2024-2025学年河南省南阳市社旗县八年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省南阳市社旗县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．32．（3分）若x+1有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣13．（3分）下列各式中，运算结果为6m4的是（）A．3m+3m3 B．（﹣3m2）2 C．12m5÷2m D．﹣2m3•3m4．（3分）下列运算中正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．4a•3a2b÷2ab＝6a2 C．a4•（﹣a）3＝﹣a12 D．2a（a﹣1）﹣2a2＝2a5．（3分）分解因式：a3﹣9a＝（）A．a（a﹣3）（a+3） B．a（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a2（a﹣9）6．（3分）八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS7．（3分）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（）A．32 B．2 C．3 D．8．（3分）下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形 B．一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C．有一个角等于60°的等腰三角形 D．三个外角都相等的三角形9．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（）A．12 B．13 C．14 D．15二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）16的算术平方根为．12．（3分）2a2与4ab的公因式为．13．（3分）某校参加数学节的学生人数统计图如图所示，若参加说题比赛的学生有60人，则参加解题比赛有人．14．（3分）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是．15．（3分）如图，点D是∠FAB内的定点且AD＝2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：364（2）计算：20132﹣2014×2012．17．（9分）先化简，再求值：（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2，其中a＝﹣6，b＝﹣4．18．（9分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是BMI=体量(单位：kg)身高2(单位：m2)．中国人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BM＜24；收集数据七年级10名男生数据统计表编号12345678910身高（m）1.561.501.661.581.501.701.511.421.591.72体重（kg）52.549.545.640.355.256.148.542.867.290.5BMI21.62216.516.124.519.421.321.226.630.6七年级10名女生数据统计表编号12345678910身高（m）1.461.621.551.651.581.671.551.461.531.62体重（kg）46.449.061.556.552.975.550.347.652.446.8BMI21.818.725.620.821.227.120.922.322.417.8整理、描述数据七年级20名学生BMI频数分布表组别BMI男生频数女生频数A16≤BMI＜2032B20≤BMl＜2446C24≤BMI＜28t2D28≤BMI＜3210应用数据：（1）t＝，α＝；（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生BMI≥24的人数．（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm，求BE的长．20．（9分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，求四边形ABCD的面积．21．（9分）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形后写出已知、求证并进行证明．已知：求证：证明：22．（10分）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣16；（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．23．（10分）【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内容，请你阅读并填空．例4如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．证明∵CE∥AB（已知），∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）在△ABD与△ECD中，∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证），BD＝CD（已知），∴△ABD≌△ECD，∴AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．（1）在上述证明过程中能得到△ABD≌△ECD，依据是．【尝试变编】在变编环节，聪聪编题如下：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．如下是明明的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据明明的方法填空：（2）AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【尝试运用】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2AE，求线段BF的长．（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，请直接写出线段BE，CF，EF三者之间的等量关系．

2024-2025学年河南省南阳市社旗县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案AACBADCDB一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。1．（3分）下列各数中，最小的数是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜3∴最小的数是﹣1，故选：A．2．（3分）若x+1有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1【解答】解：∵二次根式x+1有意义，∴x+1≥0，解得x≥﹣1．故选：A．3．（3分）下列各式中，运算结果为6m4的是（）A．3m+3m3 B．（﹣3m2）2 C．12m5÷2m D．﹣2m3•3m【解答】解：根据相关运算法则逐项分析判断如下：A、3m与3m3不可以合并，故不符合题意；B、（﹣3m2）2＝9m4，故不符合题意；C、12m5÷2m＝6m4，故符合题意；D、﹣2m3•3m＝﹣6m4，故不符合题意；故选：C．4．（3分）下列运算中正确的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．4a•3a2b÷2ab＝6a2 C．a4•（﹣a）3＝﹣a12 D．2a（a﹣1）﹣2a2＝2a【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项A错误，不符合题意；4a•3a2b÷2ab＝6a2，故选项B正确，符合题意；a4•（﹣a）3＝﹣a7，故选项C错误，不符合题意；2a（a﹣1）﹣2a2＝﹣2a，故选项D错误，不符合题意；故选：B．5．（3分）分解因式：a3﹣9a＝（）A．a（a﹣3）（a+3） B．a（a2+9） C．（a﹣3）（a+3） D．a2（a﹣9）【解答】解：原式＝a（a2﹣9）＝a（a﹣3）（a+3），故选：A．6．（3分）八年级（2）班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动．小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，ED＝FD，那么△AED≌△AFD的依据是（）A．SAS B．ASA C．HL D．SSS【解答】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴AE=12AB，AF=∵AB＝AC，∴AE＝AF，在△AED和△AFD中，AE=AFED=FD∴△AED≌△AFD（SSS），∴△AED≌△AFD的依据是SSS．故选：D．7．（3分）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（）A．32 B．2 C．3 D．【解答】解：∵AF是等腰△ABC底边BC上的高，∴AF是顶角∠BAC的平分线，∵点F到直线AB的距离为3，∴点F到直线AC的距离为3，故选：C．8．（3分）下列条件中，不能得到等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形 B．一边上的中线也是这条边上的高的三角形 C．有一个角等于60°的等腰三角形 D．