2024-2025学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用教学实录 新人教A版必修第一册

2024-2025学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用教学实录新人教A版必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容本节课的教学内容为《2024-2025学年高中数学》第四章“指数函数与对数函数”中的4.5.3节“函数模型的应用”。主要涉及指数函数与对数函数在实际问题中的应用，包括指数增长模型、指数衰减模型、对数增长模型和对数衰减模型等。通过实例分析，帮助学生理解函数模型在解决实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。核心素养目标分析本节课旨在培养学生数学建模、逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养。通过分析指数函数与对数函数在实际问题中的应用，学生能够学会运用数学语言描述现实世界中的数量关系，发展数学建模能力；通过解决实际问题，锻炼逻辑推理和数学运算能力；同时，通过图形和实例，提升直观想象能力，为后续学习打下坚实基础。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在此前已经学习了函数的基本概念、性质，以及指数函数和对数函数的基本性质和图像。他们已经能够理解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本特征，并能够进行简单的函数运算。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，部分学生对函数模型的应用可能感到兴趣浓厚，因为他们能够看到数学与实际生活的联系。学生的学习能力方面，他们已经具备一定的抽象思维能力，能够处理较为复杂的数学问题。学习风格上，有的学生偏好通过实例学习，有的则更倾向于理论推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在应用函数模型解决实际问题时，可能会遇到以下困难：一是对实际问题中量的关系的理解不够深入，难以将其转化为数学模型；二是函数模型的选择和建立过程中，可能会出现逻辑上的错误；三是数学运算能力不足，导致在解决具体问题时计算错误。此外，对于一些抽象的数学概念，学生可能难以直观理解，需要教师通过多种教学手段帮助其理解和掌握。教学资源准备1.教材：确保每位学生都有本节课所需的《2024-2025学年高中数学》教材，特别是第四章“指数函数与对数函数”中的4.5.3节内容。

2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，如指数函数和对数函数的图像展示、实际应用案例等，以增强学生的直观理解。

3.教学工具：准备计算器等数学工具，以便学生在课堂上进行必要的计算练习。

4.教室布置：设置分组讨论区，方便学生进行小组合作学习；在适当的位置放置白板或投影仪，以便展示教学内容和学生的解题过程。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：播放一段关于科技发展的视频，引导学生思考科技发展中指数函数和对数函数的应用。

2.提出问题：视频中的哪些现象可以用指数函数和对数函数来描述？它们分别体现了怎样的数学规律？

3.学生讨论：分组讨论，分享各自的看法和观点。

二、讲授新课（15分钟）

1.指数增长模型：

-介绍指数增长模型的概念和公式。

-通过实例展示指数增长模型在实际问题中的应用，如人口增长、资源消耗等。

-分析指数增长模型的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

2.指数衰减模型：

-介绍指数衰减模型的概念和公式。

-通过实例展示指数衰减模型在实际问题中的应用，如放射性元素衰变、药物在体内的代谢等。

-分析指数衰减模型的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

3.对数增长模型：

-介绍对数增长模型的概念和公式。

-通过实例展示对数增长模型在实际问题中的应用，如生物种群增长、市场占有率等。

-分析对数增长模型的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

4.对数衰减模型：

-介绍对数衰减模型的概念和公式。

-通过实例展示对数衰减模型在实际问题中的应用，如放射性元素衰变、药物在体内的代谢等。

-分析对数衰减模型的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

三、巩固练习（10分钟）

1.学生独立完成以下练习题：

-应用指数增长模型解决实际问题。

-应用指数衰减模型解决实际问题。

-应用对数增长模型解决实际问题。

-应用对数衰减模型解决实际问题。

2.学生展示解题过程，教师点评并纠正错误。

四、课堂提问（5分钟）

1.教师提问：如何判断一个函数模型是指数增长、指数衰减、对数增长还是对数衰减？

2.学生回答，教师点评。

五、师生互动环节（5分钟）

1.教师提问：在实际问题中，如何选择合适的函数模型？

2.学生分组讨论，分享各自的看法和观点。

3.学生代表发言，教师点评。

六、核心素养拓展（5分钟）

1.教师引导学生思考：函数模型在实际问题中的应用有哪些优势？

2.学生讨论，分享各自的看法和观点。

3.教师总结：函数模型可以帮助我们更好地理解现实世界中的数量关系，提高我们的数学应用能力。

七、总结与作业布置（5分钟）

1.教师总结本节课的主要内容，强调重点和难点。

2.布置作业：完成教材中的相关练习题，并尝试用所学知识解决实际问题。

教学时长：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-指数函数与对数函数的历史背景：介绍指数和对数函数的起源，如古代数学家对数的研究，以及这些函数在现代数学和科学中的应用。

