2024-2025学年广东省汕头市潮南区陈店公办八校九年级（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕头市潮南区陈店公办八校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 C．抛1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是180度3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，6） B．（3，﹣6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，6）4．（3分）二次函数y＝2x2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（）A．y＝2（x+2）2﹣2 B．y＝2（x﹣2）2﹣2 C．y＝2（x+2）2+2 D．y＝2（x﹣2）2+25．（3分）如图，△ABE绕点B顺时针旋转一定角度得到△CBD，点D刚好在AE的延长线上，若∠AEB＝130°，则旋转角的度数为（）A．50° B．65° C．80° D．95°6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．35°7．（3分）若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（）A．直线x=−ba B．直线x＝1 C．直线x＝3 D．直线8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大9．（3分）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝（）A．108 B．90 C．60 D．4510．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A．3 B．23 C．14 D．二、填空题（本大题共5小题）11．（3分）若点（1，y1），（2，y2）在抛物线y＝﹣x2上，则y1，y2的大小关系为：y1y2．12．（3分）一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为23，则n的值为13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OM是⊙O的半径，OM垂直于弦AC，垂足为D．若AC＝12，BC＝5，则DM＝．14．（3分）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，连接AC，EG，取AC，EG的中点M，N连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝．15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为．三、解答题（一）（本大题共3小题）16．（10分）解方程：（1）（y﹣1）2﹣25＝0；（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．17．（10分）粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）．（1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是；（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率．18．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A(3，32)处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上点B处有一棵树，点B的横坐标为1，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．四、解答题（二）（本大题共3小题）19．（15分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE．（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的长．20．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．21．（5分）为美化市容，某广场用规格为10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．【观察思考】图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．【规律总结】（1）图5灰砖有块，白砖有块；图n灰砖有块，白砖有块；【问题解决】（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．五、解答题（三）（本大题共2小题）22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D．（1）若∠ECB＝120°，①求AB所对圆心角的度数；②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形．（2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积．23．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

2024-2025学年广东省汕头市潮南区陈店公办八校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案DDDACDBDAC一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；B选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；C选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；D选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；故选：D．2．（3分）下列事件属于必然事件的是（）A．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 C．抛1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D．任意画一个三角形，其内角和是180度【解答】解：根据事件发生的可能性大小判断如下：A、车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，不属于必然事件，不符合题意；B、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，不属于必然事件，不符合题意；C、抛1枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，不属于必然事件，不符合题意；D、任意画一个三角形，其内角和是180度是必然事件，符合题意．故选：D．3．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，6） B．（3，﹣6） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣3，6）【解答】解：根据两个点关于原点对称的性质得：点A（3，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，6），故选：D．4．（3分）二次函数y＝2x2+1的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（）A．y＝2（x+2）2﹣2 B．y＝2（x﹣2）2﹣2 C．y＝2（x+2）2+2 D．y＝2（x﹣2）2+2【解答】解：将二次函数y＝2x2+1的图象向下平移3个单位再向左平移2个单位得y＝2（x+2）2+1﹣3，即y＝2（x+2）2﹣2．故选：A．5．（3分）如图，△ABE绕点B顺时针旋转一定角度得到△CBD，点D刚好在AE的延长线上，若∠AEB＝130°，则旋转角的度数为（）A．50° B．65° C．80° D．95°【解答】解：如图，连接DE，∵点D刚好在AE的延长线上，∠AEB＝130°，∴∠BED＝50°，∵△ABE绕点B顺时针旋转一定角度得到△CBD，∴BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE＝50°，则∠DBE＝80°，故选：C．6．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC、BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝55°，则∠DBC的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．35°【解答】解：∵BD经过圆心O．∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BAC＝∠BDC＝55°，∴∠DBC＝90°﹣∠BDC＝35°，故选：D．7．（3分）若点（﹣1，4），（3，4）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，则此抛物线的对称轴是（）A．直线x=−ba B．直线x＝1 C．直线x＝3 D．直线【解答】解：∵两点的纵坐标都为4，∴此两点是一对对称点，∴对称轴x=x故选：B．8．（3分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3，下列结论错误的是（）A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为（2，﹣1） D．当x＜2时，y随x的增大而增大【解答】解：抛物线a＝1＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；由解析式得，对称轴为直线x＝2，因此B选项正确，不符合题意；由解析式得，当x＝2时，y取最小值，最小值为﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），因此C选项正确，不符合题意；因为抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，因此当x＜2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选：D．