10.3 几个三角恒等式 解析版

10.3几个三角恒等式【考点梳理】考点一：降幂公式的化简求值问题 考点二：辅助角公式的应用考点三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题考点四：三角恒等式变换判断三角形的形状考点五：三角恒等式变换中证明考点六：三角恒等式的实际应用考点七：三角函数的化简问题【知识点梳理】知识点一半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).知识点二辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【题型归纳】题型一：降幂公式的化简求值问题1．（21-22高一下·江苏镇江·期中）的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用降幂公式求解【详解】.故选：D.2．（21-22高三·云南昆明）已知，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解.【详解】由，得，即，，所以，.故选：D．3．（22-23高一下·全国·单元测试）已知，求的值．【答案】.【分析】利用降幂公式先化简，再结合齐次式求解答案.【详解】因为，所以.题型二：辅助角公式的应用4．（24-25高一上·上海·期末）方程在上的解为.【答案】【分析】先利用辅助角公式化简，结合范围求解可得答案.【详解】因为，所以，所以,即，因为，所以.故答案为：5．（23-24高一下·江苏淮安·期中）函数在区间上的最大值为．【答案】6【分析】利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值.【详解】函数，当时，，则当，即时，.故答案为：66．（23-24高一下·四川成都·期中）函数的最大值为．【答案】/【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】，当即即时，取得最大值，且最大值为.故答案为：题型三：三角恒等式变换中的（给角求值、给值求值、给值求角）问题7．（2023·重庆·模拟预测）式子化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.【详解】原式.故选：B.8．（2024·云南大理·一模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根据辅助角公式化简并求解的值，然后根据余弦二倍角公式求解的值，最后利用诱导公式求解的值即可.【详解】由于，可得：，即，又由于，.故选：B.9．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等变换的应用可得，结合两角和的正切公式计算即可求解.【详解】由，得，所以，又，所以，即，整理得，即，所以一个钝角一个锐角，所以，所以，所以.故选：C题型四：三角恒等式变换判断三角形的形状10．（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，已知，则的形状为（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．等腰三角形 D．没有符合条件的三角形【答案】C【分析】根据三角变换可得，故可得正确的选项.【详解】因为，故，故，故，而，故即，故三角形为等腰三角形，故选：C.11．（21-22高一·全国·课后作业）在△ABC中，若，则△ABC是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据已知，诱导公式与和、差角的余弦公式化简得到，从而得到，进而即可得出结论．【详解】在△ABC中，由，得，则，所以，即，则，又，，则，所以，即，所以△ABC为等腰三角形，但无法判断C是不是直角．故选：A．12．（21-22高一下·上海奉贤·期中）在中，若，则此三角形为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】A【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状.【详解】因为，所以，，又所以，即.故选：A.题型五：三角恒等式变换中证明13．（23-24高一下·四川凉山·期末）（1）①借助两角和差公式证明：.②在中，求证:.

（2）若，，求的值.【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）【分析】（1）①由，，再结合余弦的和差公式即可得证；②由题意得，由（1）的结论和二倍角公式化简得，再用和差化积公式计算得，结合即可证明；（2）同理①可计算得，由题意得，，两式相除可得，再运用化弦为切得即可求解.【详解】（1）①，，即.②在中，，则，即，结合①结论，又，，又，即.（2）同①有，又，，①，②，②①式得，即.14．（2024高一下·上海·专题练习）（1）证明：；（2）化简：．【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用同角三角函数关系和逆用余弦差角公式化简得到答案；（2）利用诱导公式和正弦和差公式化简得到答案.【详解】（1）证明：左边右边，得证；（2）原式．15．（22-23高一下·江苏徐州·期中）求证下列恒等式：(1)；(2)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先通分，利用正切的二倍角公式化简即可；（2）先将正切化弦，通分得到原式，再用辅助角公式，最后利用二倍角公式，即可证明.【详解】（1）.（2）左边,原式得证.题型六：三角恒等式的实际应用16．（22-23高一下·四川达州·期中）如图所示，已知OPQ是半径为2，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．

【答案】当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．【分析】根据锐角三角函数定义，结合矩形的面积公式、辅助角公式、正弦型函数的最值进行求解即可.【详解】解：在中，，，，在中，，∴，∴，设矩形ABCD的面积为S，则，由，得，所以当，即时，，因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．17．（22-23高一下·贵州遵义·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后?【答案】(1)，(2)分钟(3)能，是在甲进入的分钟后【分析】（1）根据最高点和最低点可得与，由周期求值，由结合的取值范围可得出的值，即可得函数的解析式；（2）令，结合可求得游客甲坐上摩天轮后距离地面的高度第一次恰好达到米所需时间；（3）求出经过分钟后甲距离地面的高度为，以及乙距离地面的高度为，，化简的表达式，结合可求得满足时的取值范围，即可得出结论.【详解】（1）解：由题意，（其中，，），摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，，得，，