三个外角都相等的三角形【解答】解：有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故选项A不符合题意；一边上的高也是这边的中线的三角形不一定是等边三角形，如等腰三角形底边的高也是中线，故选项B符合题意；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，故选项C不符合题意；三个外角都相等的三角形是等边三角形，故选项D不符合题意；故选：B．9．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线；B：由作图痕迹可知，OC＝OD，OA＝OB，又∵∠AOD＝∠BOC，∴△ADO≌△BCO（SAS），同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，射线OP为∠AOB的平分线；C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，CP∥OB，可得∠CPO＝∠POB，又由图可知CP＝OP，∴∠COP＝∠CPO，∴∠POB＝∠COP，射线OP为∠AOB的平分线；D：由作图痕迹可知，CO＝OD，△OCD是等腰三角形，∴射线OP是CD的垂直平分线，也是∠AOB的平分线．故选：D．10．（3分）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，∵（m+n）2＝21，∴m2+n2+2mn＝21②，①+②得2（m2+n2）＝26，∴大正方形的面积为：m2+n2＝13，故选：B．二、填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）16的算术平方根为4．【解答】解：16的算术平方根为16=故答案为：4．12．（3分）2a2与4ab的公因式为2a．【解答】解：2a2与4ab的公因式是2a．故答案为：2a．13．（3分）某校参加数学节的学生人数统计图如图所示，若参加说题比赛的学生有60人，则参加解题比赛有15人．【解答】解：参加解题比赛有60×25%＝15（人），故答案为：15．14．（3分）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是18m．【解答】解：设大树在折断之前的高是xm，由勾股定理得：（x﹣5）2＝122+52，解得：x＝18或x＝﹣8（不合题意，舍去），∴大树在折断之前的高是18m，故答案为：18m．15．（3分）如图，点D是∠FAB内的定点且AD＝2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是30°．【解答】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′，此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′＝GH＝2，根据轴对称的性质，得AG＝AD＝AH＝2，∠DAF＝∠GAF，∠DAB＝∠HAB，∴AG＝AH＝GH＝2，∴△AGH是等边三角形，∴∠GAH＝60°，∴∠FAB=12故答案为：30°．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16．（10分）（1）计算：364（2）计算：20132﹣2014×2012．【解答】解：（1）原式＝4﹣2+1＝3；（2）原式＝20132﹣（2013+1）×（2013﹣1）＝20132﹣20132+1＝1．17．（9分）先化简，再求值：（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2，其中a＝﹣6，b＝﹣4．【解答】解：（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2＝a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣a2﹣10ab﹣25b2+a2﹣10ab+25b2＝10a2﹣20ab+10b2，当a＝﹣6，b＝﹣4时，原式＝10×（﹣6）2﹣20×（﹣6）×（﹣4）+10×（﹣4）2＝360﹣480+160＝40．18．（9分）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是BMI=体量(单位：kg)身高2(单位：m2)．中国人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的BMI数值，再参照BMI数值标准分成四组：A.16≤BMI＜20；B.20≤BM＜24；收集数据七年级10名男生数据统计表编号12345678910身高（m）1.561.501.661.581.501.701.511.421.591.72体重（kg）52.549.545.640.355.256.148.542.867.290.5BMI21.62216.516.124.519.421.321.226.630.6七年级10名女生数据统计表编号12345678910身高（m）1.461.621.551.651.581.671.551.461.531.62体重（kg）46.449.061.556.552.975.550.347.652.446.8BMI21.818.725.620.821.227.120.922.322.417.8整理、描述数据七年级20名学生BMI频数分布表组别BMI男生频数女生频数A16≤BMI＜2032B20≤BMl＜2446C24≤BMI＜28t2D28≤BMI＜3210应用数据：（1）t＝2，α＝72°；（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．①估计该校七年级男生偏胖的人数；②估计该校七年级学生BMI≥24的人数．（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．【解答】解：（1）由题意得，s=49.51．5α=360°×2+2故答案为：2，72°；（2）①估计该校七年级男生偏胖的人数有：260×2②估计该校七年级学生BMI≥24的人数有：260×3（3）由统计表可知，该校七年级学生的偏瘦、偏胖或肥胖的人数约半数，建议该校加强学生的体育锻炼，加强科学饮食习惯的宣传．（答案不唯一）．19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E、D，AD＝2.6cm，DE＝1.2cm，求BE的长．【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°．∴∠ACD+∠DAC＝90°．∠ACD+∠BCD＝90°．∴∠BCD＝∠DAC．在△CEB和△ADC中∠BEC=∠CDA∠BCD=∠DAC∴△CEB≌△ADC（AAS）．∴CE＝AD＝2.6cm，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.6﹣1.2＝1.4cm．20．（9分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=AS△ABC在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．21．（9分）求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．请你完善图形后写出已知、求证并进行证明．已知：求证：证明：【解答】解：已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，CD=12求证：∠ACB＝90°；证明：∵CD是AB边上的中线，∴AD＝BD=12∵CD=12∴CD＝AD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∴∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°，2∠ACD+2∠BCD＝180°，∠ACD+∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°．22．（10分）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法．但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣16；（2）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16＝（x2﹣2xy+y2）﹣16＝（x﹣y）2﹣42＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；（2）△ABC是等腰三角形或直角三角形，理由如下：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0，（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）＝0，（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，a2﹣b2＝0或a2+b2﹣c2＝0，∵a、b、c是△ABC的三边长，∴a＞0，b＞0，c＞0，∴a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．23．（10分）【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内容，请你阅读并填空．例4如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．求证：AD＝ED．证明∵CE∥AB（已知），∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（两直线平行，内错角相等）在△ABD与△ECD中，∴∠ABD＝∠ECD，∠BAD＝∠CED（已证），BD＝CD（已知），∴△ABD≌△ECD