专题强化01：三角恒等变换 解析版

专题强化01：三角恒等变换【题型归纳】题型一：两角和与差的余弦公式题型二：两角和与差的正弦公式题型三：两角和与差的正切公式题型四：二倍角公式的应用题型五：降幂公式题型六：辅助角公式题型七：已知角求三角函数值题型八：已经三角函数值求角题型九：已知三角函数值求函数值题型十：三角函数判断三角形形状问题题型十一：三角函数恒等式问题题型十二：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题【题型探究】题型一：两角和与差的余弦公式1．（24-25高一下·甘肃临夏）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对已知条件两边同时平方，再将所得式子相加，结合余弦差角公式进行化简计算.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故.故选：D.2．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知α，β为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值.【详解】∵为锐角，，∴，∴．又，∴.故选：B．3．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知都是锐角，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由都是锐角，利用平方关系求的值，再由，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】因为都是锐角，所以，又，所以，，又，所以.故选：A.题型二：两角和与差的正弦公式4．（24-25高一上·山西·期末）已知为锐角，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数关系和两角差的正弦公式求解即可.【详解】因为为锐角，所以，又，所以，所以，故选：A5．（24-25高一上·福建三明·期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由诱导公式有，利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】，故选：C.6．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】和分别平方相加，结合同角三角函数关系和正弦和角公式得到答案.【详解】两边平方得，①，两边平方得，②，式子①+②得，即，即，所以.故选：B题型三：两角和与差的正切公式7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】由，得，所以，又，所以，即，整理得，即，所以一个钝角一个锐角，所以，所以，所以.故选：C8．（24-25高一上·河北沧州·期末）已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可.【详解】因为，所以．因为，所以．因为，所以．所以，所以，则．故选：A.9．（2024·全国·模拟预测）则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由角的正弦值求得余弦值，利用余弦与正切的和角公式，可得答案.【详解】由，则，由，则，当时，，则，，；当时，，则，，.故选：D.题型四：二倍角公式的应用10．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知，则.【答案】【分析】由二倍角公式，然后构造齐次式，由的值求得结果.【详解】.故答案为：.11．（24-25高一上·江苏无锡·期末）若，且，则.【答案】【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可.【详解】由可得，因为，所以，所以，解得，所以由，解得，所以，故答案为：12．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知，则.【答案】/【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解.【详解】，.故答案为：.题型五：降幂公式13．（21-22高三下·山西）已知，，则．【答案】/【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.【详解】解：由，，得，所以．故答案为：14．（21-22高一·全国·课后作业）已知sin＝，则．【答案】【分析】结合诱导公式、降次公式求得正确答案.【详解】，.故答案为：15．（24-25高一下·上海杨浦·开学考试）代数式可化为的形式，此时.【答案】【分析】利用辅助角公式来求得正确答案.【详解】，所以.故答案为：题型六：辅助角公式16．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数在上的最大值为，则.【答案】1【分析】利用三角恒等变换得到，数形结合得到，从而得到方程，求出答案.【详解】，时，，，故，故，解得.故答案为：117．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数，当时，的值域为．【答案】【分析】先利用辅助角公式得，然后利用换元法结合正弦函数的性质得，即可求解.【详解】，若，则，则，所以，即的值域为．故答案为：18．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知锐角，满足，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用平方关系求出，，可得，代入运算得解；（2）由（1）求出得解.【详解】（1）由为锐角，，可得.又由、为锐角、有，又由，有.有.（2）由，又由，可得.题型七：已知角求三角函数值19．（2024·安徽·模拟预测）（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：D.20．（20-21高一下·全国·课后作业）cos255°的值是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式化简可得，然后根据两角和的余弦公式，即可得出答案.【详解】因为.故选：C.21．（21-22高一上·广东茂名·期末）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.【详解】原式.故选：A题型八：已经三角函数值求角22．（24-25高一下·广西来宾·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将平方求出，结合平方关系求出，即可求得，利用两角和的正弦公式，即可求得答案.【详解】已知，则，所以，联立，结合，解得，则，故.故选：D.23．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案.【详解】因为，则，且，可得，所以.故选：A.24．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用同角三角函数的平方关系及题中角度范围，求出和的值，再利用整体思想，将转化为，用余弦的和角公式展开求值即可.【详解】，，，又，，，，，，，，则，故选：C．题型九：已知三角函数值求函数值25．（24-25高一上·全国）若，，并且均为锐角，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.【详解】由，可得，又，所以，因为，，所以，所以，又因为，所以.故选：C26．（24-25高三上·河北·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解.【详解】由，得，所以，又，所以，所以，又，所以，所以.故选：D.27．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值.【详解】因，所以，又，根据，得，同时也能确定.因为，，，所以..将转化为.所以因为，，所以.在这个区间内，时，.故选：C.题型十：三角函数判断三角形形状问题28．（24-25高一下·上海徐汇）在中，若，则一定是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.【详解】由,所以：.因为为三角形内角，所以.所以为等腰三角形.故选：A29．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，已知，则的形状为（

