2024年上海中考数学一模各区18、24、25试题及答案

2024普陀

18.已知梯形A8CO中，AD//BC,A8=15,CD=13,N8是锐角，N8的正弦值为

那么BC的长为

3

24.如图，抛物线y=--2办+〃经过点C（0,--）,

2

且与x轴交于点A、点B,若ianNACO=-.

3

（1）求此抛物线的解析式：

（2）若抛物线的顶点为M,点尸是线段08上一动点

（不与点4重合），/MPQ=45。，射线PQ与线段

交于点Q,当△/也?为等腰三角形时，求点尸的坐标.

25.（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题2分）

如图，在正方形人BCO中，A8=2,点P是边8c上的任

意一点，E是BC延长线上一点，联结AP作PRLAP交

ZDCE的平分线CF上一点F,联结AF交直线CD于点G.

（1）求证：AP=PF；

（2）设点P到点B的距离为x,线段DG的长为y,

试求），与X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围：

（第25题）

（3）当点P是线段8C延长线上一动点，那么（2）式中y与x的

函数关系式保持不变吗？如变更，试干脆写出函数关系式.

2024金山

18.在阳△ABC中，ZC=90°,COSB=3，把这个直角三角形绕顶点C旋转后得到

5

R於ABC,其中点"正好落在48上，A8与4c相交于点。，那么型=

CD

24.（本题满分12分，每小题各4分）

已知，二次函数），二以?+法的图像经过

点A（-5,0）和点8,其中点4在第一

象限，J@LOA=OB,coiZBAO=2.

（1）求点B的坐标；

（2）求二次函数的解析式；

（3）过点8作直线BC平行于x轴,直

线DC与二次函数图像的另一个交点

为C,联结4C,假如点P在x轴上,

且△A8C和△布8相像，求点。的坐标.

25.（本题满分14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分）

如图，MZiABC中，乙4。8二90。，AC=4,BC=3,P是斜边A8上的一个动点（点P与

点A、3不重合），以点P为圆心，力为半径的。P与射线AC的另一个交点为。，射线PO

交射线4c于点£

（1）如图I,若点E在线段BC的延长线上，设AP=x,CE=yf

①求），关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当以BE为直径的圆和0P外切时，求4P的长；

（2）设线段BE的中点为Q,射线PQ与。P相交于点/,若CI=AP,求A尸的长.

2024闵行等六区联考

18.假如将一个三角形围着它一个角的顶点旋转后使这人角的一边与另一边重叠，再将旋转

后的三角形进行相像缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形

转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称七……

为原三角形的转似三角形.如图，在^ABC中，A8=6,

BC=7,AC=5,△A.B.C是4ABC以点C为转似中心/\

的其中一个转似三角形，那么以点C为转似中心的另/\/,

一个转似三角形△A282c（点42、纳分别与4、3对/

应）的边A2少的长为▲.B（第18题图）0

24.（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

己知在平面直角坐标系xQy中，二次函数），=-2/+Zu+c的图像经过点A（-3,0）和

点、B（0,6）.

（1）求此二次函数的解析式：

（2）将这个二次函数翱像向右平移5个单位后的顶点设为C,直线3c与x轴相交于点

D,求NA6O的正弦值；

（3）在第（2）小题的条件下，联结OC,摸索究直线A8与OC的位置关系，并说明理

25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）

4

如图，已知在RS4BC中,Z4CB=90°,48=10,tanA=-,点。是斜边A3上的动

3

点，联结CO,作£>E_LCD,交射线CB于点E,设

（1）当点。是边AB的中点时，求线段。E的长；

（2）当△4EO是等腰三角形时，求x的值；

DF

（3）假如尸——，求y关十x的函数解析式，并写出

-DB

它的定义域.

2024长宁

18.如图，ZUAC是面积为Q的等边三角形，XADEsXABC,AB=2AD,ZB/1D=45°,AC

与DE相交于点F,则△AE尸的面积是.

24.（本题满分12分）

如图，在直角坐标平面上，点A、8在x轴上（A点在8点左侧），点C在y轴正半轴上,

若4（-1,0）,OB=3OA,且lanNC4O=2.