又函数周期为分钟，所以，，

又，所以，因为，则，所以，．（2）解：，所以，得，因为，则，当游客甲坐上摩天轮后，距离地面的高度第一次恰好达到米，则有，解得（分钟），因此，游客甲坐上摩天轮后分钟，距离地面的高度第一次恰好达到米.（3）解：经过分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，，

则，因为，则，由可得，所以，，解得，因此，在甲进入后的分钟后，游客乙进入座舱后距离底面的高度能超过游客甲.18．（22-23高一下·上海青浦）已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点.ABCD是扇形的内接矩形，记，矩形的面积为.(1)当时，求矩形的面积的值.(2)求关于角的解析式，并求的最大值.【答案】(1)(2)；时，.【分析】（1）根据直角三角形得出，，可得关于角的解析式，代入求值；（2）根据三角函数的性质即可求出的最大值.【详解】（1）在中，，，在中，，∴，∴，∴.当时，.（2）由（1）知由得，所以当，即时，.题型七：三角函数的化简问题19．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由恒等变换公式将函数的解析式化简，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦型函数的性质，化简不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）.令.解得.所以函数的单调递增区间为.（2）由，得.所以.解得.所以不等式的解集为：.20．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数．(1)求的最小正周期和单调递减区间；(2)当时，求的最小值以及取得最小值时的集合．【答案】(1)，；(2)，.【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再求出最小正周期及单调递减区间.（2）求出相位的范围，确定最小值点，求出最小值及对应值集合.【详解】（1）函数，所以的最小正周期；由，得，所以的单调递减区间是.（2）当时，，则当，即时，取得最小值，所以的最小值为，取得最小值时的集合为.21．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)求关于的不等式的解集.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)【分析】（1）利用诱导公式及三角函数恒等变换可得，然后根据三角函数的性质即得；（2）根据余弦函数的图象和性质即得.【详解】（1）因为.令，得，令，得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，得，所以，解得，所以不等式的解集是.【高分演练】一、单选题22．（24-25高一上·陕西西安·期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解.【详解】，故选：B23．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案【详解】由，得，即，则，故．故选：A.24．（24-25高一上·广东深圳·期末）欢乐港湾摩天轮——“湾区之光”是深圳的一处标志性景点．已知某摩天轮最高点距离地面高度为128米，转盘直径为120米，等距设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周大约需要30min，若甲、乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲、乙两人座舱高度差的最大值为（

）．A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】先求出甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角，建立平面直角坐标系，则两人高度差，结合，得到答案.【详解】甲乙两人的座舱所连的弧所对应的圆心角为，则，以摩天轮中心为原点建立坐标系，设某一时刻甲座舱位于处，乙座舱位于处，则两人高度差，其中，故米.故选：B．25．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知角满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用积化和差公式得到，代入求值即可.【详解】，由积化和差得，即，故，解得.故选：C26．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式化简，再利用诱导公式和二倍角公式转化求值即可.【详解】由题意，得：，即．故．故选：A.27．（24-25高一上·全国·课后作业）以表示的结果为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将转化为，根据万能公式和计算.【详解】．故选：D.28．（2024高三·全国·专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两角和的正弦公式及辅助角公式得到，再结合二倍角公式、诱导公式即可求解.【详解】由得，所以．又，故．故选：B二、多选题29．（24-25高一上·广东广州·期末）下列化简中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据辅助角公式即可求解AB，根据二倍角公式可求解C，根据正切的和角公式求解D.【详解】对于A，，A正确，对于B，，故B错误，对于C，，C正确，对于D，，故D正确，故选：ACD30．（24-25高一上·江西景德镇·期末）化简下式，正确的是（）A．= B．=C． D．=【答案】BD【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案.【详解】A.，选项A错误.B.，选项B正确.C.，选项C错误.D.，选项D正确.故选：BD.31．（24-25高一上·广东揭阳·期末）已知函数，则下列命题错误的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．的最小正周期为，且在上为增函数D．的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象【答案】ABD【分析】根据辅助角公式化简，即可代入验证AB，根据整体法，结合正弦函数的单调性即可求解C，根据函数图象的平移即可求解D.【详解】由可得，对于A，，故的图象不关于直线对称，A错误，对于B,，故的图象不关于点对称，故B错误，对于C，的最小正周期为，当时，，故在上为增函数，C正确，对于D,将的图象向右平移个单位得到，由于不是偶函数，故D错误，故选：ABD32．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，且，则以下正确的有（

