云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

红河州第一中学2024级高一下学期3月月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式成立是不等式成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.3.对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（）A.，方向相同B.，两向量中至少有一个为零向量C.存在一个实数，使D.存在不全为零的实数，，使4.已知平面向量，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.55.已知，若M、P、Q三点共线，则（）A.1 B.2 C.4 D.－16.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.7.已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.关于平面向量，下列说法不正确的是（）A.B.C.若，且，则D.10.已知函数（且，），则下列说法正确的是（）A.若，则的图象过定点 B.若，则的最小值为4C.若，则 D.若，11.已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A. B.最大值为6C. D.满足的点只有一个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则_________.13.将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___.14.已知平面向量满足，则的最大值为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知．（1）若//，求的值；（2）若，求的值．16.已知与的夹角为.（1）求在方向上的投影向量;（2）求的值;（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.17.设函数，.（1）求最小正周期和对称中心；（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.18.如图，互相垂直两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为（1）设，试用表示AP，并求取值范围；（2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？19.设函数定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数（1）若，求的“准不动点”：（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.

红河州第一中学2024级高一下学期3月月考数学试卷考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等相关信息填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.不等式成立是不等式成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.【详解】解不等式，得，解不等式，得，又，所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.故选：B.2.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由零点存在性定理逐个判断即可；【详解】易知单调递增；，所以零点所在区间为，故选：B3.对平面内两向量，，若，则下列结论成立的是（）A.，方向相同B.，两向量中至少有一个为零向量C.存在一个实数，使D.存在不全为零实数，，使【答案】D【解析】【分析】根据共线向量的定义及性质一一判断即可.【详解】由，可得与方向相同或者相反，或者与中至少一个为零向量，故A、B错误；当，时满足，但是不存在实数，使，故C错误；当时，由，可得，令，则，即，当时，由，可得（存在），故D正确．故选：D．4.已知平面向量，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解.【详解】因为，所以，，又因为，所以，则，所以.故选：C.5.已知，若M、P、Q三点共线，则（）A.1 B.2 C.4 D.－1【答案】A【解析】【分析】根据平面向量共线定理，列方程组即可求解.【详解】解：∵M、P、Q三点共线，则与共线，∴，即，得，解得.故选：A.6.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指对数函数及正弦函数的性质判断大小关系即可.【详解】由，即.故选：A7.已知函数的图象是在上连续不断的曲线，在区间项上单调递增，且满足，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过条件分析函数具有的性质，再把函数不等式转化为代数不等式求解.【详解】由得：的图象关于点对称；；又在上连续不断，且在上单调递增，所以在上单调递增..故选：B8.古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系，由题意得，则，，，，，，．因为，所以解得所以．故选：B．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.关于平面向量，下列说法不正确的是（）A.B.C.若，且，则D.【答案】CD【解析】【分析】由向量数量积的定义和运算律，对选项逐一进行判断即可.【详解】对于A、B，根据向量的运算法则，及分配律，易知A、B正确；对于C，当反向且都与垂直时满足题设，但，故C错误；对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，故D错误.故选：CD.10.已知函数（且，），则下列说法正确的是（）A.若，则的图象过定点 B.若，则的最小值为4C.若，则 D.若，【答案】ABD【解析】【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误；【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确；对于B，，，当且仅当，即时取等号，故B正确；对于C，因，则在R上单调递增，又，则，故C错误；对于D，因，则在R上单调递减，又注意到时，函数单调递增，则，故D正确.故选：ABD11.已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（）A. B.的最大值为6C. D.满足的点只有一个【答案】AB【解析】【分析】对于A，根据数量积的定义计算即可判断；对于B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C，作图得到，再由可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D，当重合或者时都可以得到，从而可判断.【详解】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形，取的中点，连接，则，所以，A正确；对于选项，过点作平行于，交圆与点，过点作，交延长线于点，连接，则四边形为菱形，由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值，此时，故的最大值为，B正确；对于C选项，，因为四边形为菱形，所以，且，因为为定值，故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为，当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为，故，C错误；对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，，又当时，满足，故满足的点有2个，D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则_________.【答案】3【解析】【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值.【详解】已知，根据向量的减法法则，则.因为，又，所以，移项可得.由于，那么，所以.故答案为：.13.将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___.【答案】【解析】【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可.【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得，因为，且，则，由题意可得：，解得，所以的取值范围为.故答案为：.14.已知平面向量满足，则的最大值为_____.【答案】30【解析】【分析】根据向量模的几何意义构造几何图形，再根据向量数量积的公式，结合图形，即可求解.【详解】设，则，由，则，，故点在以为圆心3为半径的圆周上，点在以为圆心，2为半径的圆周上，如图所示，而，由图可知，当三点共线，在如图所示的位置时，有最大值有最大值5，此时取最大值1，所以的最大值为30.故答案为：30四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知．（1）若//，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合同角三角函数关系求得，再求齐次式的值即可；（2）根据向量垂直坐标表示，求得，再根据其与的关系即可求得结果.【小问1详解】，//，．【小问2详解】，又，故，则，故，.16.已知与的夹角为.（1）求在方向上的投影向量;（2）求的值;（3）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接根据投影向量的概念求解；（2）通过展开计算；（3）根据，且与不共线计算求解.【小问1详解】在方向上的投影向量为；【小问2详解】；【小问3详解】因为向量与的夹角为锐角，所以，且与不共线，对于，得，解得，若与共线，则存在，得，解得，所以若向量与的夹角为锐角，实数的取值范围为.17.设函数，.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.【答案】（1）的最小正周期为，对称中心为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数的解析式为，根据正弦函数的图象与性质即可求解的最小正周期与对称中心；（2）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，判断函数在上的单调性从而求得值域.【详解】（1）令，解得，所以的最小正周期为，对称中心为；（2）函数的图像向左平移个单位得到函数，令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，所以函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查三角恒等变换，求正弦型函数的周期性、对称性与单调性，三角函数图象变换规则，属于中档题.18.如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为（1）设，试用表示AP，并求的取值范围；（2）当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？【答案】（1）（2）m时，取得最小值1200.【解析】【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围；（2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200.【小问1详解】依题意可得，所以，即，可得；因此，又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即，解得，即；【小问2详解】易知，所以由基本不等式可得；当且仅当时，即时，等号成立，此时取得最小值1200；因此m时，取得最小值，最小值为1200.19.设函数的定义域为，若存在，使得成立，则称为的一个“准不动点”.已知函数（1）若，求的“准不动点”：（2）若为的一个“准不动点”，且，求实数的取值范围：（3）设函数若使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0或1；（2）（3）【解析】【分析】（1）依题意可得，利用换元法计算可得；（2）依题意可得在上有解，参变分离可得在上有解，结合对勾函数的单调性求出的取值范围，即可得解；（3）依题意可得，根据的单调性，求出的最值，即