2024-2025学年山西省晋城市阳城县八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省晋城市阳城县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想是（）A．方程思想 B．建模思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想2．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a5＝a15 B．（ab）2＝a2b2 C．（a2）3＝a5 D．6a÷2a＝3a3．（3分）已知数据：13，2，3，πA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.84．（3分）如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温度变化情况，则最适合使用的统计图为（）日期白天/晚上最高最低AQI风向降雨量12﹣01晴14℃0℃45西北风3级012﹣02多云11℃﹣2℃54东南风2级012﹣03晴/多云12℃﹣3℃79东南风1级012﹣04阴/晴10℃﹣3℃53西北风2级012﹣05阴/多云9℃﹣3℃30西北风3级012﹣06多云/晴10℃﹣4℃33西北风3级012﹣07多云/晴7℃﹣3℃37西北风3级0A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上都不是5．（3分）下列命题是假命题的是（）A．内错角相等，两直线平行 B．三角形的内角和等于180° C．四边形的外角和等于180° D．平行于同一条直线的两条直线平行6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C7．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x28．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：59．（3分）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）10．（3分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线l和直线l外一点P，用无刻度的直尺和圆规过点P作l的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）11．（3分）4的平方根是．12．（3分）计算﹣14a2b3÷7a2b的结果是．13．（3分）如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OP＝13，OF＝12，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为．14．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，正方形A，B，C的面积之和为36cm2，则正方形D的面积是cm2．15．（3分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：−1（2）分解因式：4x3y﹣4x2y2+xy3．17．（7分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠B＝35°，求∠DAC的度数．19．（9分）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用无刻度的直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．②分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC，则OC就是∠（1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．（2）小聪只带了一个直角三角板，他发现利用直角三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的长直角边，在OA和OB上分别截取OM、ON，则OM＝ON．②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP．则OP为∠AOB的平分线．小聪的作法正确吗？请说明理由．20．（8分）新质生产力，是2023年9月习近平总书记在黑龙江考察调研期间首次提到的新词汇，强调发展战略性新兴产业，加快形成新质生产力．我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图．（1）这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆？（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；（3）根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率；21．（9分）阅读与思考配方法把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）②求2x2+12x+22的最小值．解：2x2+12x+22＝2（x2+6x+11）先求出x2+6x+11的最小值x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；由于（x+3）2是非负数，所以（x+3）2≥0，可得到（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．进而2x2+12x+22的最小值为4．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+；（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；（3）求2x2﹣4x+10的最小值．22．（10分）如图所示，在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，在顶点A处有一点P，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，在顶点C处有一点Q，以每秒3个单位长度的速度从点C出发沿C→B→C的路线匀速运动，两点同时出发，当点Q停止运动时，点P也随之停止运动．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若两点运动4秒时，求此时PQ的长；（3）设两点运动时间为t秒，当△PCQ是一个等腰直角三角形时，求t的值．23．（14分）综合与实践问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，用纸片制作了△ABC和△DEF，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，AC＝DF，CB＝FE，请证明△ABC≌△DEF．数学思考：（1）请你解答老师提出的问题．深入探究：（2）老师将两个三角形的点B和点E重合在一起，将△DBF绕点B进行旋转，使点F落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“智慧小组”提出问题：如图2，当∠FBC＝∠BAC时，AB与DF相交于点P，试猜想△DPB的形状，并加以证明；②“奇想小组”提出问题：如图3，当∠ABF＝∠BAC时，过点A作AM⊥BF交BF的延长线于点M，BM与AC交于点N．试猜想线段AM和BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（3）请你参照以上操作，利用图1中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图4中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

