为.

例三：如图，P是等边三角形内一点，将线段人尸绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ,

连接BQ.若24=6,P8=8,PC=IO,则四边形APBQ的面积为.

B

例四：如图，等边三角形43c内有一点分别连结小、BP、CP，若A尸=6,8尸=8,

CP=10,则SMM+SAH”=一•

例五：如图，P为等边三角形八3C内的一点，且2到三个顶点4,B,C的距离分别为3,

4,5,则AA4c的面积为（）

…+季B.9+竿C.18+25>/3D.如早

例六：在阳△48C中，AB=AC,点尸是三角形内一点且乙4尸8=135°,PC=4尬,AC的

最大值为.

三、中考真题演练

1.（2021•口照）问题背景:

如图1,在矩形人ACO中，AB=26N4AD=30。，点E是边八8的中点，过点E作砂_L/W

交BD于点、F.

实验探究：

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的43所绕点“按逆时针方向旋转90。，如图2

所示，得到结论：①任=B.②直线与叱所夹锐角的度数为

DF~2-

（2）小王同学继续将反5£尸绕点3按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究

（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当A5所旋转至。、E、/三点共线时，则AADE的面积为

2.（2021•贵港）已知在A43C中，O为3。边的中点，连接AO,将AAOC绕点O顺时针

方向旋转（旋转角为钝角），得到AEO/，连接AE,CF.

（1）如图1,当NB4c=90°且AB=AC时，则AE与C尸满足的数量关系是_AE=CF_；

（2）如图2,当N84C=90。且AB/AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出

证明过程；若不成立，请说明理由.

（3）如图3,延长AO到点。，使OD=Q4,连接QE,当AO=b=5,BC=6时，求DE

的长.

图1图2图3

3.（2021•黑龙江）在等腰A4T坦中，AE=DE,AA3C是直角三角形，ZC4B=9D°,

ZABC=-ZAED,连接CD、5,点尸是4。的中点，连接所.

2

（1）当N"O=45。'点〃在边AE上时'如图①所示，求证：EF=#D；

（2）当/石M>=45。，把A4BC绕点A逆时针旋转，顶点3落在边4）上时，如图②所示，

当/石4。=60。，点8在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段瓦'和C£）又有怎

样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

4.（2021•通辽）已知&4OB和AMON都是等腰直角三角形<OM<OA)

ZAOB=ZMON=90°.

（1）如图1,连接AW,BN,求证：AM=BNx

（2）将AMON绕点O顺时针旋转.

①如图2,当点M恰好在边上时，求证：AM2+BM2=2OM2；

②当点A,M,N在同一条直线上时，若04=4,OM=3,请直接写出线段A"的长.

5.（2U2I•十堰）已知等边三角形ABC,过A点作AC的垂线/,点”为/上一动点（不与

点A重合），连接把线段CQ绕点C逆时针方向旋转60。得到CQ,连QB.

（1）如图I，直接写出线段”与AQ的数量关系；

（2）如图2,当点夕、△在AC同侧且/V>=AC时，求证：直线依垂直平分线段CQ：

（3）如图3,若等边三角形A8C的边长为4,点P、8分别位于直线AC异侧，且AAPQ的

面积等于正，求线段AP的长度.

4

图1图2图3

6.(202U•沈阳)在A/WC'中，AB=AC,4MC=a，点尸为线段CA延长线上一动点，连

接PB,将线段Q8绕点?逆时针旋转，旋转角为a,得到线段产力，连接08,DC.

(1)如图1,当a=60。时,

①求证：PA=DC\

②求NDCP的度数；

(2)如图2,当a=120。时，请直接写出P4和DC的数量关系.

⑶当。=120。时，若A6=6,切=而，请直接写出点力到CP的距离为正或空.

一2一2一

图1图2备用图

专题01手拉手模型

一、方法突破

问题一：构成手拉手的必要条件.

当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点,

比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等.

