2023九年级数学下册 第2章 圆2.5 直线与圆的位置关系2.5.4 三角形的内切圆教学实录 （新版）湘教版

2023九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.4三角形的内切圆教学实录（新版）湘教版主备人备课成员教学内容2023九年级数学下册第2章圆2.5直线与圆的位置关系2.5.4三角形的内切圆

1.理解三角形的内切圆的定义和性质。

2.掌握求三角形内切圆半径的方法。

3.能够运用三角形的内切圆解决实际问题。核心素养目标1.培养学生的几何直观，通过观察、操作和推理，理解几何图形的性质和关系。

2.增强学生的数学抽象能力，通过内切圆的定义和性质，引导学生从具体实例中抽象出数学概念。

3.提升学生的数学建模能力，将实际问题转化为几何模型，运用数学知识解决问题。

4.强化学生的逻辑推理能力，通过证明三角形内切圆的性质，锻炼学生的逻辑思维和证明技巧。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了平面几何的基础知识，包括点、线、面、三角形的基本性质和判定定理。他们应能熟练运用全等三角形、相似三角形的性质和判定方法，以及勾股定理等。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生对几何学有一定的兴趣，尤其是那些喜欢动手操作和观察现象的学生。他们的数学能力逐渐增强，能够处理较为复杂的几何问题。学习风格上，部分学生偏好直观形象的学习方式，通过图形和模型来理解概念；而另一部分学生则更倾向于逻辑推理和证明过程。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习三角形内切圆时，学生可能会遇到以下困难：

-理解内切圆的定义和性质，特别是如何从几何图形中抽象出内切圆的概念。

-掌握求内切圆半径的方法，需要学生具备一定的几何计算和推理能力。

-在证明内切圆性质时，学生可能难以构建严密的逻辑推理过程，特别是在处理角平分线、切线等概念时。

-将内切圆的知识应用于解决实际问题，可能需要学生具备较强的迁移能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源准备1.教材：确保每位学生都有湘教版九年级数学下册教材，以方便查阅相关章节内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的几何图形图片、内切圆性质图表以及三角形内切圆的动画视频，帮助学生直观理解概念。

3.实验器材：准备直尺、圆规、量角器等绘图工具，用于学生亲手绘制和测量几何图形。

4.教室布置：设置多个小组讨论区，确保每个小组都有足够的空间进行合作学习；在黑板上预留空白区域，方便板书和展示解题过程。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求，如让学生预习三角形内切圆的定义和性质。

-设计预习问题：围绕“三角形内切圆”课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，如“如何找到三角形的内切圆？”、“内切圆的半径与三角形的边有何关系？”

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解三角形内切圆的定义和性质。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解“三角形内切圆”课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过几何图形的动态展示，引出“三角形内切圆”课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解三角形内切圆的定义、性质和求半径的方法，结合实例如等边三角形和等腰三角形。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生在小组内尝试找到三角形的内切圆，并比较不同类型三角形的内切圆特点。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，如“如何证明内切圆半径与三角形边长的关系？”进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，尝试找到三角形的内切圆，并记录观察到的规律。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解三角形内切圆的性质。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握寻找三角形内切圆的方法。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解三角形内切圆的知识点，掌握寻找和证明内切圆半径的方法。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：布置关于三角形内切圆的证明题和应用题，如证明特定三角形的内切圆半径，或利用内切圆解决实际问题。

-提供拓展资源：提供与三角形内切圆相关的拓展资源，如相关数学竞赛题、历史背景资料等。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导，指出错误原因和改进方法。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的三角形内切圆知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。知识点梳理1.三角形的内切圆定义