（1）求点8、。的坐标；

（2）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；

（3）P是（2）中所求抛物线的顶点,设。是此抛物线卜一点,若△人"。与△4AP的面积

相等，求Q点的坐标.ly

第24题图

25.(本题满分14分)

在△A4C中，NBAC=90°,48<4C,M是边的中点，用ALL8C交4c于点N.动点P

从点B动身，沿射线而以每秒6个长度单位运动，联结MP,同时。从点N动身，沿

射线NC以肯定的速度运动，且始终保持MQJ_MP,设运动时间为x秒(x>0).

(1)求证：4BMPs/\NMQ；

(2)若NB=60°,AB=4^3,设△APQ的面积为A求1y与x的函数关系式；

(3)推断BP、PQ、CQ之间的数量关系，并说明理由.

第25题图①第25题图②

2024虹II

18.如图，RlZ\48C中，ZC=90°,AB=5,AC=3,在边AB上取一点。，作DE_LAB交

BC于点、E.现将ABDE沿折叠，使点3落在线段。4上（不与点A重合），对应点

记为历；的中点户的对应点记为R.若△EFBS/XAFIE,则.

24.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

如图，己知抛物线］，=L9+以+。经过点§（-4,0）与点C（8,0）,且交），轴于

4

点A.

（1）求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

（2）将该抛物线向上平移4个单位，再向右平移，〃个单位，得到新抛物线.若新抛物

线的顶点为尸，联结4P,直线3尸将AABC分割成面枳相等的两个三角形，求〃?的值.

第24题图

25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

已知：正方形A8C0的边长为4,点石为边的中点，点P为人8边上一动点，沿

PE翻折aBPE得到△QE,直线「尸交C。边于点Q,交直线AO于点G,联结EQ.

（1）如图，当4P=1.5时，求CQ的长；

（2）如图，当点G在射线AD上时，设BP=x,DG=y,求），关于x的函数关系式，并

写出x的取值范围；

（3）延长EF交直线于点从若ACQEsAFHG,求8P的长.

第25题图

2024徐汇

18.如图，矩形ABC。中，AB=8,809,点尸在BC边上，CP=3,点Q为线段AP上的动

QR

点，射线8Q与矩形4BCD的一边交于点/?,且4P=BR,则

BQ

第18题

24.（本题满分12分,每小题各6分）

如图，直线y=x+3与x轴、），轴分别交于点A、C,经过A、C两点的抛物线y=ad+

班+c与x轴的负半轴上另一交点为B,且tan/C8O=3.

（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点。的坐标；

（2）若点〃是射线3。上一点，.且以点P、4、8为顶点的

三角形与△A4C相像，求。点坐标.

25.（本题满分14分,其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）

3

如图，△A8C中，AB=5,BC=\\,cos3二一，点P是8C边上的一个动点，联结HP,

5

取4尸的中点将线段MP绕点P顺时针旋转90。得线段PM联结AMNC.设BP=x

（1）当点N恰好落在8c边上时，求NC的长；

（2）若点N在△A8C内部（不含边界），设CN=y,求1y关于x的函数关系式，并

求出函数的定义域；

（3）若△PNC是等腰三角形，求的长.

2024闸北

18.如图6,已知等腰△ABC,A。是底边8C上的高,

AD：DC=\：3,将△AOC围着点。旋转，得ADEF,

点4、C分别与点七、产对应，且石尸与直线AA重合,

图6

设AC与DF相交于点O,则S^OF.:Sg0c=.

24.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）

4、

已知：如图12,抛物线y二一《r+如+4与y轴交于点C,

与工轴交于点4、B,（点A在点8的左侧）且满意0C=40A./

C

设抛物线的对称轴与x轴交于点M：

（1）求抛物线的解析式及点M的坐标；/

（2）联接CM,点Q是射线CM上的一个动点，当一叶——-

△QMB与ACOM相像时，求直线AQ的解析式.