条件：如图，OA=OB,OC=OD(四线共点，两两相等)，ZAOB=ZCOD(夹角相等)

结论：20Ag/\OBD(SAS)

证明无需赘述，关于条件中的04=。8,OC=OD,有时候会直接以特殊几何图形的形式给出,

比如我们都很熟悉的等i力三角形和正方形.

3.等边三角形手拉手

(1)如图，B、。、。三点共线，Zk/WC和△C。石是等边三角形，连接4。、BE,交于点P：

E

结论一：AACDW4BCE

AC=BC

证明：\AACD=ZBCE^ACD^/XBCECSAS)

CD=CE

(2)记AC、BE交点、为M,AD.CE交点为N：

结论二：XACN妾&BCM；&MCE/4NCD

NMBC=ZNAC

证明：\BC=ACTAACN%ABCM(SAS)；

/BCM=4ACN

NMCE=NNCD

CE=CD->△MCEg△NCO(ASA)

NCEM=NCDN

(3)连接MM

结论三：AMNC是等边三角形.

证明：｛黑;：6。。3号是等边三角豚

(4)记4。、BE交点为P,连接PC：

结论四：PC平分NBPD

证明：△BCE94ACDTCG=CHTPC平分NBPD.

(5)结论五：NAPB=NBPC=NCPD=NDPE=60°.

(6)连接4E：

结论六：P点是△人CE的费马点(%+PC+PE值最小)

4.正方形手拉手

如图，四边形A4C3和四边形均为正方形，连接BE、DG：

A_____________.D

结论一：LBCE^^DCG

CB=CD

证明：，NBCE=NDCG—XBCE/^DCG(SAS)

CE=CG

结论二：BE=DG,BE上DG

证明：&BCEm4DCG-BE=DG；

NCBE=NCDG-NDHB=NBCD=90°(旋转角都相等)

【重点概述】手拉手模型是一种基本的旋转型全等，与其说看图找模型，不如是“找条件、

定模型”.

问题二：条件与结论如何设计？

设计一：我们可以给出手拉手模型条件，得到一组全等来解决问题，就像问题一中所得出的

结论那样：

设计二：如果题目已知△ABCgAAOE外，则还可得△ABD和△ACE均为等腰三角形，且

ABADBD

有△ABQs/\ACE,

~AC~^\E~~CE

问题三：如何构造手拉手？

如何构造手拉手？换句话说，如何构造旋转？

当我们在思考这个问题的时候，不妨先问一句，旋转能带来什么？

图形位置的改变，这一点就够了，因为，若有数显关系，则先有位置关系.

二、典例精析

例一：如图，等边三角形A4C的边长为4,点O是AA3C的中心，ZFOC；=12()°,绕点O

旋转/FOG，分别交线段AB、8c于。、E两点，连接DE，给出下列四个结论:①；

②S、ODE=S、BDE：③四边形OD8E的面积始终等于④&5QE周长的最小值为6.上述

结论中正确的个数是()

A.IB.2C.3D.4

【分析】等边三角形中的旋转型全等

连接。以03易证AOBOg△OCE,：.OD=OEf结论①正确；

考虑N"0G是可以旋转的，△OOE面积和面积并非始终相等，故结论②错误;

•：AOBD^AOCEfA四边形ODBE的面积等于△O8C的面积，

508c=；X4X¥=W，故结论③正确；

考虑5O=CE,；.BD+BE=CE+BE=4,只要。£最小，△8DE周长就最小，RODE是

顶角为120。的等腰三角形，故。。最小，OE便最小，

当O0J_A5时，0。取到最小值毡，

3

此时。石=6。。=2,・,•周长最小值为6,故结论④正确.

综上，选G正确的有①③④.

【小结】所谓全等，实际就是将△008绕点0旋转到△0EC的位置.等等，好像和某个图

有点神似，如下：

当然这个图形还可以简化一下，毕竟和O点及尸点并没有什么关系.

结论与证明不多赘述，题型可以换，但旋转是一样的旋转.

例二：如图，点P在等边AA8C的内部，且PC=6,%=8,必=10,将线段PC绕点。

顺时针旋转60。得到尸C，连接人产，则sinNRA尸的值为.

