重难点11 轻松搞定立体几何的轨迹问题 （三大题型）（原卷版）

重难点专题11轻松搞定立体几何的轨迹问题【题型归纳目录】题型一：轨迹图形题型二：轨迹长度题型三：轨迹面积【典型例题】题型一：轨迹图形【例1】（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱，，点是侧棱上的动点，且，为线段上的动点，直线平面，则点的轨迹为（

）

A．三角形（含内部） B．矩形（含内部）C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分【变式1-1】（2024·高二·湖北黄冈·期末）如图所示，为正三角形，四边形为正方形，平面平面.为平面内的一动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（为正方形的中心）

A．

B．

C．

D．

【例2】（2024·高一·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，是的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持．则动点的轨迹与△组成的相关图形最有可有是图中的()A． B．C． D．题型二：轨迹长度【例3】（2025·高二·重庆黔江·阶段练习）已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2025·高一·贵州黔西·期末）如图，在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中错误的是（

）A．平面截正方体所得截面为等腰梯形B．若∥平面，则直线CQ不可能垂直于直线C．若，则点Q的轨迹长度为D．三棱锥的外接球的半径为【变式3-2】（2025·高二·四川乐山·期末）已知正方体棱长为1，点是正方体表面上一个动点，满足，则点的轨迹长度为（

）A．2 B． C．4 D．【变式3-3】（多选题）（2025·高一·辽宁·期末）如图，已知正三棱台由一个平面截棱长为6的正四面体所得，分别是的中点，P是棱台的侧面上的动点（包含边界），则下列结论中正确的是（

）A．该三棱台的体积为B．平面平面C．直线与平面所成角的正切值的最小值为D．若，则点的轨迹的长度为题型三：轨迹面积【例4】（2025·高一·福建泉州·期中）已知正方体棱长为，点在正方体内部运动（包括表面），且平面，则动点的轨迹所形成区域的面积为．【变式4-1】（2024·高一·浙江杭州·期末）如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点M在棱上运动，点N在正方体的底面内运动，则的中点P的轨迹的面积是（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2025·高一·江苏常州·期末）如图，在长方体中，，，，点P是长方体表面上的动点，若，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（）A． B． C． D．

【过关测试】1．（2025·高一·重庆·期末）已知正方体的棱长为4，点是棱的中点，为四边形内（包括边界）的一动点，且满足平面，的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2．（多选题）（2025·高一·广东广州·阶段练习）已知正方体中，以下结论正确的有（

）A．点在直线上运动时，三棱锥的体积不变B．点在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变C．点在直线上运动时，二面角的大小不变D．是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是过点的直线3．（多选题）（2025·高一·山东聊城·期末）在长方体中，，点M，N分别在侧棱和底面ABCD上运动，且，则（

）A．直线BM与直线所成角的范围为B．存在直线MN，使MN∥平面C．设点P为线段MN的中点，则点P的轨迹与侧面的交线长度为D．设点P为线段MN的中点，则三棱锥的体积的最小值为4．（多选题）（2025·高一·黑龙江黑河·期末）如图，在正三棱台中，，棱的中点分别为，点在侧面内运动（包含边界），且，则下列结论正确的是（

）A．平面B．正三棱台的体积为C．与平面所成角的正切值为D．动点形成的轨迹长度为5．（多选题）（2025·高一·云南曲靖·期末）在棱长为2的正方体中，点是正方形内一动点（包括边界），则（

）A．平面B．若，则点的轨迹长度为C．若平面，则点的轨迹长度是D．当点在直线上运动时，的最小值是6．（多选题）（2025·高一·湖北武汉·期末）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（

）A．三棱锥的外接球表面积为B．动点F的轨迹的线段为C．三棱锥的体积为D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为7．（多选题）（2025·高一·江苏盐城·期末）如图，在直棱柱中，底面是边长为2的菱形，，，点为的中点，动点在侧面内（包含边界），则下列结论正确的是（

）A．B．若点在线段上，则四面体的体积为定值C．若，则点轨迹的长度为D．若点在直线上，则的最小值为8．（多选题）（2025·高一·吉林·期中）如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（

）A．若平面，则点P的轨迹长度为B．若平面，则三棱锥的体积为定值C．若，则点P的轨迹长度为D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是9．（多选题）（2025·高一·海南海口·期中）在正四棱台中，，，点P在四边形ABCD内，且正四棱台的各个顶点均在球Q的表面上，，则（

）A．该正四棱台的高为3B．该正四棱台的侧面面积是C．球心Q到正四棱台底面ABCD的距离为D．动点P的轨迹长度是10．（多选题）（2025·高一·陕西西安·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点为平面上一动点，则（