2024-2025学年山西省晋城市阳城县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CBCBCABDDB一、选择题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想是（）A．方程思想 B．建模思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想【解答】解：∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是2，这种利用图形直观说明问题的方式A、B、D的说法显然不正确，∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法．故选：C．2．（3分）下列运算正确的是（）A．a3•a5＝a15 B．（ab）2＝a2b2 C．（a2）3＝a5 D．6a÷2a＝3a【解答】解：A．∵a3•a5＝a8，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；B．∵（ab）2＝a2b2，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；C．∵（a2）3＝a6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；D．∵6a÷2a＝3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；故选：B．3．（3分）已知数据：13，2，3，πA．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8【解答】解：∵在13，2，3，π，﹣2中，无理数是2，3，π∴无理数出现的频率为：35故选：C．4．（3分）如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温度变化情况，则最适合使用的统计图为（）日期白天/晚上最高最低AQI风向降雨量12﹣01晴14℃0℃45西北风3级012﹣02多云11℃﹣2℃54东南风2级012﹣03晴/多云12℃﹣3℃79东南风1级012﹣04阴/晴10℃﹣3℃53西北风2级012﹣05阴/多云9℃﹣3℃30西北风3级012﹣06多云/晴10℃﹣4℃33西北风3级012﹣07多云/晴7℃﹣3℃37西北风3级0A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．以上都不是【解答】解：如图是阳城县2024年12月1日至12月7日的天气情况，为了表示这7天的每日最高温度变化情况，则最适合使用的统计图为折线统计图，故选：B．5．（3分）下列命题是假命题的是（）A．内错角相等，两直线平行 B．三角形的内角和等于180° C．四边形的外角和等于180° D．平行于同一条直线的两条直线平行【解答】解：A、内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；B、三角形的内角和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；C、四边形的外角和为360°，错误，是假命题，符合题意；D、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意．故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是（）A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠C【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠1＝∠2，∠B＝∠C．故A错误，B，C，D正确．故选：A．7．（3分）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x﹣1）2+52＝x2 C．x2+52＝（x+1）2 D．（x﹣1）2+102＝x2【解答】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，设芦苇长x尺，∴（x﹣1）2+52＝x2，故选：B．8．（3分）已知a，b，c为△ABC的三边长，在下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a＝6，b＝8，c＝10 C．a2+b2＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，不符合题意；B、∵62+82＝102，∴△ABC为直角三角形，不符合题意；C、∴a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C=5∴△ABC不是直角三角形，符合题意；故选：D．9．（3分）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【解答】解：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），∵两图中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴可以验证成立的公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．10．（3分）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线l和直线l外一点P，用无刻度的直尺和圆规过点P作l的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．如图，根据作图可知，∠EPB＝∠EFG，∴AB∥l，故A正确，不符合题意；B．根据作图无法判断所作直线与l平行，故B不正确，符合题意；C．如图，根据作图可知，P为AB的中点，Q为AC的中点，∴PQ∥l，故C正确，不符合题意；D．根据作图可知，BA平分∠PBC，PB＝PA，∴∠PBA＝∠CBA，∠PAB＝∠PBA，∴∠PAB＝∠CBA，∴PA∥BC，故D正确，不符合题意；故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每题3分，共15分）11．（3分）4的平方根是±2．【解答】解：∵（±2）2＝4，∴4的平方根是±2．故答案为：±2．12．（3分）计算﹣14a2b3÷7a2b的结果是﹣2b2．【解答】解：原式＝（﹣14÷7）•（a2÷a2）•（b3÷b）＝﹣2b2，故答案为：﹣2b2．13．（3分）如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，作PF⊥OB，已知OP＝13，OF＝12，点E是射线OA上一动点，则PE长度的最小值为5．【解答】解：如图，过P点作PH⊥OA于点H，∵OC平分∠AOB，PH⊥OA，PF⊥OB，∴PH＝PF，∠PFO＝90°，∴PF=O∵点E是射线OA上一动点，∴当PE⊥OA时，PE的值最小，∴PE的最小值为5，故答案为：5．14．