立体几何-柱体中的动点轨迹专项训练解析版

立体几何——柱体中的动点轨迹专项训练解析版一、目录二、专项训练（一）、正方体中的动点轨迹专项训练1．在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（

）A．椭圆的一部分 B．线段C．圆的一部分 D．抛物线的一部分【答案】D【详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、，设点，，，，化简得，所以，动点的轨迹方程为抛物线的一部分.故选：D.2．已知点是棱长为2的正方体的底面上一个动点（含边界），若是的中点，且满足平面，则（）A．所在的平面与正方体表面的交线为五边形B．所在的平面与正方体表面的交线为六边形C．长度的最大值是2D．长度的最小值是【答案】B【详解】如图，

因为满足平面，则所在的平面与正方体表面的交线，上下平面交线平行于，前后平面交线平行于，左右平面交线平行于，所以所在的平面与正方体表面的交线为如图所示正六边形，故A错误，B正确；以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

其中，分别是的中点，则直线的方程为因为满足平面，则在所以设线段上的点，点，则，所以当时，；当时，．故C，D错误．故选：B．3．在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（

）A．拋物线的一部分B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．以上都不对【答案】B【详解】如图建系，设正方体边长为，则，可得，又因为，所以，化简得，即得，动点的轨迹为椭圆的一部分.故选：B.4．（多选）在棱长为2的正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（

）A．B．点的轨迹是双曲线C．的最小值为4D．直线与平面所成角的最小值为【答案】ABD【详解】对于A项，连接，在正方体中，，由且平面，所以平面，又因为平面，故，故A正确.对于B项，与所成角是，所以与所成角是，M在以为轴的圆锥的表面上，平面，平面截圆锥的图形为双曲线，故B正确；对于C项，把往上翻折到与平面共面，又因为，即往上翻折成，即在四边形中求，所以可得最小值为，故C不正确；对于D项，连接，再连接，在正方体，易得平面，所以即为直线与平面所成角，在中，，当点与点重合时最大，最大值为，直线与平面所成角的正切的最小值为，所以直线与平面所成角的最小值为，所以D正确.故选：ABD5．（多选）已知直棱柱的所有棱长均为，，动点满足，则下列说法正确的是（

）A．B．若直线与直线所成角为定值，则点轨迹为圆的一部分C．当时，三棱锥的外接球的体积为D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为【答案】ACD【详解】对于选项A：因为，所以点M在平面内，因为底面为菱形，所以,又因为直棱柱，所以,又因为平面,平面，所以平面，又平面，所以，故A正确；对于选项C，当时，点M在体对角线交点处，故点M在与底面垂直且到底面距离为1，因为,所以的外接圆半径为，设外接球半径为，球心到平面的距离为h，则,即，两式联立得，故外接球体积为，故C正确；对于选项D，当时，则三点共线，即点M在线段上，如图建立空间直角坐标系，则,,则，故,则,又得，,故，当且仅当时，，故D正确；对于选项B，，，，，由（1）可知，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，设，由于是直线与平面内所有直线中所成角的最小值，所以，，由，化简可得，且，易知点为平面内的一点，当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；当时，则，此时，点的轨迹为平面内的一条线段；当时，化简可得或，此时，点的轨迹为平面内的两条线段，故B错误.故选：ACD.6．（多选）棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列结论正确的是（

）A．动点的轨迹的长度为B．的最小值为C．三棱锥体积的最小值为D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为【答案】ABD【详解】对于A，取的中点，连接，所以，又易证，所以，又平面，平面，所以平面，又因为为棱的中点，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A正确；对于B，又易得，所以为的中点时，，此时，所以的最小值为，故B正确；对于C，，其中为到的距离，所以最小时，最小，显然在点处时，最小，此时，故C错误；因为是直角三角形，所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，设外接球的球心为，由，可得，所以，解得，解得，所以外接球的表面积为，故D正确》故选：ABD.7．（多选）已知正方体的棱长为3，在棱上，且满足，动点在内（包括边界）移动，动点在正方体内（包括边界）移动，且，则（

）A．的最小值为B．动点在面内运动轨迹的长度为C．动点的轨迹与动点的轨迹的交线是椭圆的一部分D．在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4【答案】BD【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，设关于平面的对称点为，则，所以，解得，所以，又点，点到平面的距离相等，所以，所以，解得或（舍去），所以，所以，故A错误；因为平面，若动点在平面内时，则，又，则，可得的轨迹是以为圆心，3为半径的圆弧，且在四边形的圆弧是圆的，所以动点在面内运动轨迹的长度为，故B正确；动点的轨迹是以为轴，为顶点的圆锥在正方体内的部分，底面半径为，易得，又平面，平面，所以平面，又是圆锥的母线，所以平面与圆锥的交线是抛物线的一部分，故C错误；设正四面体的底面正三角形的中心为，由正四面体的性质可得平面，由正弦定理可得，所以正四面体的高为，设正四面体的内切球的半径为，则，所以，设半径是的球的内接正四面体的边长为，则可将内接正四面体补形成边长为的正方体，则，解得，在正四面体的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此正四面体的棱长可以是1.4，故D正确．故选：BD.8．（多选）在棱长为2的正方体中，是的中点，是侧面上的一个动点（含边界），则（