）A． B．值域为C．在上单调递增 D．【答案】BC【分析】先化简得到，再结合正弦型函数的性质逐个判断即可；【详解】所以，A错误；函数的值域为，B正确；当，可得，故在上单调递增，C正确；由，可得，所以，所以，D错误，故选：BC33．（24-25高一上·福建莆田·期末）下列四个等式中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AB【分析】对A，，利用两角和的正切公式化简求解；对B，利用二倍角正弦公式，再转化为齐次式弦化切求解；对C，利用二倍角余弦公式求解；对D，通分，再利用两角差的正弦公式化简.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，故D错误.故选：AB.34．（24-25高一上·吉林长春·期末）如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧PQ上的动点，矩形内接于扇形，记．则下列说法正确的是（

）A．弧PQ的长为B．扇形OPQ的面积为C．当时，矩形的面积为D．矩形的面积的最大值为【答案】AD【分析】根据弧长公式可判断A；根据扇形的面积公式可判断B；解直角三角形求得的长，即可求出矩形的面积的表达式，结合三角函数的恒等变换化简求值，可判断C，D.【详解】由题意知，在扇形OPQ中，半径，圆心角，故弧PQ的长为，A正确；扇形OPQ的面积为，B错误；在中，，在中，，则的面积，当时，又，故，则，则，则，即矩形的面积为，C错误；由分析可知矩形的面积，当，即时，矩形的面积取最大值，D正确，故选：AD【点睛】关键点睛：解答本题的关键C，D选项的判断，解答时要结合解直角三角形，表示出边的长，从而表示出矩形的面积，再结合三角函数的恒等变换，即可判断这两个选项的正误.三、填空题35．（24-25高一上·陕西榆林·期末）.【答案】【分析】根据给定条件，利用二倍角的正余弦公式及辅助角公式化简即得.【详解】.故答案为：36．（23-24高一下·全国·课后作业）的值是..【答案】/0.25【分析】综合运用两角和的余弦公式、辅助角公式、降幂的余弦公式结合诱导公式进行化简即可求值.【详解】原式.故答案为：37．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的最大值为.【答案】【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解.【详解】由当时，即所以的最大值为：故答案为：38．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且，则．【答案】【分析】先利用诱导公式和二倍角的正弦公式化简已知，再根据结合两角差的余弦公式即可得解.【详解】因为，所以，由得，则，又，且，所以．故答案为：.39．（24-25高三上·天津南开·阶段练习）已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是；最小值是．

【答案】【分析】构建直角坐标系且，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值，应用数量积的坐标表示及三角恒等变换及三角函数的性质求的最小值.【详解】由题设，构建如下图示的直角坐标系，且，若，则，，，，由，得，即，，解得，故，所以，当时，，

所以时，取得最小值是.故答案为：，【点睛】关键点点睛：根据题设构建合适坐标系，应用坐标法及三角恒等变换、三角函数的性质求对应表达式的最值.四、解答题40．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)当时，若的最大值为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可得出函数的最大值，即可求出实数的值.【详解】（1）.所以，函数的最小正周期为.（2）当时，，故当时，函数的最大值为，解得.41．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，(1)求的最小正周期和单调递增区间；(2)解不等式；(3)若为锐角，且，求的值．【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为；(2)(3)【分析】（1）利用辅助角公式得到，根据求出最小正周期，整体法求出单调递增区间；（2）在（1）基础上，得到不等式，数形结合得到解集；（3）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和角的范围求出，凑角法，结合余弦差角公式求出答案.【详解】（1），故的最小正周期，令，解得，故的单调递增区间为；（2）由（1）知，，即，故，解得，所以的解集为；（3）由（1）得，即，因为为锐角，所以，故，当时，，而，故，所以，则，.42．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记(1)当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积.(2)若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围.【答案】(1)，最大值为(平方千米)；(2)万元【分析】(1)三角函数相关知识，利用角来表示矩形边长，进而表示出面积和角的函数关系式，求函数最值即可；(2)由题意可求得建造总费用，利用换元法及二次函数的性质求解即可．【详解】（1）由题意可得，其中，在中，，则所以因为，所以，所以当，即时，矩形的面积取最大值，所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)；（2）由(1)可知，则，设建造总费用为y万元，则令，因为，所以，所以，则，所以所以建造总费用的范围为万元．43．（24-