）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用两角和差的正弦公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.【详解】由，则，所以，所以，所以或，因为，，所以或，所以的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：A.30．（21-22高一下·陕西渭南·期中）在中，已知，则的形状为（

）A．正三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用三角形内角和，诱导公式，二倍角公式化简计算，分析即得结论.【详解】因,故，，则，即，整理得，，因，故，故是直角三角形.故选：C.题型十一：三角函数恒等式问题31．（22-23高三上·四川广安·阶段练习）在中，下列等式错误的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】对A：由平方差公式分析判断；对B、C、D：根据三角恒等变换结合三角形中角的关系分析判断.【详解】对于选项A：由平方差公式可知，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：因为，即，所以，故C正确；对于选项D：因为，则所以，故D错误；故选：D.32．（22-23高一·全国·随堂练习）求证：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解(3)证明见详解(4)证明见详解【分析】（1）左边直接使用和差公式化简，右边用二倍角公式展开，然后化简可证；（2）对左边先用余弦二倍角公式，然后再使用正弦二倍角公式化简即可证明；（3）对左边配方后，使用平方关系式和正弦二倍角公式化简即可得证；（4）对左边使用和差公式展开，然后通分化简，再由正切二倍角公式可证.【详解】（1）因为左边，右边，所以左边=右边，原等式成立.（2）因为左边右边，所以，原等式成立.（3）因为左边右边，所以，原等式成立.（4）因为左边右边，所以，原等式成立.33．（20-21高一下·陕西榆林·阶段练习）化简计算与证明．（1）已知角是第二象限角，且，求的值；（2）化简：；（3）已知，证明：．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【分析】（1）由商数关系求，应用诱导公式化简目标式，并求值即可.（2）利用同角三角函数商数关系、辅助角公式、诱导公式化简求值.（3）利用同角三角函数关系、二倍角正余弦公式、辅助角公式，以及对数的运算性质证明恒等式.【详解】（1）由，则，.（2）原式.（3）左边，得证.题型十二：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题34．（24-25高一下·湖南常德）已知(1)若，且，求的值；(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简函数的解析式，根据可得，利用，可求的值.（2）先根据函数图象的变换确定的解析式，再结合正弦函数图象解不等式.【详解】（1）因为所以即因为所以故，所以（2）将的图象上所有的点向右平移个单位得到的图象，再将的图象向下平移1个单位得到的图象，最后将的图象上所有点的纵坐标变为原来的横坐标不变，得到的图象，即，由，即，得，解得令可得，令可得，又所以，即当时，不等式的解集为.35．（24-25高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)若，求函数的值域；(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间；（2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；（3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解.【详解】（1），令，，解得，，故函数的单调递增区间为.（2）由，得，则，所以在区间上的值域为.（3）由，得，又，即的两个解为，且，则，即，即，则，所以.36．（24-25高一下·云南昆明·开学考试）已知函数．(1)求函数的最小正周期及函数图象的对称轴；(2)若函数在上不单调，求的取值范围；(3)若，，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，

