第二章：导数及其应用重点题型复习（原卷版）

第二章：导数及其应用题型一平均变化率、瞬时变化率1．物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（

）A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度2．函数在区间上的平均变化率为（

）A． B． C． D．3．函数从到的平均变化率为（

）A． B． C． D．4．（多选）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则下列说法正确的是（）A．前内球滚下的垂直距离的增量 B．在时间内球滚下的垂直距离的增量C．前内球在垂直方向上的平均速度为 D．在时间内球在垂直方向上的平均速度为题型二导数的概念及其意义1．（多选）已知函数.则（

）A．是的对称轴 B．的最小正周期为C．在区间上单调递减 D．在点处的切线方程为2．曲线过坐标原点的两条切线的方程为．3．已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为.题型三导数的计算1．设函数在处的导数存在，则等于（

）A． B． C． D．2．（多选）下列求导数运算正确的有（）A． B．C． D．3．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)．4．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3).题型四导数求单调性1．已知函数的图象如图所示，不等式的解集是（

）

A． B．C． D．2．函数的单调递减区间为．3．设函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若为增函数，求的取值范围.4．已知函数.(1)为的导函数，则当时，求的值；(2)证明：有且仅有一条图象的切线过坐标原点；(3)讨论函数的单调性.题型五导数求极值、最值1．在等比数列中，是函数的极值点，则（

）A． B．4 C．3 D．2．（多选）定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．函数在区间单调递减B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值3．设函数，曲线在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求的极值.4．已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求函数的单调区间和极值．题型六导数的实际应用1．在等比数列中，是函数的极值点，则（

）A． B．4 C．3 D．2．（多选）定义在区间上的函数的导函数图象如图所示，下列结论正确的是（

）A．函数在区间单调递减B．函数在区间单调递减C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值3．设函数，曲线在处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)求的极值.4．已知函数的图象与轴相交于点，的图象在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求函数的单调区间和极值．题型七导数求切线问题1．若直线是曲线的一条切线，则k的值为（）A． B． C．2 D．2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．3．若曲线在点处的切线方程是，则．4．已知点在曲线上，且曲线在点处的切线与曲线相切，则点的坐标为．题型八构造函数1．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．已知为偶函数，且，令，若时，，关于的不等式的解集为（

）A．或 B．C． D．或3．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（

）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0]4．已知函数的定义域为，其导函数是．若恒成立，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．题型九零点问题1．（多选）（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）设函数，则（

）A．有三个零点B．是的极大值点C．曲线为轴对称图形D．为曲线的对称中心2．（2025·广东·一模）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2024·江西抚州·三模）函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数.(1)若，求的值和函数的单调区间；(2)若，讨论的零点个数.4.（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．题型十极值点偏移问题1．（2024·广东湛江·一模）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：.2．（2024·云南·二模）已知常数，函数.(1)若，求的取值范围;(2)若、是的零点，且，证明:.题型四：极值点偏移-比（差）值换元1．（2024·云南昆明·二模）设，为函数（）的两个零点．(1)求实数的取值范围；(2)证明：．2．（2024·河南·二模）已知函数．(1)若，讨论的单调性．(2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根．（i）求的取值范围；（ii）求证：．3．（2024·全国·模拟预测）设函数.(1)若，求函数的最值；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：.4．（2024·全国·模拟预测）已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个零点，，且，求证：．题型十一恒成立、能成立问题1．若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．22．已知函数若对于任意的都有成立，则实数a的取值范围为.3．已知函数（a为实常数）．(1)若，求证：在上是增函数；(2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围．4．已知函数．(1)若在函数的图象上，求函数在点P处的切线方程；(2)若在上单调递增，求a的取值范围．题型十二导数证明不等式1．已知函数，下面表述不正确的为（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，2．（多选）已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（

）A． B．C． D．3．设函数．(1)当时，求的极值；(2)若当时，恒成立，求的取值范围；(3)当时，若，证明：．4．已知函数.(1)若有正零点，求实数的取值范围；(2)若，求曲线在点处的切线方程，并证明：当时，恒成立.题型十三函数的图像与性质1．已知函数，下面表述不正确的为（

）A．是的极小值点 B．当时，C．当时， D．当时，2．（多选）已知函数是其导函数.若存在且，满足，则（

）A． B．C． D．3．设函数．(1)当时，求的极值；(2)若当时，恒成立，求的取值范围；(3)当时，若，证明：．4．已知函数.(1)若有正零点，求实数的取值范围；(2)若，求曲线在点处的切线方程，并证明：当时，恒成立.题型十四导数新定义1．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（

）A． B． C． D．2．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（

）A． B．C． D．3．已知函数.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)若在上有解，求的取值范围；(3)设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.4．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理