9．（3分）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M，⊙N的半径分别是1cm和10cm，当⊙M顺时针转动3周时，⊙N上的点P随之旋转n°，则n＝（）A．108 B．90 C．60 D．45【解答】解：根据题意，⊙M的周长为：2π×12＝2π，∴⊙M顺时针转动3周时，点P移动的弧长为：2π×3＝6π，∴根据弧长公式得，6π=nπ×10解得n＝108，所以n的值为108．故选：A．10．（3分）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）A．3 B．23 C．14 D．【解答】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，∵菱形的面积＝两条对角线积的一半，∴12ab＝11即ab∴由题意，得a+b=10ab=22∴菱形的边长==1=1=1=1=14故选：C．二、填空题（本大题共5小题）11．（3分）若点（1，y1），（2，y2）在抛物线y＝﹣x2上，则y1，y2的大小关系为：y1＞y2．【解答】解：根据解析式可知：抛物线的对称轴是y轴，开口向下，∴当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小．∵1＜2，∴y1＞y2．故答案为：＞．12．（3分）一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为23，则n的值为6【解答】解：∵一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），∴球的总数＝n+3，∵从中任意摸出一个球是红球的概率为23∴nn+3解得n＝6，检验，当n＝6时，原分式方程有意义，∴n＝6，故答案为：6．13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OM是⊙O的半径，OM垂直于弦AC，垂足为D．若AC＝12，BC＝5，则DM＝4．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵AC＝12，BC＝5，∴AB=1∴OM＝6.5，∵OM是⊙O的半径，OM垂直于弦AC，垂足为D，∴D是AC的中点，∵O是AB的中点，∴OD=12∴DM＝OM﹣OD＝6.5﹣2.5＝4．故答案为：4．14．（3分）如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，连接AC，EG，取AC，EG的中点M，N连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝52．【解答】解：连接BM、BN，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得AC＝10，∵M为AC中点，∴BM=12∵矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至EBGF的位置，∴BM＝BN，且∠MBN＝90°，∴MN=2BM＝52故答案为52．15．（3分）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为13π+23【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=60π×4∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=90π×42360−90π×2＝3π−83π=13π+2故答案为：13π+23三、解答题（一）（本大题共3小题）16．（10分）解方程：（1）（y﹣1）2﹣25＝0；（2）（2x+1）（x﹣3）＝﹣6．【解答】解：（1）移项得：（y﹣1）2＝25，∴y﹣1＝5或y﹣1＝﹣5，解得y1＝6，y2＝﹣4；（2）整理得：2x2﹣5x+3＝0，∴（2x﹣3）（x﹣1）＝0，∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x117．（10分）粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）．（1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是14（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中李强选到“A．肠粉”的结果有1种，∴李强选到“A．肠粉”的概率是14故答案为：14（2）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的结果有：（A，D），（D，A），共2种，∴李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率为21218．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点A(3，32)处．小球在空中所经过的路线是抛物线y＝﹣x2（1）求抛物线的解析式；（2）斜坡上点B处有一棵树，点B的横坐标为1，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．【解答】解：（1）由题意，∵点A（3，32）是抛物线y＝﹣x2+bx∴﹣32+3b=3∴b=7∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+72（2）由题意，过点B分别作x轴的垂线，垂足是点D，设直线OA的解析式为y＝kx，∴3k=3∴k=1∴直线OA的解析式为y=12∵点B的横坐标为1，∴点C的横坐标为1．将x＝1代入y＝﹣x2+72x，y=∴y＝﹣12+72×1=52，∴点C的坐标为（1，52），点B的坐标为（1，1∴BC＝CD﹣BD=5答：这棵树的高度是2．四、解答题（二）（本大题共3小题）19．（15分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE＝DE．（1）证明：DE是⊙O的切线；（2）若BO＝2，OC＝1，AC＝2BC，求AE的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图1，由题意可得：∠A+∠B＝90°，∵AE＝DE，∴∠A＝∠EDA，∴∠B+∠EDA＝90°；又∵∠B＝∠ODB，∴∠ODB+∠EDA＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE；∵OD是圆的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接OE，OD，∵OB＝2，OC＝1，∴BC＝3，∵AC＝2BC，∴AC＝6，设AE＝DE＝x，则CE＝6﹣x，∵∠OCE＝∠ODE＝90°，∴OC2+CE2＝OE2，OD2+DE2＝OE2，∴12+（6﹣x）2＝22+x2，∴x=11∴AE=1120．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【解答】解：（1）证明：∵Δ＝（8+k）2﹣4×8k＝（k﹣8）2，∵（k﹣8）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k＝0得x1＝k，x2＝8，①当腰长为5时，则k＝5，∴周长＝5+5+8＝18；②当底边为5时，∴x1＝x2，∴k＝8，∴周长＝8+8+5＝21．21．（5分）为美化市容，某广场用规格为10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．【观察思考】图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．【规律总结】（1）图5灰砖有25块，白砖有24块；图n灰砖有n2块，白砖有（4n+4）块；【问题解决】（2）是否存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形，请通过计算说明你的理由．【解答】解：（1）由所给图形可知，图1中灰砖的块数为：1＝12，白砖的块数为：8＝1×4+4；图2中灰砖的块数为：4＝22，白砖的块数为：12＝2×4+4；图3中灰砖的块数为：9＝32，白砖的块数为：16＝3×4+4；…，所以图n中灰砖的块数为n2块，白砖的块数为（4n+4）块．当n＝5时，n2＝25（块），4n+4＝24（块），即图5中灰砖的块数为25块，白砖的块数为24块．故答案为：25，24，n2，（4n+4）．（2）存在，理由如下：由题知，n2﹣（4n+4）＝56，解得n＝10或﹣6，因为n为正整数，所以n＝10，所以存在白砖数恰好比灰砖数少56的情形．五、解答题（三）（本大题共2小题）22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D．（1）若∠ECB＝120°，①求AB所对圆心角的度数；②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形．（2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积．【解答】（1）①解：∵∠ECB＝120°，∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝60°．∴AB所对圆心角的度数＝2∠ACB＝120°；②证明：∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，∴∠ECD＝∠BCD=12∠ECB∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DAB＝60°，∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD＝60°，∵∠ADB＝ACB＝60°，∴∠ADB＝∠DAB＝∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形；（2）解：连接DO并延长交AB于点H，连接OA，OB，如图，则∠AOB＝2∠ADB＝2×45°＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰直角三角形，∴OA＝OB=22AB∴OD＝OA=2∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，∴∠ECD＝∠BCD=12∠∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角，∴∠ABD＝∠ECD．∵∠DAB＝∠DCB，∴∠ABD＝∠DAB，∴DA＝DB，∴DA=∴DH⊥AB．∴AH＝DH＝1，∴OH=12∴DH＝OD+OH=2∴△ABD的面积=