-三角形的内切圆是指与三角形的三边都相切的圆。

-内切圆的圆心称为三角形的内心。

2.三角形内切圆的性质

-内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点。

-内切圆的半径是三角形内切圆心到三边的距离。

-内切圆的半径与三角形的边长之间存在一定的关系。

3.求三角形内切圆半径的方法

-利用三角形的内切圆半径公式：\(r=\frac{A}{s}\)，其中\(A\)是三角形的面积，\(s\)是三角形的半周长。

-利用海伦公式计算三角形的面积，再根据半周长求出内切圆半径。

4.三角形内切圆的半径与边长的关系

-对于任意三角形，其内切圆半径\(r\)与边长\(a\)、\(b\)、\(c\)之间的关系为：\(r=\frac{A}{s}\)。

-其中，\(A\)是三角形的面积，\(s\)是三角形的半周长，即\(s=\frac{a+b+c}{2}\)。

5.三角形内切圆的应用

-利用内切圆解决几何证明问题，如证明三角形内角和定理。

-利用内切圆解决几何构造问题，如构造特定类型的三角形。

-利用内切圆解决实际问题，如计算土地面积、设计产品等。

6.三角形内切圆的证明

-利用角平分线定理证明内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点。

-利用圆的性质证明内切圆与三角形的三边都相切。

-利用勾股定理、海伦公式等证明内切圆半径与三角形边长的关系。

7.特殊情况下的三角形内切圆

-等边三角形的内切圆半径等于边长的\(\frac{\sqrt{3}}{6}\)。

-等腰三角形的内切圆半径与底边和腰长之间存在一定的关系。

-直角三角形的内切圆半径等于斜边上的中线长度。

8.三角形内切圆的推广

-在四边形、多边形等几何图形中，也存在内切圆的概念。

-推广内切圆的性质和应用，可以解决更广泛的几何问题。

9.三角形内切圆的几何意义

-内切圆的半径是三角形内心到三边的距离，反映了三角形的对称性。

-内切圆与三角形的边长、角度之间存在一定的关系，揭示了三角形内部结构的规律。

10.三角形内切圆的教育意义

-通过学习三角形内切圆，可以培养学生的几何直观、数学抽象、逻辑推理等数学思维能力。

-培养学生的动手操作能力，如利用绘图工具绘制三角形内切圆。

-培养学生的合作学习能力和沟通能力，如小组讨论、合作解决问题等。课堂1.课堂提问

-课堂提问是了解学生学习情况的重要手段。通过提问，教师可以检验学生对三角形内切圆概念的理解程度，以及他们对相关性质的掌握情况。

-教师应设计不同类型的问题，包括事实性问题、解释性问题、推理性问题等，以全面评估学生的理解水平。

-例如，教师可以提问：“谁能解释一下三角形内切圆的圆心是如何确定的？”或“你们知道三角形内切圆的半径与三角形的边长有什么关系吗？”

-课堂提问的评价标准包括学生的回答是否准确、是否能够清晰地表达自己的思路、是否能够灵活运用所学知识解决类似问题。

2.观察学生参与情况

-教师应通过观察学生的参与情况来评估他们的学习态度和参与度。

-注意学生在课堂活动中的表现，如小组讨论、实验操作、课堂练习等。

-观察学生是否积极参与，是否能够与同学合作，是否能够提出问题和解决问题。

-例如，教师可以观察学生在小组讨论中的互动情况，看他们是否能够倾听他人的意见，是否能够提出建设性的想法。

3.实时测试

-在课堂上进行简短的测试，可以帮助教师实时了解学生对知识的掌握程度。

-设计简单的选择题、填空题或计算题，让学生在规定时间内完成。

-评价学生的测试成绩，关注他们是否能够迅速准确地回答问题，以及他们是否能够应用所学知识解决问题。

-例如，教师可以给出一个简单的几何问题，要求学生在黑板上完成解题过程。

4.反馈与纠正

-教师应提供及时的反馈和纠正，帮助学生改进学习。

-对于学生的错误，教师应耐心解释错误原因，并提供正确的解题方法。

-例如，当学生在证明内切圆性质时出现错误，教师应引导学生重新审视问题，并指导他们找到正确的证明思路。

5.课堂讨论

-通过课堂讨论，教师可以评估学生对复杂概念的理解和应用能力。

-设计讨论问题，鼓励学生发表自己的观点，并倾听他人的意见。

-评价学生在讨论中的表现，包括他们是否能够清晰地表达自己的观点，是否能够尊重他人，是否能够从讨论中学习。

-例如，教师可以提出一个与三角形内切圆相关的问题，让学生在小组内讨论解决方案，然后全班分享讨论结果。

6.课堂活动评估

-在课堂活动中，教师应评估学生是否能够将理论知识应用于实际操作。

-观察学生在实验或实践活动中的表现，如是否能够正确使用工具，是否能够独立完成任务。

-评价学生的实践能力，包括他们的动手操作技巧、解决问题的能力以及团队合作精神。

-例如，在绘制三角形内切圆的活动中，教师可以评估学生是否能够准确地找到圆心，并画出正确的内切圆。教学反思与总结哎呀，这节课上完之后，我真是有点感慨啊。咱们来看看这节课吧，我觉得有几个地方做得还不错，但也有些地方我觉得还可以改进。