【分析】连接尸P,则△CPP'是等边三角形，故PP=PC=6,

A

易证△CPSg△CPN,JA。=8尸=1(),

又AP=8,J.△A/7>'是直角三角形，

3

/.sin^PAP'=-.

5

例三：如图，尸是等边三角形ABC内一点，将线段八尸绕点A顺时针旋转60。得到线段AQ,

连接BQ.若上4=6,PB=8,尸C=10，则四边形APBQ的面积为.

【分析】分四边形为三角形.

连接产。，易证△APQ是等边三角形，ABP。是直角三角形,

2

SAPQ=x6=9\/3,S=gx6x8=24,

・•・四边形APBQ的面积为（24+9网.

例四：如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连结叱、BP、CP,若AP=6,8P=8,

CP=10•则SgBP十S^BPC=----,

【分析】构造旋转.

如图，将△BPC绕点3逆时针旋转60°得△3EA,连接EP,

可得△4£尸是直角三角形，△〃£尸是等边三角形，

+s+S2

sAPHRPCAEPBEP=^x6x8+^x8=24+16A/3,

所以本题答案为24+166.

搭配一：若PA2+PB』C"则可任意旋转，得等边+直角.

且两条较短边夹角（NAP外为150°.

搭配二：若NAPS=150°,则有尸发+尸出=。。？.

例五：如图，尸为等边三角形ABC内的一点，且尸到三个顶点A,B,C的距离分别为3,

4,5,则AABC的面积为（）

…+竽B.9+茅C.18+255/3

【分析】（3,4,5）是一组勾股数，通过旋转构造直角三角形.

法一：如图，将三个小三角形面积分别SP邑、S、

A

考虑到△ABC是等边三角形，可将aAPB旋转到△AOC位置,

2

可得：=SADP+S=-^―x3+—x3x4=2^--|-(yf

2

同理可得：5(+5,=—X4+-X3X4=4\/3+6,

•42

co6<21-25Gv

S>+S?=—x54—x3x4=---------F6,

424

:.2(5,+S2+S3)=y>/3+18,A5,+S2+53=胃&+9,

故选A.

法二：如图，易证N4尸3=150°,过点A作8尸的垂线交3尸延长线于点”,

则P=|,PH**4+爵

S=^-AB2=乎(.2+8〃2)=曰(26+弓+128、=手(25+12百)=卓39.

【思考】如果放在正方形里，条件与结论又该如何搭配？

作旋转之后，可得△AEP是等腰直角三角形，若使△PEB也为直角三角形，

则原NAPD=135°,而线段/<4、PB、尸。之间的关系为：2H4?十夕q2=相2.

搭配一：若NAPO=135°,则2P/V+QQ2=PR\

搭配二：若2P#+PLf=PB?,则NAPD=135。.

另外，其实这个图和点C并没有什么关系，所以也可以将正方形换成等腰直角三角形.

大概如下图：

抓主要条件，舍弃无用条件，也是理解几何图形的一种方式.

例六：在R/A48C中，AB=AC,点。是三角形内一点且NAP8=135°,PC=442,4c的

最大值为.

【分析】显然根据NAPB=135,构造旋转.

可得：△AP。是等腰直角三角形，△PQC是直角三角形，且NPQC=90°,

另外还有条件PC=4J5.

重新梳理下条件，

（1）有一条线段PC=4应，

（2）ZP0C=9O°,则。点轨迹是个圆弧，

（3）以尸。为斜边在尸C异侧作等腰直角三角形，点4是直角顶点.

A

・・・4点轨迹是什么？瓜豆原理啦，也是个圆弧:

：-AC的最大值为J（可+（3夜）+2=2石+2.

三、中考真题演练

1.（2021•日照）问题背景：

如图1,在矩形八4CO中，AB=2&444。=30。，点£是边4?的中点，过点E作所

交BD于煎F.

实验探究：

（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点“按逆时针方向旋转90°,如图2

所示，得到结论：①把=_且_；②直线他与"'所夹锐角的度数为一.

