2024-2025学年河南省新乡市长垣一中九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省新乡市长垣一中九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）《周易》被誉为中华文化的瑰宝，其中包含了丰富的哲学思想和智慧．如图为易经中部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣43．（3分）截至2024年，长垣市建筑防腐企业1335家，全行业从业人员突破10万大关，长垣市防腐产业不仅占据了国内70%以上的市场份额，年产值达468.79亿元亿元，是长垣市名副其实的支柱型产业．数据“468.79亿”用科学记数法表示为（）A．468.79×108 B．46.879×109 C．4.6879×1010 D．0.46879×10114．（3分）如图为天气预报网站显示的“长垣市2025年1月30日的降水概率为73%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（）A．1月30日长垣市将有73%的时间下雨 B．1月30日长垣市将有73%的地区下雨 C．1月30日长垣市下雨的可能性较大 D．1月30日长垣市最高气温一定为8℃5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，则BD的长为（）A．3 B．5 C．5.5 D．66．（3分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）A．255 B．55 C．27．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝5708．（3分）如图，⊙O的半径为15，弦AB＝18，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）A．3 B．4 C．5 D．69．（3分）某同学在用函数模型研究问题时观察到x与y的几组对应值：x…124…y…421…由此作出以下判断①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系．你认为正确描述的序号应该是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标可能是（）A．5 B．2 C．3 D．3二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）已知：点A（2024，﹣2025）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b＝．12．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx（k＜0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是13．（3分）元旦前夕许多人相聚郑州二七纪念塔迎接新年，在庄重的钟声中，牢记历史，传承红色基因，共同奋进，创造美好的明天．如图是二七塔周边部分通行路线示意图，小明从入口A进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小明从F口走出的概率是．14．（3分）长垣自古有三善之地，君子之乡的美誉．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12，若MN＝4cm，则15．（3分）如图所示在矩形ABCD中，AB长为5，AC长为10，以C为圆心，AC长为半径作弧，交BD于点E，则图中扇形ACE的面积为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（10分）解方程：（1）x2﹣3x﹣1＝0．（2）x2﹣4x+3＝0．17．（9分）【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动．【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下：序号12345678910杨树叶的长宽比22.42.12.42.81.82.42.22.11.7杏树叶的长宽比1.51.61.51.41.51.41.71.51.61.4【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差杨树叶的长宽比2.19a2.40.0949杏树叶的长宽比1.511.5b0.0089【问题解决】填空：（1）上述表格中：a＝，b＝；（2）这两种树叶从长宽比的角度看，树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于树的可能性比较大．（3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？18．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的图象的两个交点分别为（1）求直线l：y＝k1x+b与函数y=k（2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线l：y＝k1x+b和函数y=k2x(x＞0)的图象的交点分别为点M，N，当点M在点19．（9分）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O及圆外一点P．求作：过点P作⊙O的一条切线．作法：①连接OP；②作OP的垂直平分线，交OP于点A；③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于点B；④作直线PB．即直线PB为所求作的一条切线．根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）该作图中．可以得到∠OBP＝°；依据：．20．（9分）如图是我市某小区地下停车库入口的设计示意图，为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶，如图为某装满家具的小型货车，车载满家具最高处为2.5m，需要从地下车库进入小区．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的铅直高度BD与水平宽度AB的比），AB＝7.2m，点C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请根据以上数据，求出该地下停车库限高CE的长，并通过计算分析该货车能否安全通过地下车库？21．（9分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？22．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），点D是抛物线的顶点，过D作x轴的垂线交直线BC于点E．（1）求点D坐标；（2）求△CDE面积．23．（11分）综合与探究：如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A．（1）【操作判断】如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为度；（2）【问题探究】如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，判断线段OM、ON、PA数量关系并证明；（3）【拓展延伸】点M在射线AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，射线NM与射线PO相交于点F，若ON＝2OM，请直接写出OPOF