）A．当为的中点时，平面平面B．存在点，使得平面平面C．若，则所有满足条件的动线段形成的曲面的面积为D．当为的中点时，三棱锥外接球的体积为【答案】ABD【详解】对于A，如图1，取的中点，连接，易得，因为，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确；对于B，如图2，在正方体中，，因为平面平面，所以平面，当为中点时，易得，因为平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，故B正确；对于C，如图3，取的中点，连接，在正方体中，平面，且，所以平面，因为平面，所以，则，则点在侧面内的运动轨迹是以为圆心，为半径的劣弧，如图4所示，设点在侧面内的运动轨迹分别交于点，则，所以，则，所以所有满足条件的动线段形成的曲面的面积为，故C错误；对于D，连接，易证平面，且过正外接圆的图心，在正方体中，易得平面，因为为的中点，所以平面，因为平面，所以，设，则为直角外接圆的圆心，过点作交于点，则为三棱锥外接球的球心.易得平面，又平面，所以，因为，所以在中，，故三棱锥外接球的体积为，故D正确.故选：ABD.9．（多选）在棱为的正方体中，点在线段上运动，点在正方体表面上，为与的交点，则（

）A．四面体的体积为定值 B．存在点，使C．当时，点的轨迹长度为 D．四面体外接球的表面积为【答案】AC【详解】对于选项A，易知，又面，面，所以面，又在线段上运动，所以到面的距离为定值，又的面积为定值，所以四面体的体积为定值，故选项A正确，对于选项B，如图，建立空间直角坐标系，又正方体的边长为，则，设，则，又，所以不存在，使，故选项B错误，对于选项C，当时，则点在过中点且与垂直的平面上，又点在正方体表面上，所以点的轨迹为正方形，如图所示，故点的轨迹长度为，所以选项C正确，对于选项D，因为是直角三角形，所以外接圆圆心为，则四面体外接球的球心在线段中点处，且，所以四面体外接球的表面积为，故选项D错误，故选：AC.10．（多选）在正方体中分别是的中点.下列说法正确的是（

）A．平面B．异面直线与所成角的余弦值为C．过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为D．若点在正方体表面上运动，且点到点的距离与到点的距离之比为，则点的轨迹长度为【答案】ABD【详解】对于A，设为的中点，连接，则，而，所以，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，故A正确；对于B，取的中点，连接，则且，故或其补角为异面直线所成的角，而，故，故，故B正确；对于C，设直线与直线交于，连接角于，因为，故，同理，故，故，而，，故截面图形的周长为，故C错误；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，则，故的轨迹为球与正方体表面的截线（如图所示），每段弧的圆心角为，所在圆的半径为，故三段弧长和为，故D正确.故选：ABD.11．（多选）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则平面B．若，则点P的轨迹长度为C．若，则线段长度的最小值为D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为【答案】ACD【详解】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确；对于B，若，即，则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又，所以点P的轨迹长度是，故B错误；对于C，设和的中点分别为M，N，若，则点P的轨迹是线段，当P是的中点时，的长度最小，因为是等腰三角形，，，所以长度的最小值为.，故C正确；对于D，若，则点P的轨迹是线段，设与平面所成的角为，在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为，而点P到平面的距离恒为2，所以，从而，故D正确.故选：ACD.（二）其他棱柱中的动点轨迹1．（多选）正三棱柱的各棱长相等，且均为在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得平面B．三棱锥的体积的取值范围为C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为【答案】BCD【详解】对于A，取的中点，的中点为，连接，由为等边三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，因为平面平面，过作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面，在矩形中，，所以，如图所示，此时的延长线与线段无公共点，所以不存在点，使得平面，A选项错误；对于B,三棱锥的体积.的面积的取值范围是（当在内运动时，大于，当在BC边的高的端点时取到最大值）.点到平面的距离就是正三棱柱的高.根据三棱锥体积公式（为底面积，为高），可得，所以的取值范围是，B选项正确.对于C，由点为中点，取的中点，连接，可得，，因为平面，且平面，所以平面，同理可得平面，又因为，且平面，所以平面平面，因为平面平面，由平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，C选项正确；对于D，以中点为坐标原点，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，设（x，y满足的边界条件）.，.因为，所以，即.平面的法向量，设，，.由，令，可得，，即.点到平面的距离，将代入可得.结合在内及其边界上，可得当时，取得最大值，D选项正确.故选：BCD.2．（多选）正三棱柱的各棱长相等，且均为，在内及其边界上运动，则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得平面B．三棱锥的体积的取值范围为C．为中点，若平面，则动点的轨迹长度为D．为中点，若，则动点到平面的最大距离为【答案】BCD【详解】对于A中，取的中点，的中点为，连接，由为等边三角形，所以，又由正三棱柱中，可得，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，因为平面平面，过作于，根据面面垂直的性质定理，可得平面，在矩形中，，所以，如图所示，此时的延长线与线段无公共点，所以不存在点，使得平面，所以A错误；对于B选项，由，当点在内及其边界上运动时，可得，又因为，故三棱锥的体积的取值范围为，故B正确；

对于C中，由点为中点，取的中点，连接、、，可得，，因为平面，且平面，所以平面，同理可得平面，又因为，且、平面，所以平面平面，因为平面平面，由平面，所以动点的轨迹为线段，其长度为，所以C正确；对于D选项，取线段的中点，连接，因为为等边三角形，则，又因为平面，以点为坐标原点，、、的