DF2

（2）小王同学继续将ME/绕点4按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究

（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由.

拓展延伸：

在以上探究中，当旋转至Q、E、尸三点共线时，则A4OE的面积为

图3

【解答】解：(1)如图1,,.,NABD=30。，钻=90"EF±fi4,

RFABx/3

：.cosZ1ABD=—

BF~DB~~2

如图2,设AB与DF交于点O,AE与DF交于点H,

图2

MEF绕点8按逆时针方向旋转90。,

..ZDBF=ZABE=90°,

AFBD^AEBA，

AEBEy/3

ZBDF=ZBAEt

又ZDOB=ZAOFf

：.ZDBA=ZAHD=3(r,

：.直线AE与DF所夹锐角的度数为30°,

故答案为：当，30°;

2

(2)结论仍然成立，

理由如下：如图3,设A£与8。交于点O,AE与DF交于点H,

图3

将MEF绕点B按逆时针方向旋转,

:.ZABE=ZDBF,

°BEAB75

乂--------------9

BFDB2

^ABE^NDBF,

AEBEG/mF

..----=-----=——，ZBDF—ABAE，

DFBF2

又/DOH=ZAOB,

:.ZABD=ZAHD=3(Tf

直线AE与DF所夹锐角的度数为30°.

拓展延伸：如图%当点E在的上方时，过点。作DG_LA笈于G,

AB=26,Z/血＞=3(F,点E是边AB的中点，ZDAB=90°f

:*BE=6AD=2f7)8=4,

NEBF=30。，EF工BE,

EF=11

。、E、r三点共线，

;.ZDEB=/BEF=90。,

：.DE=y/liD2-BE2=J16—3=A/13,

NDK4=30。，

,DG=；DE弯,

.,、、AEBEV3

由(2)可得：——=——=—,

DFBF2

AE二上

V13+1~2

_屈+6

二.AE=-------,

2

asl的右配1-八厂1V39+V3V1313"+屈

/.AADE的面积=—xAExDG=—x-------x=----------；

22228

如图5,当点E在的下方时，过点。作DG_LA£,交E4的延长线于G,

闩再蔺力八人八二的而在1417nLix/39-V39136-相

同理可求：AADE的面积=-xAExOG=-x-------x=---------；

22228

故答案为：13肉病或13舁底.

88

2.（2021•贵港）已知在AA8C中，O为8c边的中点，连接AO,将AAOC绕点O顺时针

方向旋转（旋转角为钝角），得到连接AE,CF.

（1）如图1,当NH4C=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是:

（2）如图2,当N84C=90。且ABwAC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出

证明过程；若不成立，请说明理由.

（3）如图3,延长AO到点。，使OD=04,连接QE,当AO=CF=5,BC=6时，求班

的长.

图1图2图3

【解答】解：（D结论：AE=CF.

理由：如图1中，

E

c

AB

图1

c

AB=ACtZZMC=9(),OC=OB,

：.OA=OC=OB,AOJLBC,

­.ZAOC=ZEOF=90°,

/.ZAOE=NCOF,

-：OA=OCfOE=OFt

:自OE言ACOF(SAS),

：.AE=CF.

(2)结论成立.

理由：如图2中,

;.OA=OC=OB,

/ZAOC=/EOF,

ZAOE=ZCOFf

OA=OC,OE=OF,

：.^AOE=ACOF(SAS),

:.AE=CF.

(3)如图3中,

E

图3

由旋转的性质可知OE=OAf

OA=ODf

:.OE=OA=OD=5f

NAED=90°,

OA-OE,OC-OF,ZAOE—/COF,

OAOE

..----=-----f

OCOF

:2OEs/sCOF,

AEOA

----=-----,

CFOC

CF=OA=5,

AE5

----=-9

5--3

AL25

二.AE=一,

3

DE=JAD2-AE2=^102-(y)2=.