2024-2025学年河南省新乡市长垣一中九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案ABC．CBACCCD一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）《周易》被誉为中华文化的瑰宝，其中包含了丰富的哲学思想和智慧．如图为易经中部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．2．（3分）若x＝1是一元二次方程x2+x+m＝0的一个根，则方程的另一个根是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：设方程另一个根为x＝t，根据题意得t+1＝﹣1，解得t＝﹣2，则方程的另一个根是﹣2．故选：B．3．（3分）截至2024年，长垣市建筑防腐企业1335家，全行业从业人员突破10万大关，长垣市防腐产业不仅占据了国内70%以上的市场份额，年产值达468.79亿元亿元，是长垣市名副其实的支柱型产业．数据“468.79亿”用科学记数法表示为（）A．468.79×108 B．46.879×109 C．4.6879×1010 D．0.46879×1011【解答】解：468.79亿＝46879000000＝4.6879×1010．故选：C．4．（3分）如图为天气预报网站显示的“长垣市2025年1月30日的降水概率为73%”，对这条信息的下列说法中，正确的是（）A．1月30日长垣市将有73%的时间下雨 B．1月30日长垣市将有73%的地区下雨 C．1月30日长垣市下雨的可能性较大 D．1月30日长垣市最高气温一定为8℃【解答】解：降水概率指的是下雨的可能性情况．故选：C．5．（3分）如图，已知AB∥CD∥EF，若AC＝6，CE＝3，DF＝2.5，则BD的长为（）A．3 B．5 C．5.5 D．6【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴BDDF∵AC＝6，CE＝3，DF＝2，∴BD2.5∴BD＝5．故选：B．6．（3分）在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（）A．255 B．55 C．2【解答】解：如图：由网格的特征可知，△ABC是直角三角形，∴AB=A∴sinα=AC故选：A．7．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570【解答】解：∵道路的宽为xm，∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．故选：C．8．（3分）如图，⊙O的半径为15，弦AB＝18，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，∵弦AB＝18，∴AP=12∵OA＝15，∴OP=O∴OM的最短距离为OP，最长距离为OA，∵点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，∴12≤OM＜15，∵OM的长为整数，∴OM可取12，13，14，即这样的点M有5个，故选：C．9．（3分）某同学在用函数模型研究问题时观察到x与y的几组对应值：x…124…y…421…由此作出以下判断①可能是一次函数关系；②可能是反比例函数关系；③可能是二次函数关系．你认为正确描述的序号应该是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：由表中数据可知，三个点不在同一直线上，故①错误；设y与x的关系为二次函数，设y＝ax2+bx+c，则a+b+c=44a+2b+c=2解得：a=1∴y=12x2−72三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数y=4x图象上，故故选：C．10．（3分）如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对角线AC上一动点，设PC＝x，PE+PB＝y，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的纵坐标可能是（）A．5 B．2 C．3 D．3【解答】解：如图，连接PD，∵B、D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PB+PE＝PD+PE，∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，在Rt△AED中，DE=62+∴PB+PE的最小值为35，∴点Q的纵坐标为35，∵AE∥CD，∴PCAP∵AC＝62，∴CP＝62×23∴点Q的横坐标为42，∴点Q的坐标为（42，35）．故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）已知：点A（2024，﹣2025）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，则a+b＝1．【解答】解：∵点A（2024，﹣2025）与点B（a，b）关于原点O成中心对称，∴a＝﹣2024，b＝﹣（﹣2025）＝2025，∴a+b＝﹣2024+2025＝1．故答案为：1．12．（3分）如图，点A是反比例函数y=kx（k＜0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为5，则k的值是【解答】解：连接AO，∵AB⊥x轴，∴AB∥y轴，∴S△ABO＝S△ABC＝5．又∵点A在反比例函数的图象上，∴|k|2又∵k＜0，∴k＝﹣10．故答案为：﹣10．13．（3分）元旦前夕许多人相聚郑州二七纪念塔迎接新年，在庄重的钟声中，牢记历史，传承红色基因，共同奋进，创造美好的明天．如图是二七塔周边部分通行路线示意图，小明从入口A进入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小明从F口走出的概率是14【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中小明从F口走出的结果有1种，∴小明从F口走出的概率为14故答案为：1414．（3分）长垣自古有三善之地，君子之乡的美誉．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，“善”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且BCAB=5−12，若MN＝4cm，则BC的长为【解答】解：∵分割线的端点A，B分别在习字格的边MP，NQ上，且AB∥MN，四边形NMPQ为正方形，∴AB＝MN，∵MN＝4cm，∴AB＝4cm，∵BCAB∴BC=5−12×4=2故答案为：25−15．（3分）如图所示在矩形ABCD中，AB长为5，AC长为10，以C为圆心，AC长为半径作弧，交BD于点E，则图中扇形ACE的面积为25π．