江苏省扬州市树人高级中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段检测数学试卷 （原卷版+解析版）

扬州市树人高级中学2024-2025-2高二年级第一次阶段检测数学2025.03注意事项：1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟.2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满涂黑；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的导函数是（）A B.C. D.2.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（）A. B. C. D.3.已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是A. B. C. D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（）A. B. C. D.6.函数的极小值点是（）A.1 B.（1，﹣） C. D.（﹣3，8）7.已知函数满足：，，则不等式的解集为A B. C. D.8.设函数，若，且的最小值为，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.10.有下列命题，其中真命题有（）A.若，则A，B，C，D四点共线B.若，则A，B，C三点共线C.若为不共线的非零向量，，则//D.若向量是三个不共面向量，且满足等式k1＋k2＋k3＝，则k1＝k2＝k3＝011.已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（）A.若有3个零点，则a的范围为B.时，是的极值点C.时.有唯一零点且D.时，恒成立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若某物体运动规律是S=t3-6t2+5（t＞0），则在t=______时的瞬时速度为0．13.已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．14.若存在实数a，对任意，不等式恒成立，则实数b最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求的极值.16.已知函数.（1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程；（2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.17.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断点M是否在平面ABC内．18.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数．19.给出下列两个定义：I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.（1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数.①若的“自导函数”是，试求的取值范围；②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