3.(2021•黑龙江)在等腰石中，AE=DE,AA8C是直角三角形，ZC4B=90°,

ZABC=-ZAED,连接(X)、8D,点F是BD的中点,连接£F.

2

(1)当"47)=45。，点8在边AE上时，如图①所示，求证：EF=-CD；

2

(2)当NE4Z)=45。，把AA8C绕点A逆时针旋转，顶点3落在边4)上时，如图②所示，

当NE4T>=60。，点8在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段班'和8乂有怎

样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

图①

•.EA=EDfZ£4£>=45°,

Z£4D=ZEm=45°,

/.ZA£D=90°,

BF=FD,

:.EF=-DB

2t

NC43=90。，

:.ZCAD=ZBAD=45°t

•,ZABC=-ZAED=45°

2t

.\ZACB=ZABC=45°,

AC=AB,

「.4）垂直平分线段BC,

：.DC=DB,

：.EF=-CD.

2

（2）解：如图②中，结论：EF=-CD.

2

c

E

图②

理由：取8的中点T,连接AT,7F,ET,TE交AD于点O.

,./。。=90°,CT=DTf

：,AT=CT=DTf

・EA=ED，

二夕垂直平分线段/V),

AO=OD»

•.ZAED=90°,

..OE=OA=ODt

♦••CT=TD,BF=DF,

BC//FT,

/.ZABC=NO口=45。，

・.ZTOF=90°,

..ZOTF=ZOFT=45°f

：.OT=OF,

.\AF=ETf

FT=TF,ZAFT=ZETF,FA=TE,

.•.AAFT^AET产(SAS),

:.EF=ATf

:,EF=-CD.

2

如图③中，结论：EF=—CD.

2

图③

理由：取4)的中点O,连接。/，OE.

•EA=ED，ZAED=60。，

「.AADE是等边三角形，

・.AO=ODf

:.OE±ADfZAEO=NOED=30。,

•/旧、AO石

・ttanZ.AEO==—,

OE3

OEG

••-----=----9

AD2

•/ZABC=-ZA£：D=30°,440=90。，

2

AB=6AC,

1.AO=OD,BF=FD,

/.OF=-AB

2f

OFG

-----=----9

AC2

OEOF

••-----=-----9

ADAC

-OF//AB,

:.ADOF=ADAB,

:/DOF+/EOF=哪,ZDAB+ZDAC=9(r,

；./EOF=/DAC,

:ZOFs/sDAC,

.EF_OE

~CD~~\D~~19

:.EF=—CD.

2

4.(2021•通辽)已知AAO8和AMON都是等腰直角三角形(羊。A<OM<Q4),

ZAOB=ZMON=90°.

(1)如图1,连接AM,RN,求证：AM=BN；

(2)将AMON绕点O顺时针旋转.

①如图2,当点M恰好在4?边上时，求证：AM2+BM2=2OM\

②当点A,M,N在同一条直线上时，若。4=4,OM=3,请直接写出线段AM的长.

【解答】(1)证明：•・・NAOB=ZMON=90°,

/.ZAOB+ZAON=AMON+ZAON,

即ZAOM=ZBON,

A4OB和&WQV都是等腰直角三角形，

：.OA=OB,OM=ON,

AAOM邕邺ON(SAS)•

：.AM=BN;