首先，我觉得这节课的导入做得还可以。我通过一个有趣的几何动画，让学生们直观地看到了三角形内切圆的形成过程，这个方法挺受欢迎的。不过，我发现有些学生对于动画中的细节理解得不够，我在课后问了几个学生，他们表示希望我能够放慢节奏，详细解释一下。所以，我觉得下次在导入环节，我可能会更注重细节的讲解，让学生能够更好地理解每一个步骤。

然后，我设计了小组讨论和实验操作，这让学生们有机会亲自动手，通过实践来加深对知识的理解。我看到他们分组讨论得挺热烈的，实验操作也很认真。不过，我也发现，有些学生在实验过程中有点迷茫，不知道从哪里下手。我觉得这可能是由于他们对实验步骤不够熟悉，或者是缺乏一些基本的几何操作技能。所以，我打算在下一节课之前，先给他们一些实验操作的指导，确保每个人都能跟上进度。

接着，我在课堂上进行了提问和测试，想看看他们对知识的掌握情况。结果发现，大部分学生对三角形内切圆的定义和性质掌握得还不错，但是在应用这些知识解决实际问题时，有些学生就有点吃力了。这说明我们在教学中还需要加强学生的应用能力培养。我打算在接下来的教学中，多设计一些实际问题，让学生们能够将所学知识应用到实际中去。

当然，这节课也有一些不足之处。比如，我在讲解三角形内切圆半径的计算公式时，可能讲得有点快，有些学生可能跟不上。我发现有几个学生在下面低着头，看起来不太理解。这说明我需要更加关注学生的反馈，及时调整教学节奏。

还有，我觉得在课堂管理上，我还可以做得更好。有些学生在课堂上比较活跃，但是也有一些学生不太愿意发言。我注意到，当我在提问时，有些学生虽然知道答案，但是因为害怕出错而不敢举手。我打算在今后的教学中，创造一个更加开放和包容的课堂氛围，鼓励所有学生积极参与。重点题型整理1.题型一：求三角形内切圆半径

题目：已知一个三角形的边长分别为5cm、8cm、10cm，求该三角形内切圆的半径。

解答：首先，利用海伦公式计算三角形的面积\(A\)：

\[s=\frac{5+8+10}{2}=11.5\text{cm}\]

\[A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{11.5\times(11.5-5)\times(11.5-8)\times(11.5-10)}\approx22.5\text{cm}^2\]

然后，根据内切圆半径公式\(r=\frac{A}{s}\)计算内切圆半径：

\[r=\frac{22.5}{11.5}\approx1.96\text{cm}\]

2.题型二：证明三角形内切圆的性质

题目：证明在任意三角形中，内切圆的半径等于内心到三边的距离之和的一半。

解答：设三角形ABC的内切圆半径为r，内心为I，连接AI、BI、CI。

-由于AI是角A的角平分线，所以∠BAI=∠CAI。

-由于BI和CI是切线，所以∠ABI=∠ACI=90°。

-因此，∠BAI+∠ACI=∠CAI+∠ACI=180°，即∠BAI=∠ACI。

-所以，三角形ABI和三角形ACI是全等三角形（SAS全等条件）。

-因此，AI=AI，BI=CI。

-所以，三角形ABC的内切圆半径r等于AI、BI、CI的和的一半。

3.题型三：求三角形内心坐标

题目：已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(2,3)，B(4,1)，C(6,5)，求三角形ABC的内心坐标。

解答：首先，求出三角形ABC的三条角平分线的方程。

-角平分线AD的方程：通过点A和BC的中点D(5,3)。

-角平分线BE的方程：通过点B和AC的中点E(4,4)。

-角平分线CF的方程：通过点C和AB的中点F(3,2)。

然后，求出三条角平分线的交点，即为内心I的坐标。

4.题型四：利用内切圆解决实际问题

题目：一个圆形花园的周长为120米，若要