（3分）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8cm，正方形A，B，C的面积之和为36cm2，则正方形D的面积是28cm2．【解答】解：如图，根据勾股定理可知，S1+S2＝S大正方形＝82＝64（cm2），S正方形C+S正方形D＝S2，S正方形A+S正方形B＝S1，∴S大正方形＝S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B＝64cm2，∴正方形D的面积＝64﹣36＝28（cm2），故答案为：28．15．（3分）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，则DE的长为0.5．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．在△PFD和△QCD中，∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDC，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD=DE=1∵AC＝1，∴DE＝0.5，故答案为：0.5．三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：−1（2）分解因式：4x3y﹣4x2y2+xy3．【解答】解：（1）−＝﹣1+4−=8（2）4x3y﹣4x2y2+xy3＝xy（4x2﹣4xy+y2）＝xy（2x﹣y）2．17．（7分）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）（2）求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab；（2）当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC．（1）作线段AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若∠B＝35°，求∠DAC的度数．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠CAB＝90°﹣35°＝55°，∵点D在AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝35°，∴∠DAC＝∠CAB﹣∠DAB＝55°﹣35°＝20°．19．（9分）数学课上，探讨角平分线的作法时，李老师用无刻度的直尺和圆规作角平分线，方法如下：作法：①在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．②分别以D、E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．③作射线OC，则OC就是∠（1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是SSS．（2）小聪只带了一个直角三角板，他发现利用直角三角板也可以作角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的长直角边，在OA和OB上分别截取OM、ON，则OM＝ON．②分别过M、N作OM、ON的垂线，交于点P．③作射线OP．则OP为∠AOB的平分线．小聪的作法正确吗？请说明理由．【解答】解：（1）连接CE，CD．由作图可知，OE＝OD，CE＝CD，∵OC＝OC，∴△EOC≌△DOC（SSS），∴∠EOC＝∠DOC，∴OC平分∠AOB．故答案为：SSS；（2）作法正确．理由：由作图可知：OM＝ON，OP＝OP，∠ONP＝∠OMP＝90°，∴Rt△ONP≌Rt△OMP（HL），∴∠PON＝∠POM，∴OP平分∠AOB．20．（8分）新质生产力，是2023年9月习近平总书记在黑龙江考察调研期间首次提到的新词汇，强调发展战略性新兴产业，加快形成新质生产力．我国新能源汽车发展迅猛，如图是我国某区域2024年各季度新能源汽车销售量的情况统计图．（1）这个区域2024年度共销售新能源汽车多少万辆？（2）将上面的条形统计图和扇形统计图补充完整；（3）根据以上信息，求从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率；【解答】解：（1）20÷1答：这个区域2024年度共销售新能源汽车80万辆．（2）第一季度销售新能源汽车为80﹣20﹣20﹣32＝8（万辆），第一季度销量占全年的百分比为8÷80×100%＝10%，第三季度销量占全年的百分比为20÷80×100%＝25%，第四季度销量占全年的百分比为32÷80×100%＝40%，（3）（32﹣20）÷20×100%＝60%，答：从第三季度到第四季度该区域新能源汽车销售量的增长率60%．21．（9分）阅读与思考配方法把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3+1）（a+3﹣1）＝（a+4）（a+2）②求2x2+12x+22的最小值．解：2x2+12x+22＝2（x2+6x+11）先求出x2+6x+11的最小值x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；由于（x+3）2是非负数，所以（x+3）2≥0，可得到（x+3）2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2．进而2x2+12x+22的最小值为4．请根据上述材料解决下列问题：（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+4；（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；（3）求2x2﹣4x+10的最小值．【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，故答案为：4；（2）a2+12a+35＝a2+12a+36﹣1＝（a+6）2﹣1＝（a+6+1）（a+6﹣1）＝（a+7）（a+5）；（3）2x2﹣4x+10＝2（x2﹣2x+5）＝2（x2﹣2x+1+4）＝2（x﹣1）2+8，因为（x﹣1）2是非负数，所以（x﹣1）2≥0，2（x﹣1）2+8≥8，所以2x2﹣4x+10的最小值是8．22．（10分）如图所示，在△ABC中，AC＝9，BC＝12，AB＝15，在顶点A处有一点P，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，在顶点C处有一点Q，以每秒3个单位长度的速度从点C出发沿C→B→C的路线匀速运动，两点同时出发，当点Q停止运动时，点P也随之停止运动．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若两点运动4秒时，求此时PQ的长；（3）设两点运动时间为t秒，当△PCQ是一个等腰直角三角形时，求t的值．【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，理由：∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2+BC2＝92+122＝152＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）若两点运动4s时，AP＝4cm，CQ＝12cm，∴PC＝9﹣4＝5（cm），∴PQ=PC2+C（3）当△PCQ是一个等腰直角三角形时，∵∠C＝90°，∴PC＝CQ，两点运动时间为t秒时，AP＝tcm，则PC＝（9﹣t）cm，①当点Q从点C向点B运动时，CQ＝