(2)①证明：连接8V,

NA()B=NMON=%)。,

：.ZAOB一/BOM=ZMOV-/BOM,

即ZAOM=/BON,

AAQ8和AMQN都是等腰直角三角形,

:.OA=OB,OM=ON,

/.AAOM=MON(SAS),

.•.ZM4O=ZA^O=45。，AM=BN,

.•.NM8V=90。，

/.MB1+BN2=MN?,

AMON都是等腰直角三角形，

MN?=2ON2,

A"+8/=20/；

②解：如图3,当点N在线段AM上时，连接用V,没BN=x,

由(1)可知AAQMMMQN,可得AM=BN且AMJ.BN,

在RtAABN中，AN】+BN?=AB，,

,.AAOA和AMON都是等腰直角三角形，04=4,OM=3,

:.MN=3&,AB=4五,

222

/.(X-3V2)+X=(4>/2)7

解得：x="+3五,

2

…A；a+3拒

AM=BDN=-------------,

2

如图4,当点M在线段AV上时，连接的V,设BN=x,

由(1)可知AAQM^ABQN,可得/U/=AN且AM_LBN,

在RtAABN中，AN2+BN2=AB2,

AAQ4和AMON都是等腰直角三角形，04=4,。例=3,

:.MN=3>/2,AB=4日

(X+3>/2)2+X2=(4X/2)2,

融俎V46-3V2

解得：x=--------------,

2

^46-372

/.AM=BN=-------------,

2

综上所述，线段AM的长为廊+3＞或啊-3五.

22

5.（2021•十堰）已知等边三角形A3C,过A点作AC的垂线/,点尸为/上一动点（不与

点A重合），连接CQ,把线段CQ绕点C逆时针方向旋转60。得到CQ,连Q4.

（1）如图1,直接写出线段AP与BQ的数量关系；

（2）如图2,当点P、B在AC同侧且AP=AC时，求证：直线总垂直平分线段CQ：

（3）如图3,若等边二角形AAC的功长为4.点尸、A分别位千直线4c异侧,日AAPQ的

面积等于立，求线段4P的长度.

4

图1图2图3

【解答】解：(1)在等边A43C中，AC=BCtZACB=60°,

由旋转可得，CP=CQ,NPCQ=60。，

:.ZACB=NPCQ,

ZACB-ZPCB=ZPCQ-/PCB,即ZACP=NBCQ,

AACPsABCQ(SAS),

：.AP=BQ.

(2)在等边M8C中，AC=BCfNAC8=60°,

由旋转可得，CP=CQ,NPCQ=60。，

/.ZACB=ZPCQt

Z4cB-ZPCB=ZPCQ-ZPCB,即ZACP=NBCQ,

:.\ACP=MiCQ{SAS),

/.AP=BQtNC8Q=NC4尸=90。；

/.BQ=AP=AC=BCf

•.AP=AC,ZC4P=90°,

.•.NK4Q=30°,ZABP=ZAPB=750,

NCBP=ZABC+ZABP=135°,

.-.ZCBD=45°,

;.NQBD=45。,

/.4CBD=NQBD,即由）平分NCBQ,

.•.8O_LCQ且点。是CQ的中点，即直线距垂直平分线段CQ.

（3）①当点Q在直线/上方时，如图所示，延长8Q交,于点E,过点Q作Q/于点尸,

由题意可得AC=BC,PC=CQ,NPCQ=NAC8=60。,

/.ZACP=/BCQ,

:.MPC=^BCQ(SAS)t

AP=BQfNC3Q=NC4P=90。，

vZC4B=zS4BC=60°,

:.ZBAE=ZABE=3。。,

VAB=AC=4f

,4g

..AAEc=BDEC=-----，

3

/.ZB£F=60°,

设AP=I,贝lj8Q=f,

♦.&=*

在RtAEFQ中，。尸=等EQ=^（#—1）,

.5抻QF邛,吗呼哼一）咚,

解得r=6或3走.即”的长为G或@.

33

②当点。在直线/下方时，如图所示，设8Q交［于点E,过点Q作QFJ■/于点厂,

由题意可得AC=BC,PC=CQrNPCQ=NAC4=60。，

:&CP=/BCQ,

:.AAPC=ABCQ（SAS）,

AP=BQtNCBQ=NCAP=90°,

•.­ZC4B=Z4BC=60°,

..ZBAE=ZABE=30°f

NBEF=120。,ZQEF=60°,

•/AB=AC=4f

.4\/5

/.AEc=BE=-----，

3

设则BQ=m,

.46

・・EQ=tn9

在RlAEFQ中，QF=与EQ=,

■-S^g=^APQF=^-,即:“"•等（m-券）=当，

解得,〃二空子（,〃=汉/负值舍去）.

33

综上可得，AP的长为：&或虫或巫巫.