）A．三棱锥的体积为定值B．当点在棱上，的最小值为C．当点在正方形内，若与平面所成的角为45°，则点的轨迹长度为D．当点在棱（不含顶点）上，平面截此正方体所得的截面为梯形11．（多选题）（2025·高一·重庆·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为正方体的中心，为的中点，为侧面正方形内一动点，且满足∥平面，则（

）A．三棱锥的外接球表面积为B．动点的轨迹是一条线段C．三棱锥的体积是随点的运动而变化的D．若过A，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为12．（多选题）（2025·高一·江苏南京·期末）如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（

）

A．B．与平面所成角的正弦值为C．存在点使得⊥平面D．若平面，则点的轨迹长度为13．（多选题）（2025·高一·广东广州·期末）如图,在棱长为2的正方体中，为的中点，则下列说法中正确的是（

）A．若点为的中点，则平面B．连接，则直线与平面成角正弦值为C．若点为线段上的动点（包含端点），则的最小值为D．若点在侧面正方形内（包含边界），且，则点的轨迹长度为14．（多选题）（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（

）A．平面B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是C．点到平面的距离为D．若平面，则点的轨迹长度为15．（多选题）（2025·高一·安徽铜陵·期末）如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（

）A．点四点共面B．几何体的外接球的体积为C．满足平面的点的轨迹长度为D．的最小值为16．（多选题）（2025·高二·江西·期末）在棱长为1的正方体中，P为棱的中点，Q为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．若面，则Q的轨迹是一条线段B．三棱锥的体积为C．平面与的夹角的正弦值的取值范围为D．若，则Q的轨迹长度为17．（多选题）（2025·高一·江苏南京·阶段练习）已知四面体的各个面均为全等的等腰三角形，且.设E为空间内任一点，且A，B，C，D，E五点在同一个球面上，则（

）A．四面体的表面积为B．四面体的体积为C．当时，点E的轨迹长度为D．当三棱锥的体积为时，点的轨迹长度为18．（多选题）（2025·高一·吉林·期中）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，点P在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（

）A．若，则点P的轨迹长为B．在线段上存在点P，使得直线PM与直线为异面直线C．若P为线段的中点，则三棱锥与三棱锥体积相等D．过点P可以作4条直线与，AC均成角19．（多选题）（2025·高一·浙江丽水·期中）已知正方体的棱长为2，点P是的中点，点M是正方体内（含表面）的动点，且满足，下列选项正确的是（

）A．动点M在侧面内轨迹的长度是B．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是2C．直线与所成的角为，则的最小值是D．存在某个位置M，使得直线与平面所成的角为20．（多选题）（2025·高一·山东滨州·期末）在棱长为2的正方体中，M，N，Q分别是，，的中点，P为四边形（含边界）内一动点，且．则下列结论正确的是（

）A．直线AM与直线是异面直线 B．三棱锥的体积为C．点P的轨迹长度为 D．直线平面21．（多选题）（2025·高一·重庆·期末）在棱长为的正方体中，已知分别为线段，的中点，点满足，，，则（

）A．当时，三棱锥的体积为B．当时，四棱锥外接球半径为C．周长的最小值为D．若，则点的轨迹长为22．（多选题）（2025·高一·重庆·期末）如图，在棱长为2的正方体中，点M为线段上的动点，O为正方体内一点，则以下命题正确的是（

）A．取得最小值B．当M为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形C．四面体ABMD的外接球的表面积为5π时，D．若，则点O的轨迹长为23．（多选题）（2025·高一·吉林长春·期末）如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕BD旋转，使得点A，C分别旋转至点M，N处，且M，B，D，E四点共面，点M，E分别位于BD两侧，则（

）A． B．C．MC的长度为 D．点C与点A旋转运动的轨迹长度之比为24．（多选题）（2025·高一·内蒙古赤峰·期末）如图，在正三棱柱中，分别为的中点则下列说法正确的是（

）A．四点共面B．与所成角的余弦值为C．正三棱柱的外接球表面积为D．点在四边形内及其边界上运动，若平面，则动点的轨迹长度为25．（多选题）（2025·高一·福建莆田·期中）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点(包括边界)，且平面，则下列说法正确的是（

）A．记的中点为上存在一点，使得平面平面B．动点轨迹的长度为C．三棱锥体积的最小值为1D．的最小值为26．（多选题）（2025·高一·吉林长春·期末）如图，已知正方体的棱长为1，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的体积为定值B．存在点，使平面C．若，则的轨迹长度为D．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为27．（2025·高一·福建厦门·期中）如图