-指数函数与对数函数的实际应用案例：收集并整理一些实际应用案例，如经济学中的compoundinterest（复利计算）、生物学中的种群增长模型、物理学中的放射性衰变等。

-指数函数与对数函数的图形变换：展示指数函数和对数函数的图像变换，如平移、伸缩、翻转等，帮助学生理解函数图像的几何意义。

-指数函数与对数函数的极限性质：介绍指数函数和对数函数的极限概念，以及它们在极限运算中的应用。

2.拓展建议：

-鼓励学生阅读关于数学史料的书籍或文章，了解指数和对数函数的发展历程，激发学生的好奇心和学习兴趣。

-建议学生收集和分析实际生活中的指数函数和对数函数的应用案例，通过小组合作的方式，将数学知识应用于实际问题解决中。

-提供在线数学软件或应用程序，如Desmos、GeoGebra等，让学生通过图形化界面探索指数函数和对数函数的性质。

-设计一些开放性的问题，如“如何用指数函数和对数函数来描述季节变化？”或“在社交媒体中，如何用指数函数来分析信息传播速度？”等，引导学生进行创新思维。

-组织学生参加数学竞赛或科学展览，鼓励他们在比赛中应用所学知识解决实际问题，提升学生的实践能力和创新精神。

-推荐一些与指数函数和对数函数相关的数学竞赛题目，让学生在竞赛中锻炼自己的解题技巧和策略。

-引导学生关注数学教育论坛和学术期刊，了解最新的数学研究成果和教育理念，拓宽学生的知识视野。教学反思与改进教学反思与改进是每一位教师成长的重要环节。在上一节课的教学中，我深刻地意识到了以下几点：

首先，我发现学生在理解指数函数和对数函数的性质时存在一定的困难。尤其是在处理复合函数和图像变换时，学生往往难以把握函数的变化规律。为此，我计划在未来的教学中，增加一些直观的图形演示，如使用几何画板等软件，让学生通过观察和操作直观地感受函数的变化。

其次，课堂互动环节的开展还不够充分。在提问环节，我发现部分学生参与度不高，回答问题时显得有些拘谨。为了提高学生的参与度，我将在今后的教学中，更多地采用小组讨论、角色扮演等方式，让学生在互动中学习，在交流中成长。

再次，对于学生的个别差异，我在教学过程中关注不够。每个学生的学习能力和接受程度不同，因此在讲解新知识时，我需要更加注重分层教学，针对不同层次的学生提出不同的问题和任务，确保每个学生都能有所收获。

此外，我发现部分学生对实际应用案例的兴趣不高。为了激发学生的学习兴趣，我计划在今后的教学中，结合学生的生活实际，设计更多贴近生活的案例，让学生在解决实际问题的过程中，体会到数学的价值。

1.增加直观教学手段：利用几何画板等软件，展示指数函数和对数函数的图像变换，帮助学生更好地理解函数性质。

2.激发课堂互动：采用小组讨论、角色扮演等方式，提高学生的参与度，营造积极向上的课堂氛围。

3.注重分层教学：针对不同层次的学生，提出不同的问题和任务，确保每个学生都能有所收获。

4.设计贴近生活的案例：结合学生的生活实际，设计更多实际应用案例，激发学生的学习兴趣。

5.加强个别辅导：关注学生的个别差异，针对不同学生的学习需求，提供个性化的辅导。

6.定期进行教学反思：在教学过程中，不断总结经验教训，及时调整教学策略，提高教学质量。内容逻辑关系①指数函数与对数函数的基本概念

-指数函数的定义：\(f(x)=a^x\)（\(a>0\)，\(a\neq1\)）

-对数函数的定义：若\(a^x=b\)，则\(x=\log_ab\)

-指数函数与对数函数的关系：\(\log_aa^x=x\)和\(a^{\log_ab}=b\)

②指数函数与对数函数的性质

-单调性：指数函数在底数\(a>1\)时单调递增，\(0<a<1\)时单调递减；对数函数在\(a>1\)时单调递增。

-奇偶性：指数函数和底数\(a\neq1\)的对数函数都是非奇非偶函数。

-周期性：指数函数没有周期性，而对数函数没有周期性。

-有界性：指数函数\(f(x)=a^x\)（\(a