33

6.（2020•沈阳）在A43c中，A8=AC,N84C=a,点尸为线段C4延长线上一动点，连

接PB,将线段号绕点?逆时针旋转，旋转角为。，得到线段/7）,连接QB,DC.

（1）如图1,当a=60。时，

①求证：PA=DC-,

②求N"P的度数；

（2）如图2,当a=120。时，请直接写出Q4和ZX?的数最关系.

（3）当a=120。时，若A8=6,4产=向■，请直接写出点。到CP的距离为

将线段所绕点尸逆时针旋转，旋转角为a,得到线段物,

：.PB=PDf

•.A3=AC,PB=PD,/BAC=ZBPD=8r,

.-.A4BC,"BD是等边三角形,

/.ZABC=NPBD=&)。,

4BA=/DBC,

BP=BD,BA=BCt

\PBA二△DBC(SAS),

：.PA=DC.

②解：如图1中，设BD交PC于点O.

"BA三XDBC,

:./BPA=4BDC,

NBOP=NC()D,

:.4OBP=4OCD=(^P,即NDCP=600.

(2)解：结论：CD=y/?.PA.

理由：如图2中，

图2

AB=ACtPB=PDtZaAC=ZfiPD=12(F,

BC=2AB-cos30°=>/3BA,BD=2BPcos30°=,

BABP

•rZABC=NPBD=30。,

;.ZABP=/CBD,

二0=生=6

PAAB

:.CD=y/3PA.

(3)过点。作DW_LPC于M,过点8作8N_LC9交C尸的延长线于N.

如图3-1中，当APA4是钝角三角形时，

图3-1

在RtAABN中，Z/V=90。，人4=6,ZZMN=60。，

/./W=AB-cos60°=3,BN=A8sin600=3G，

•/PN=yjPB2-BN2=J31-27=2,

..PA-3-2^l,

由（2）可知，CD=&A=0

<ZBPA=/BDC,

：.ZDCA=NPBD=3W,

•・•DM_LPC,

:.DM=-CD=—

22

如图3-2中，当ZW也是锐角三角形时，同法可得祇=2+3=5,CD

八u1「八5百

22

D

图3-2

综上所述，满足条件的的值为史或趣.

22

故答案为由或趣.

22

专题02半角模型

一、方法突破

1.90°+45°模型.

如图，在正方形A8C。中，E、尸分别在8C、CO上，且/女尸=45°连接石户.

【两个基本结论】

结论1：EF=BE+DF.

证明：延长CO至点G使得。G=8K【檄长】

易证：△ABE@ZiAQG(SAS)-*AE=AG,ZGAF=450

易证：XAFEWXAFG(SAS)-EF=GF

综上：EF=GF=GD+DF=BE+DF.

若E、尸分别在C8、0c延长线上时，结论变为：EF=DF-BE.

证明：在。。上取点G使得。G=8E【补短】

易证：(SAS)-*AE=AG,ZGAF=45°

易证：XAEF9XAGF(SAS)-EF=GF

综上：EF=GF=DF-DG=DF-BE

【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角.此

处通过旋转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补.正

方形可满足一切你所想.

结论2：连接8Q,与AE、A尸分别交于M、N,则：MN，=BM'+DN?.

证明：构造△AQM'0AABM-*AM=AM\/MAN二/M'AN,BM二DM'

易证：△AMNgZXAM'N(SAS)-MN=M'N

易证：△M7)N是直角三角形一M,N2=M'D2+DN2-MN2=BM2+DN2.

【其他结论】结论3：若BE=>BC,则点尸是C。边中点.反之亦然.

3

结论4：过点A作AH_LE”交EF于"点，则△AHFWXADF.

另外还可得：AE平分NBEF,4"平分NQFE.

结论5：A、B、E、N四点共圆，A、D、八M四点共圆.

证明：/EAN=/EBN=45°,：.A、B、E、N四点共圆.同理可证A、。、F、M四点共圆.

另外还可得：连接EMMF,可得△AEN、aAM尸是等腰直角三角形.

