2023九年级数学下册 第二章 二次函数4 二次函数的应用第1课时 利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题教学实录 （新版）北师大版

2023九年级数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题教学实录（新版）北师大版课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教学内容2023九年级数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第1课时：利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题。主要包括以下内容：1.面积问题中的二次函数模型构建；2.抛物线形问题中的二次函数模型构建；3.利用二次函数模型解决实际问题。二、核心素养目标1.发展数学建模能力，通过实际问题构建二次函数模型。

2.培养逻辑推理能力，运用二次函数解决几何问题。

3.提升数学应用意识，将数学知识应用于解决实际问题。三、学情分析本节课面向九年级学生，这一阶段的学生已具备一定的数学基础，对二次函数的基本概念和性质有一定的了解。在知识方面，学生能够理解和运用二次函数的基本公式和图像特点。然而，他们在解决实际问题时，往往缺乏将数学知识应用于具体情境的能力。

在能力方面，学生的数学思维能力和问题解决能力正在逐步提高，但面对复杂问题时，他们的逻辑推理能力和创新思维还有待加强。此外，部分学生可能对二次函数的应用感到困惑，难以将理论知识与实际问题相结合。

在素质方面，学生的自主学习能力和合作学习意识有待提高。他们在课堂上可能存在注意力不集中、参与度不足等问题，这会影响他们对二次函数应用的深入理解和掌握。

行为习惯方面，部分学生可能存在依赖性思维，对教师的依赖较强，缺乏独立思考和解决问题的能力。此外，学生在课堂上的表达能力和倾听能力也需要加强。

这些学情分析表明，本节课的教学需要关注以下几个方面：1.引导学生将二次函数知识与实际问题相结合，培养他们的数学建模能力；2.通过实例分析和小组合作，提高学生的逻辑推理能力和创新思维；3.培养学生的自主学习能力和合作学习意识，提高他们的课堂参与度和表达能力。四、教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过系统讲解二次函数模型构建的基本步骤，帮助学生理解二次函数在解决实际问题中的应用。

2.讨论法：组织学生分组讨论面积问题和抛物线形问题的解决方案，促进合作学习和思维碰撞。

3.实例分析法：通过典型实例展示二次函数在解决实际问题中的应用，引导学生分析问题、解决问题。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示二次函数图像和几何图形，直观呈现二次函数在解决面积和抛物线形问题中的应用。

2.教学软件辅助：运用数学软件模拟二次函数图像变化，让学生动手操作，体验函数与图形的关系。

3.互动练习：通过在线平台或移动设备进行即时练习，巩固学生对二次函数应用的理解。五、教学过程1.导入（约5分钟）

激发兴趣：展示一幅农田中的抛物线形状的麦田，提问学生是否了解这种形状的几何意义，以及它可能如何影响麦田的产量。

回顾旧知：简要回顾二次函数的基本性质，如对称轴、顶点坐标、开口方向等，提醒学生这些性质在解决实际问题中的重要性。

2.新课呈现（约15分钟）

讲解新知：详细讲解二次函数在解决面积问题和抛物线形问题中的应用。包括如何根据实际问题建立二次函数模型，如何利用函数解析式求解面积最大值或最小值。

举例说明：以农田灌溉为例，说明如何通过二次函数计算灌溉面积的最大值，让学生理解二次函数在农业中的应用。

互动探究：提出问题，如“如何设计一个抛物线形状的游泳池，使其容积最大？”引导学生思考并讨论可能的解决方案。

3.巩固练习（约20分钟）

学生活动：分小组进行练习，每个小组选择一个实际问题，如设计一个长方形和一个与之等宽的抛物线围成的区域，求该区域面积的最大值。

教师指导：在学生进行练习时，巡回指导，解答学生的疑问，鼓励学生独立思考，避免直接给出答案。

4.拓展延伸（约10分钟）

提出更高难度的实际问题，如“一个工厂的生产线可以生产两种产品，产品A和产品B。产品A的利润随生产数量的增加而增加，而产品B的利润随生产数量的增加而减少。如何安排生产计划，以最大化总利润？”

学生活动：学生分组讨论，尝试运用二次函数模型解决此问题。

5.总结反思（约5分钟）

教师总结：回顾本节课的重点内容，强调二次函数在解决实际问题中的重要性，以及如何将实际问题转化为数学模型。

学生反思：鼓励学生反思自己在学习过程中的收获和困惑，提出改进学习方法的建议。

6.作业布置（约2分钟）

布置作业：要求学生独立完成课后练习题，包括应用二次函数解决面积问题和抛物线形问题的题目，以及拓展延伸中的实际问题。

7.课堂小结（约3分钟）

课堂小结：对学生的表现给予肯定，指出不足，鼓励学生在课后继续复习和巩固所学知识。六、教学资源拓展1.拓展资源：

-二次函数图像的变换：介绍二次函数图像的平移、伸缩、翻转等变换规律，帮助学生理解二次函数图像的动态变化。

-二次函数与一元二次方程的关系：探讨二次函数与一元二次方程之间的联系，例如，二次函数的零点与一元二次方程的解的关系。

-二次函数在物理中的应用：介绍二次函数在物理学中的实际应用，如抛物线运动、简谐振动等，让学生了解数学知识在科学领域的价值。

-二次函数在工程中的应用：探讨二次函数在工程设计中的应用，如桥梁、建筑、机械设计等，展示数学知识在工程技术中的重要性。

2.拓展建议：

-阅读相关书籍：《数学与生活》、《数学与科学》等书籍，帮助学生了解数学知识在实际生活中的应用。

-观看教育视频：利用网络资源，观看与二次函数相关的教育视频，如“二次函数的应用实例”、“二次函数图像变换讲解”等。

-参加数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如“全国初中数学联赛”、“国际数学奥林匹克竞赛”等，提升学生的数学素养和解决问题的能力。

