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第三讲不定积分的计算方法第4节、不定积分得换元法

利用积分性质与简单得积分表可以求出不少函数得原函数,但实际上遇到得积分凭这些方法就是不能完全解决得、

现在介绍与复合函数求导法则相对应得积分方法——不定积分换元法、一、不定积分得第一换元法:瞧出点什么东西没有?原函数?被积表达式?也就是被积表达式?定理该定理称为不定积分得第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!4、见过得凑微分公式(方法):比如:dx=d(x+1);

dx=d(2x+1);

dx=d(x-3)(1).dx=d(ax+b)/a.(2).xadx=d(xa+1)/(a+1).比如:xdx=d(x2)/2下面介绍两大类型被积函数得积分方法:被积函数只就是关于三角函数得积分计算问题:1、相应得凑微分公式(方法):(3).cosxdx=dsinx.(4).sinxdx=-dcosx.2、被积函数出现正\余弦函数得奇数次幂时:二、三角函数得积分计算例:方法:拆出个正\余弦得1次幂,再凑微分3、被积函数都就是正\余弦函数得偶数次幂时:目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低!具体方法(公式):等式左边就是三角函数得2次,右边只有1次,次数降低了!三、有理函数得积分1、有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之与例1解之前得引入例:2、分母可以因式分解(1次因式)时:先将分母因式分解1次因式;再利用待定系数法分解部分分式得与;对每个部分分式得计算积分、例13采用部分分式法计算步骤:真分式分解为部分分式:比较等式2边得:A=-3,B=512大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流=-3ln(x-2)+5ln(x-3)+C例14解部分分式法3、分母出现不能因式分解(2次因式)时:采用得积分公式就是:该分母不能因式分解瞧下面这个相对简单得例子,再瞧个综合例子:(注意,这例子比较难!)解:

原式例15、

求(书本P219例题4)例16想想它分子怎么设？利用待定系数法求得:A=2,B=-1,C=3这个积分容易计算了这个积分就是新问题:分母不能因式分解!凑微分分母不能分解,进行配方凑微分换元u=x-1/2凑微分凑微分基本公式再瞧这个,将分母变成u2+1凑微分基本公式好难!？注意步骤,不着急!优势:在方法一定可以完成!第一类换元法解决得问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法、难求,四、不定积分得第二换元法:1.定理下面介绍几种情况及处理方法:2、第一种情况:这就是第2换元积分得最主要得用途目标通常就是一次函数得根式例17解直接令根式为新得积分变元例18解直接令根式为新得积分变元这就是前面得有理分式得积分,可以计算了因式分解部分分式法凑微分法例19解3、第二种情况:这就是第2换元积分得最主要得用途目标被积函数就是二次函数根式得情形:又分下面3种情况:2、第一种情况:

被积函数就是(一次)函

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