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴BD∥AC，CD＝AB＝5，在Rt△CDE中，∵CE＝AC＝10，CD＝5，∴sin∠CED=CD∴∠CED＝30°，∵BD∥AC，∴∠ACE＝∠CED＝30°，∴图中扇形ACE的面积=90×π×102故答案为：25π．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（10分）解方程：（1）x2﹣3x﹣1＝0．（2）x2﹣4x+3＝0．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴x=3±∴x1=3+132，x（2）x2﹣4x+3＝0．（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，∴x1＝1，x2＝3．17．（9分）【问题情境】我们美丽的校园中植物千姿百态，某小组小张，小娟，小东三位同学观察中发现：植物叶子通常有着不同的特征．如果用数学的眼光来观察，会有什么发现呢？于是三位同学共同开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的项目化学习活动．【实践发现】该小组的同学从收集的杨树叶、杏树叶中各随机选取了10片，通过测量它们长和宽（单位：cm）的数据后，再计算了它们的长宽比，整理数据如下：序号12345678910杨树叶的长宽比22.42.12.42.81.82.42.22.11.7杏树叶的长宽比1.51.61.51.41.51.41.71.51.61.4【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差杨树叶的长宽比2.19a2.40.0949杏树叶的长宽比1.511.5b0.0089【问题解决】填空：（1）上述表格中：a＝2.15，b＝1.5；（2）这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小；一片长为11.5cm，宽为5cm的树叶，这片树叶来自于杨树的可能性比较大．（3）三名同学决定由两名同学作代表展示以上发现，若每位同学选中机会均等，请你用列表法或树状图求出恰好小娟小东被选中的概率为多少？【解答】解：（1）将杨树叶的长宽比重新排列为1.7、1.8、2、2.1、2.1、2.2、2.4、2.4、2.4、2.8，所以其中位数a=2.1+2.2杏树叶的长宽比的众数b＝1.5，故答案为：2.15，1.5；（2）由表知，杏树叶的长宽比的方差小于杨树叶长宽比的方差，所以这两种树叶从长宽比的角度看，杏树叶的形状差别比较小；11.5÷5＝2.3，所以这片树叶来自于杨树的可能性比较大，故答案为：杏，杨；（3）根据题意画树状图如下：∵由图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好小娟小东被选中的结果有2种．∴恰好小娟小东被选中的概率为2618．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的图象的两个交点分别为（1）求直线l：y＝k1x+b与函数y=k（2）过点P（n，0）作x轴的垂线，与直线l：y＝k1x+b和函数y=k2x(x＞0)的图象的交点分别为点M，N，当点M在点【解答】解：（1）∵直线l：y＝k1x+b与函数y=k2x(x＞0)的图象的两个交点分别为∴把A（2，8）和B（8，2）代入l：y＝k1x+b，得：2k解得：k1∴直线l：y＝k1x+b的解析式为y＝﹣x+10；∵函数y=k2x∴8=k∴k2＝16，∴函数y=k2x(x＞0)（2）∵直线l：y＝k1x+b与函数的图象的两个交点分别为A（2，8）和B（8，2），如图所示：观察图象可知，满足条件的n的值为：2＜n＜8．19．（9分）下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．已知：如图1，⊙O及圆外一点P．求作：过点P作⊙O的一条切线．作法：①连接OP；②作OP的垂直平分线，交OP于点A；③以A为圆心，OA的长为半径作弧，交⊙O于点B；④作直线PB．即直线PB为所求作的一条切线．根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）该作图中．可以得到∠OBP＝90°；依据：直径所对的圆周角等于90°．【解答】解：（1）如图，补全图形.理由：连接OB，∵OA＝PA，且OA为⊙A的半径，∴OP为⊙A的直径，∴∠OBP＝90°，∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，∴直线PB为⊙O的切线．（2）∵直径所对的圆周角等于90°，OP为⊙A的直径，∴∠OBP＝90°，故答案为：90，直径所对的圆周角等于90°．20．（9分）如图是我市某小区地下停车库入口的设计示意图，为保证社区居民安全，物业按规定执行人车分流，机动车不允许在小区地面行驶，如图为某装满家具的小型货车，车载满家具最高处为2.5m，需要从地下车库进入小区．已知AB⊥BD，坡道AD的坡度i＝1：2.4（指坡面的铅直高度BD与水平宽度AB的比），AB＝7.2m，点C在BD上，BC＝0.4m，CE⊥AD．按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，请根据以上数据，求出该地下停车库限高CE的长，并通过计算分析该货车能否安全通过地下车库？【解答】解：∵i＝1：2.4，∴tan∠BAD＝1：2.4=5∴BDAB∵AB＝7.2m，∴BD=512×∵BC＝0.4m，∴DC＝BD﹣BC＝2.6m，∵CE⊥AD，AB⊥DB，∴∠DCE＝∠BAD，∵tan∠BAD=5∴cos∠DCE＝cos∠BAD=12∴CE＝CD•cos∠DCE＝2.6×1213=即地下车库入口的限高CE的长为2.4m，∵2.4＜2.5，∴该货车不能安全通过地下车库．21．（9分）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为20米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB的长为x米，∴CD＝AB＝x（米）．∵矩形除AD边外的三边总长为20米，∴BC＝（20﹣2x）米．∴S＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x．∵0＜x＜20﹣2x，∴0＜x＜20∴S与x之间的函数关系式为S＝﹣2x2+20x（0＜x＜20（2）∵S＝﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50，0＜x＜20∴当x＝5时，S取最大值，最大值＝50（平方米），∴AB边的长为5米时，花圃的面积最大，最大值为50平方米．22．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），点D是抛物线的顶点，过D作x轴的垂线交直线BC于点E．（1）求点D坐标；（2）求△CDE面积．【解答】解：（1）由题意，设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得﹣3＝a×（0+1）×（0﹣3），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（3，0），C（0，﹣3）分别代入得3m+n=0n=−3解得m=1n=−3∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，当x＝1时，