结论6：M、N、F、七四点共圆.

证明：•:/MEF=/MFN,：.M、N、F、E四点共圆.

结论7：XNMNsXAFE.且

AMANMN

由构图3可得NANM二NHEF,/AMN=NAFE.可得△AMNSA4/E.

结论8：XMANsXMDA,△NAMSANBA.

ApAr,厂

结论9：连接AC,则历BsaAFC,MKNDS2AEC.且——=--=V2.

AMAB

【思考】对于以上9个结论，在正方形中，有哪些作为条件能推出/E4F=45°的？

【小结】从结论5开始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作为题型出现，了解下图形

的更多性质有时候能帮上大忙.在这里除了给的NE4F=45°外，正方形对角线也会形成其

他45°角，多组相等角总能撞出些火花.

2.1200+60°模型

(1)如图，△ABC是等边三角形，8O=C£＞且N8OC=120°,E、尸在直线48、AC上且N

E/?F=60°

结论：EF=BE+CF

证明：延长4c至点G使得CG=8E,

易证：4DBE妾4DCG(SAS)-DE=DG,NFDG二/FDE=60°

易证：ADFEM&DFG(SAS)-EF=GF

综上：EF=GF=GC+CF=BE+CF

(2)若点尸在AC的延长线上，EF、BE、。尸之间又有何数量关系？

二、典例精析

例一：如图，正方形488的边长为2,点E,F分别在边AO,CD上，若NEBF=45。,

则的周长等于.

例二：已知如图，在正方形八8a＞中，4)=4,E,尸分别是C£＞,AC上的一点，且

N£4尸=45。，EC=l,将A4QE绕点A沿顺时针方向旋转90。后与AABG重合，连接所，

过点4作8W//AG,交A厂于点则以下结论：①。E+M=EF,②=③

7

4尸=9,④S.郎=言中正确的是（）

A.①②③B.®@©C.①③④D.（D®®

例三：如图，已知正方形ABC。的边长为mE为CO边上一点（不与端点重合），将AAOE

沿AE对折至延长以7交边BC于点G,连接AG,CF.

给出下列判断：①NE4G=45°；②若DE=ga,则AG〃C/：③若E为C。的中点，则

△GFC的面积为④若b=FG,则。七=（3-W；⑤BGDE+AFGE=a?.

其中正确的是.（写出所有正确判断的序号）

三、中考真题演练

1.如图，正方形A8CO中，E、尸分别在边3C、CO上，.且N£4b=45。，连接所，这

种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思

路.例如图中A4DF与AA8G可以看作绕点A旋转90。的关系.这可以证明结论

“EF=BE+DF”,请补充辅助线的作法，并写出证明过程.

（1）延长C8到点G,使。G=_。尸连接八G;

（2）证明：EF=BE+DF.

2.半角模型是指有公共顶点,锐角等于较大角的一半，旦组成这个较大角的两边相等.通

过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱

化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质.

（1）问题背景：

如图1,在四边形ABCZ）中，AB=AD,Zfi4Z>=120°»ZB=ZADC=90°,E、尸分别是

BC、CD上的点，旦N£4E=60。.探究图中线段EF,㈤之间的数量关系；

（2）探索延伸：

如图2,若在四边形42CD中，AB-AD,NB+〃>—l80°.E、厂分别是AC、8上的

点，且/E4/=4N84O,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

2

（3）结论应用：

如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中

心南偏东70。的8处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东

方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，

1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达K、尸处，且两舰艇与指挥中心O之间

的夹角NEC力=70。，试求此时两舰艇之间的距离；

（4）能力提高：

如图，等腰直角三角形ABC中，NK4C=90°,AB=AC,点M、N在边BC上,且

NM4N=45。，若BM=1,CN=3,试求出MN的长.

3.小明、小亮在共同学习的过程中经常会遇到一类几何问题：两个角度是一半关系，并且

这两个角共顶点，他们称之“半角问题”：常见的半角模型是90。含45。，120。含60。.

问题