医学高等数学 1.1函数学习资料

高等数学研究的对象是函数，其研究的方法就是极限方法。本门课程自始至终就是用极限去讨论函数的各种性质及其相关的问题。第一节函数一、函数的概念三、分段函数四、函数的几种简单性质二、初等函数第一章函数和极限一、函数的概念

1．常量与变量

注意

一个量究竟是常量还是变量,不是绝对的,要根据具体过程和条件来确定.而在过程中可取不同数值的量称为变量.在某过程中始终保持同一数值的量称为常量,

例如：人的身高,在研究少儿发育成长的过程中是变量；而在研究成人的健康状况时通常是常量．２．函数的概念因变量自变量是自变量的所有允许值的集合，称为函数的定义域．而因变量的所有对应值的集合则称为函数的值域.

定义1-1

设和是同一变化过程中的两个变量，如果对于变量的每一允许的取值，按照一定的规律，变量总有一个确定值与之对应，则称变量是变量的函数．变量称为自变量，变量称为因变量.记为注意1在实际问题中,定义域是由实际问题决定的.注意2函数的两要素为：定义域与对应规律

注意3函数的表示法有:公式法、图像法和表格法,这三种表述各有特点并可以相互转化．因此,两个函数只有当它们的对应规律和定义域都完全相同时,才认为是两个相同的函数.

例1-1在出生后1～6个月期间内,正常婴儿的体重近似满足以下关系:公式法37例1-2监护仪自动记录了某患者一段时间内体温T的变化曲线,如下图示:例1-3某地区统计了某年1~12月中当地流行性出血热的发病率,见下表

(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty因此f(x)的定义域为:[0,2)例1求下列函数的定义域：解：即邻域:所谓邻域是指如果x0是实数轴上一点，δ为正实数，则适合开区间x0-δ<x<x0+δ的x的全体称为点x0的邻域，记为（5）三角函数（4）对数函数（3）指数函数（2）幂函数（1）常函数二、初等函数1.基本初等函数（6）反三角函数等.

变量称为复合函数的中间变量．复合函数的概念可以推广到多个函数的情形，此时复合函数是通过多个中间变量的传递而构成的．例1-4

设求关于的复合函数．2.复合函数

定义1-2

设变量是变量的函数,变量又是变量的函数,即如果变量的某些值通过变量可以确定变量的值,则称是的复合函数,记为例1-5

设试求解解这里，变量传递顺序是规定好了的，是的中间变量，是的中间变量，故依次代入可得

可见，复合顺序是关键．另外，要注意：若经过变量代入后，复合函数的定义域为空集，则此复合函数无意义，或者说它们不能复合．例如，就不能复合．因为的定义域为空集,即函数无意义.例1-6将下列复合函数“分解”为简单函数解

注意简单函数是指基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算而得到的函数.定义1-3由基本初等函数经过有限次的四则运算以及函数复合所得到的仅用一个解析式表达的函数，称为初等函数．3.初等函数在不同的区间上用不同的解析式子表示的函数，称为分段函数．例1-7三、分段函数和反函数这是一个分段函数，如图

例1-8

设某药物的每天剂量为y(单位:毫克),对于16岁以上的成年人用药剂量是一常数,设为2mg.而对于16岁以下的未成年人,则每天用药剂量y正比于年龄x,比例常数为0.125mg/岁,其函数关系为o1621-1xyo定义为：当时，

，例1-9

设当时，则二、反函数若把函数y=f(x)称为直接函数,则直接函数的定义域(或值域)恰好是它的反函数的值域(或定义域)。

【定义4】设函数f(x)的定义域为D,值域为R,若对于任意一个y∈R，有唯一一个x∈D，使f(x)=y成立,则x与y的对应关系在R上定义了一个新函数,称为函数y=f(x)的反函数,记为在一般情况下，如果y=f(x)在某个区间上有定义且是单调函数，就能保证它的反函数存在；例如,在定义域(-∞,+∞),上是单调函数,它的值域是(0,+∞),所以它的反函数存在,其定义域是(0,+∞),即y∈(0,+∞),值域是(∞,+∞)如函数的反函数一般不写成,习惯上写成.一般习惯上自变量用x表示,因变量用y来表示,这时y=f(x)的反函数就可以写成。函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,与对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数

y=f(x)的图像与其反函数的图像相同,但与不同。1.有界性四、函数的几种简单性质有界M-Myxoy=f(x)bay无界M-Mxoba2.单调性xyoabxyoba增函数减函数设、是函数在定义区间内的任意两点,且.若,则称在内是单调递增的;若,则称在内是单调递减的.3.奇偶性偶函数yxox-xyxox-x奇函数如果对于函数定义域内的任意点,恒有,则称是偶函数;如果对于函数定义域内的任意点,恒有,则称是奇函数.4.函数的周期性对于函数

,如果存在正的常数T,使得恒成立,则称为周