对称轴;(2);(3).【分析】（1）利用三角函数诱导公式和二倍角公式、两角和正弦公式化简，再求周期和对称轴；（2）利用区间里面一定有，所以去分析函数的单调递增区间中也有0，从而利用不单调来判断区间端点的取值范围；（3）利用三角函数在区间的值域，结合任意变量都满足不等式恒成立，可得，从而可得参数范围.【详解】（1）函数,所以函数的最小正周期，由，所以函数图象的对称轴为；（2）由，可得函数在区间上单调递增，由于区间里面一定有，而，所以函数在上不单调的等价条件是，即满足或，解得：，故的取值范围；（3）当时，，则，所以函数的值域为，再由，，都有恒成立，则有，即，故实数的取值范围．【专题强化】一、单选题37．（24-25高一上·河南漯河·期末）在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出点,利用倍角公式可求答案.【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以；因为角的终边过点，所以，所以.故选：C38．（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】.故选：D.39．（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】因为，则.故选：B.40．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知，且，则A． B．C． D．【答案】D【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC.【详解】，则，则，整理得到.因此.故B错误，D正确.，则，.则.且.解得.同理得，则，因此得，则.故AC错误.故选：D.41．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解.【详解】，因为，即，，解得，又，，所以.故选：A．42．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，结合余弦二倍角公式即可求解；【详解】因为，所以，故选：D.43．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正余弦公式可得，进而利用两角和的余弦与正弦公式可求得，进而可求得.【详解】先由，得到，即，所以，即，所以，，，得.44．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用诱导公式化简，后结合和角差角公式和二倍角公式计算即可.【详解】因，解得，故选：B.45．（24-25高一上·山西·期末）已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在上的值域和题设条件，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围.【详解】因为，当时，，故．因为，在上的值域均为，故区间长度必须大于一个周期，即，解得．故选：A.二、多选题46．（24-25高一上·云南保山·期末）下列判断正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【分析】利用同角的正余弦的平方关系求解可判断A；利用两角和的正切公式计算可判断B；利用诱导公式计算可判断CD.【详解】因为，所以的终边在一，二象限，当的终边在一象限时，，当的终边在二象限时，，故A错误；由，可得，所以，解得，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：BD.47．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】对于A，利用诱导公式化简判断；对于B，利用诱导公式化成同角，再逆用二倍角公式即可判断；对于C，用诱导公式即可判断；对于D，将化成后，必须通过同角的三角基本关系式化成正弦和余弦,代值即可判断.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD.48．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的最大值为2C．的单调递增区间是D．不等式的解集是【答案】ACD【分析】由，然后逐项判断.【详解】由题意可得，则的最小正周期为，故A正确．因为，所以的最大值为1，故B错误．令，解得，则的单调递增区间是，故C正确．，即，则，解得，即不等式的解集是，故D正确．故选：ACD49．（24-25高一上·广东汕头·期末）下列化简正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确.【详解】对于A，易知，可得A错误；对于B，易知，即B正确；对于C，易知，即可得C错误；对于D，，可得D正确.故选：BD50．（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（）A．= B．=C． D．=【答案】BD【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案.【详解】A.，选项A错误.B.，选项B正确.C.，选项C错误.D.，选项D正确.故选：BD.51．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．不等式的解集为C．在区间上单调递减D．为了得到函数的图象，只要把函数曲线上所有的点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度【答案】AB【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图象性质及函数变换逐项判断.【详解】函数，对于A，的最小正周期为，A正确；对于B，，则，解得，B正确；对于C，当时，，而正弦函数在上不单调，因此在上不单调，C错误；对于D，平移后的解析式为，D错误.故选：AB三、填空题52．（24-25高一上·湖南邵阳·期末）求值：．【答案】1【分析】由，切化弦，再由辅助角公式即可化简求值；【详解】．故答案为：153．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则.【答案】7.【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解.【详解】已知，则，即，则，则，则.故答案为：7.54．（24-25高一上·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则．【答案】【分析】利用三角函数的定义可求出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，由两角和的正切公式可得.故答案为：.55．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，．若，，则的值是．【答案】/【分析】先结合的范围求出.再根据已知条件求出，再利用二倍角公式求出和，然后利用两角差公式求出，最后根据、的范围确定的值.【详解】因为，所以.已知，.由两角和公式.可得.

因为，则.已知，可.，.又因为，，所以，..可得.因为，，则,所以，又，所以.

故答案为：.四、解答题56．（24-25高一上·河南漯河·期末）（1）已知，求的值；（2）化简：.【答案】（1）；（2）-1【分析】（1）通过联立方程组求解的值，再结合角的范围确定，进而求出和；（2）先对原式进行切化弦化简，利用三角函数差角公式逐步变形，最终得出结果.【详解】（1）由可得.解得或，由，故.所以.于是.（2）原式.57．（24-25高一上·广东广州·期末）已知，且．(1)求，的值；(2)求的值；(3