扬州市树人高级中学2024-2025-2高二年级第一次阶段检测数学2025.03注意事项：1.本试卷共4页，满分为150分，考试时间120分钟.2.答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满涂黑；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其他位置作答一律无效.4.如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数的导函数是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】.故选：B.2.已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可.【详解】.故选：B.3.已知函数在区间存在单调递减区间,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求导可得,则可转化问题为在上有解,进而求解即可【详解】由题,,因为,则若函数在区间存在单调递减区间,即在上有解,即存在,使得成立,设,则,当时,,所以,即,故选:B【点睛】本题考查利用导函数处理函数的单调性问题,考查已知函数单调性求参数,考查转化思想4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求导判断出函数的单调区间即可做出选择.【详解】∵，∴.令，得.则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.选项A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；选项B：违背函数在区间上单调递减.判断错误；选项C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；选项D：违背函数在区间上单调递减.判断错误.故选：C5.如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.【详解】由题意可得：=.故选：A.6.函数的极小值点是（）A.1 B.（1，﹣） C. D.（﹣3，8）【答案】A【解析】【分析】求得原函数导数，令导数等于零，解出的值，并根据单调区间判断出函数在何处取得极小值，并求得极值，由此得出正确选项.【详解】，由得函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值点为1.选A【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题.7.已知函数满足：，，则不等式的解集为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】是减函数，由得：故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.8.设函数，若，且的最小值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出的大致图象，令，结合图象得到的范围，再将所求转化为关于的表达式，构造函数，利用导数即可得解.【详解】因为，作出的大致图象，如图，令，由图象可得，因为，所以，即，则，令，则，令，解得，当，即时，，则，单调递减，则，解得，符合；当，即时，当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增，则，解得，不符合；综上，.故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如果曲线在点处的切线过点，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据切点在曲线上可判断AC，再由导数的几何意义可判断BD.【详解】因为切点为，所以，故A正确；而为切线上的点，不一定为切点，故C错误；由切线经过和可得切线斜率，所以由导数的几何意义知，，故B正确D错误.故选：CD10.有下列命题，其中真命题的有（）A.若，则A，B，C，D四点共线B.若，则A，B，C三点共线C.若为不共线的非零向量，，则//D.若向量是三个不共面的向量，且满足等式k1＋k2＋k3＝，则k1＝k2＝k3＝0【答案】BCD【解析】【分析】由向量平行，结合各点的位置关系判断A、B的正误；利用平面向量共线的判定可判断C的正误；应用反证法，假设等量关系中系数不都为0，结合题设等量关系及向量共线的判定即可知D的正误.【详解】根据共线向量定义，若，则AB//CD或A，B，C，D四点共线，故A错；由且、有公共点A，故B正确；由，所以//，故C正确，若条件等量关系中系数不都为0，则k1＋k2与k3不可能共线，显然与题设矛盾，故D正确．故选：BCD11.已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（）A.若有3个零点，则a的范围为B.时，是的极值点C.时.有唯一零点且D.时，恒成立【答案】AC【解析】【分析】对于A,有3个零点转化成直线与的交点个数，对的单调性进行考察，进而可得a的范围.对于B，时，对求导，分析单调性，进而确定极值点可判断.对于C，时，对求导，分析单调性，根据零点存在性定理可做出判断.对于D，时，取一个特殊值即可推翻.【详解】令，则，记则所以在单调递增，且值域为，在上单调递减，在上单调递增，且在上的值域为若有3个零点，则，故A对.当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为0，故可知，所以在上单调递增，无极值点，故B错.当时，，，在单调递增，在单调递减.当时，最小值为1，故可知，所以在上单调递增，此时有唯一的零点，且，由零点存在性定理可知，故C对.当时，，，故D错.故选:AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若某物体运动规律是S=t3-6t2+5（t＞0），则在t=______时的瞬时速度为0．【答案】4【解析】【分析】由题得S′=3t2-12t=0，解方程即得解.【详解】解：∵质点按规律S=t3-6t2+5运动，∴S′=3t2-12t，令S′=3t2-12t=0，解得t=4，(t=0舍去)∴质点在4s时的瞬时速度为0．故答案为4【点睛】本题考查的知识点是变化的快慢与变化率，其中根据质点位移与时间的关系式求导得到质点瞬时速度的表达式是解答本题的关键．13.已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．【答案】##60°【解析】【分析】根据题设知可构成三角形，利用余弦定理求与的夹角.【详解】由，即首尾相连可构成三角形，所以，又，故.故答案为：14.若存在实数a，对任意，不等式恒成立，则实数b的最小值为________．【答案】【解析】【分析】变换得到，设，，求导得到单调区间，画出函数图像，当直线过，且与曲线相切时，b最小，设出切点，求出切线，根据函数单调性计算最值得到答案.【详解】，，即，令，则，时，，单调递增，且，令，则，且，，所以存在使得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，且，故，画出各个函数图像，如图所示：当时，直线恒位于的图象上方，的图象下方，b代表直线在y轴上的截距，当直线变化时，观察得当直线过，且与曲线相切时，b最小．设切点为，则，整理得，令，则，，而当时，，，，故当|时，，所以当时，为增函数，所以有唯一的零点1，所以，切点为，此时直线方程为，故．故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，解题的关键是变换得到，题目转化为切线问题，再结合函数图像和函数单调性计算最值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数在处的切线平行于直线.（1）求的值；（2）求的极值.【答案】（1）（2）的极大值为，极小值为【解析】【分析】（1）由导数的几何意义计算即可；（2）利用导数研究函数的极值即可.【小问1详解】由已知可得，而直线的斜率为，所以；【小问2详解】由（1）得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故极大值为，极小值为.16.已知函数.（1）求曲线y=f(x)在点P(1，-2)处的切线方程；（2）过点P(2，2)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.【答案】（1）；（2）与.【解析】【分析】（1）求出在处的导数即为在点P(1，-2)处的切线斜率，代入点斜式方程化简则可求出切线方程；（2）根据函数方程设出切点，求得在切点处的导数，代入点斜式方程，因为过点P(2，2)，将点代入直线方程，可求出切点坐标，从而求出切线方程.【详解】解：（1）由题意可知，则在处的切线斜率，则在点P(1，-2)处的切线方程为：，即切线方程为：.（2）因为，所以设切点为，斜率为则所求切线方程为：①因为切线过点P(2，2)，所以有解得：或代入①化简可得切线方程为：或.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程分为在点处的切线和过点处的切线，在点处的切线，直接求导得到切线的斜率，代入点斜式方程化简即可；（2）过点处的切线，需设切点，求出在切点处的导数，然后写出点斜式方程，将所过的点代入直线方程，求解，然后重新代入化简可求出直线方程.17.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足．（1）判断，，三个向量是否共面；（2）判断点M是否在平面ABC内．【答案】（1），，共面（2）点M在平面ABC内【解析】【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可；（2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可．【小问1详解】由题知，则，即，所以，，共面．【小问2详解】由（1）知，，共面且基线过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．18已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）通过对函数求导，对进行分类讨论，即可求出函数的单调性；（2）令，通过构造新函数并求导，比较和的大小即可求出函数的零点个数.【小问1详解】由题意，在中，当时，，则在R上单调递增；当时，令，解得：，当时，单调递减；当时，单调递增．综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】在中，

当时，，当时，无解，∴无零点．当时，．令，在中，，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，且，∵当时，时，，∴当即时，无零点，当即时，有一个零点；当即时，有两个零点；当，即时，有一个零点．综上所述，当时，无零点；当或者时，有一个零点；当时，有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，构造函数和函数的单调性，考查学生分类讨论的思想和通过导函数求函数零点，具有很强的综合性.19.给出下列两个定义：I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.（1）判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；（2）已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；（3）已知函数.①若的“自导函数”是，试求的取值范围；②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）既不充分也不必要条件；证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由和，结合题设中函数的定义，即可得到答案；（2）由成立，得到，设，得出为“单向导函数”，再设，得到为“双向导函数”，结合不是常值函数，求得不是的必要条件；再由成立，