-开展小组合作学习：组织学生进行小组合作学习，共同探讨二次函数在实际问题中的应用，培养团队合作精神和沟通能力。

-利用网络资源：推荐学生利用网络资源，如“中国知网”、“万方数据”等，查阅与二次函数相关的学术论文，拓展学生的知识面。

-设计数学实验：鼓励学生设计简单的数学实验，如抛物线运动实验、二次函数图像变换实验等，通过实践加深对知识的理解。

-参观科技馆：组织学生参观科技馆，了解数学知识在科技发展中的应用，激发学生对数学的兴趣和热情。

-撰写数学小论文：鼓励学生撰写关于二次函数应用的数学小论文，提高学生的写作能力和逻辑思维能力。七、作业布置与反馈作业布置：

1.完成教材配套练习题，包括二次函数图像的分析、二次函数模型的建立以及应用二次函数解决实际问题。

-题目类型：选择、填空、解答题

-题目数量：每类题目5题

2.设计一个实际情境，运用二次函数解决面积最大化或最小化的问题，并撰写解题报告。

-情境设计：例如，设计一个停车场，要求停车场面积最大，但需满足特定条件，如入口宽度等。

-解题报告：包括问题分析、模型建立、计算过程和结果分析。

3.分析一个日常生活中的抛物线形问题，如跳水运动员的跳跃轨迹，讨论其物理意义和数学模型。

-问题分析：描述问题背景，分析问题中的抛物线性质。

-物理意义：解释问题中的物理现象与数学模型的对应关系。

作业反馈：

1.及时批改作业：作业应在课后及时批改，以便学生能够了解自己的学习情况。

2.个性化反馈：针对每个学生的作业，给出个性化的反馈，包括以下内容：

-正确答案与解题过程：明确指出学生的正确答案和解题步骤。

-错误分析：指出学生错误的原因，如概念混淆、计算错误等。

-改进建议：给出具体的改进建议，如加强基础知识学习、提高解题技巧等。

3.课堂讲解反馈：在下一节课的开始，针对作业中的典型问题进行讲解，帮助学生理解和掌握。

4.定期回顾与总结：在布置新作业前，回顾上一次作业中的常见错误和难点，总结学生的进步和需要进一步努力的地方。

5.鼓励学生互相交流：鼓励学生在课后互相讨论作业中的问题，培养团队合作精神。

6.关注学习困难学生：对于学习困难的学生，提供额外的辅导和帮助，确保他们能够跟上课程进度。

7.反馈记录：将学生的作业反馈记录在册，以便跟踪学生的学习进展和改进情况。八、内容逻辑关系①本文重点知识点：

-二次函数的定义和一般形式

-二次函数图像的性质：顶点坐标、开口方向、对称轴

-二次函数与一元二次方程的关系

-二次函数在几何中的应用：面积和体积计算

②本文重点词：

-顶点式

-对称轴

-开口方向

-根的判别式

-面积公式

-体积公式

③本文重点句：

-二次函数的图像是一个抛物线。

-当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

-二次函数的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

-二次函数的根是方程ax^2+bx+c=0的解。

-抛物线的面积可以通过积分计算得到。教学反思与总结今天这节课，我觉得整体来说还是蛮有收获的。首先，我想谈谈教学反思。

在教学方法上，我尝试了讲授法、讨论法和实例分析法相结合的方式。我发现，这样的组合对学生理解二次函数的应用挺有帮助的。尤其是讨论法，学生们在小组讨论中能更好地发挥自己的思维，提出一些我之前没想到的点。不过，我也发现了一些问题。比如，有些学生参与讨论的积极性不够高，可能是因为他们对这个话题不太感兴趣，或者是对自己的表达能力不太自信。所以，我需要在今后的教学中，更多地关注如何激发学生的兴趣和自信心。

在策略上，我注重了新旧知识的联系，通过回顾旧知来引入新知，这样学生更容易接受。但是，我发现有些学生对旧知的掌握还不够牢固，这可能会影响他们对新知识的理解。因此，我需要在课前做一些更细致的学情分析，以便更好地调整教学策略。

在管理上，我尽量保持了课堂的秩序，但还是有学生走神或者小动作。这说明我在课堂管理上还需要加强，比如可以通过更多的互动和游戏来吸引学生的注意力。

在知识方面，学生们对二次函数的应用有了更深入的理解，能够将实际问题转化为数学模型，并运用二次函数求解。在技能上，他们的逻辑推理能力和问题解决能力得到了提升。在情感态度上，我发现学生们对数学的兴趣有所增加，这让我感到非常欣慰。

当然，也存在一些不足。比如，部分学生对二次函数的性质理解不够透彻，导致在解决实际问题时出现错误。这提醒我，在今后的教学中，需要对基础知识进行更扎实的复习和巩固。

针对这些问题，我提出