图12

25.（本题满分14分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4

分）

己知：如图13,在等腰直角△ABC中，AC=BC,斜边AB的长为4,过点C作射线

CP//AB,Q为射线C尸上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且ND4E=45。，AC与

交于点0.

（1）求证：△AOEs^ACB；

（2）设CO=x,tan/8AE=），，求y关于工的函数

解析式，并写出它的定义域；

（3）假如△CO。与△BE4相像，求C。的值.

图13

2024宝山

18、如图，在平面直角坐标系中，RQOAB的顶点A的坐标为(9,0).

lan/BOA:——，点C的坐标为(2,0),点P为斜边OB上的一个动

3

点，则PA+PC的最小值为..

25、如图，已知抛物线y=-1x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,若已

知B点的坐标为B(8.0).

(I)求抛物线的解析式及其对称轴方程；

(2)连接AC、BC,试推断△AOC与ZkCOB是否相像？并

说明理由；

(3)M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一

点，若MN〃y轴，求MN的最大值；■x>

(4)在抛物线的对称袖上是否存在点Q,使4ACQ为等腰

三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存

在，请说明理由.(本题满分4+3+2+3=12分)

26、如图4ABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=5cm；Z\DEF中，ZD=90°,ZE=45°,

DE=3cm.现将ADEF的直角边DF与AABC的斜边AB重合在一起，并将4DEF沿AB

方向移动(如图).在移动过程中，D、F两点始终在AB边上(移动起先时点D与点A

重合，始终移动至点F与点B重合为止).

(I)在4DEF沿AB方向移动的过程中，有人发觉：E、B两点间的距离随AD的变更而

变更，现设AD=x,BE=y,请你写出y与x之间的函数关系式及其定义域.

(2)请你进一步探讨如下问题：

问题①：当4DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？

问题②：在4DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得NEBD=22.50?假如存在，

求出AD的长度；假如不存在，请说明理由.

问题③：当4DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、EB、BC的长

度为三边长的三角形是直角三角形？(本题满分6+8=14分)

2024崇明

18.如图，在A4O8中，已知NAO3=90。，AO=3,BO=6,将AAO8绕顶点。逆时针旋

转到AA'O9处，此时线段ATT与BO的交点E为BO的中点，那么线段8七的长度

为.

24、（本题满分12分，其中每小题各4分）

（第18题图）

在平面直角坐标系X。），中，抛物线yuf+Zu—c与x轴交于两点（点4在点B的

左侧），点8的坐标为（3,0）,与），轴交于点C（0,3）,顶点为O.

（1）求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

（2）联结AC,BC,求N4C4的正切值；

（3）点P是抛物线的对称轴上一点，当AP8O与AC4B相像时，求点夕的坐标.

（第24题图）

25、（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各5分，第（3）小题4分）

3

如图，在A/SC中，AB=8,BC=10.cosC=二，NABC=2NC,B。平分NABC交AC边

4

于点。，点E是BC边上的一个动点（不与B、C重合）,尸是AC边上一点,且ZAEF=ZABC,

AE

与8。相交于点G.

/I、0、工48BG

（1）求证：——=——；

CECF

（2）设6£=x,C尸二），，求），与.1之间的函数关系式，并写出x的取值范围;

（3）当AA£尸是以A七为腰的等腰三角形时，求8七的长.

（第25题图）

（备用图2）

2024黄浦

3

18.如图7,在RfZ\ABC中，ZC=90°,AG3,cotA二二，点D、E分别是边BC、AC1.

4

的点，且NEDC=NA,将△ABC沿OE对折，若点C恰好落在边AB上,则DE的长为.

24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题满分各4分）

如图II,在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线是由抛物线），=/一3向右平

移一个单位后得到的，它与），轴负半轴交于点A,点8在该抛物线上，且横坐标为3.

（1）求点M.A.B坐标；

（2）联结4B、AM.BM,求NAAW的正切值；

（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与X正半轴的夹角为

a,当a=Z48M时，求P点坐标.

图II

25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

4

如图12,在△ABC中，ZACfi=90°,AC=8,sin8=一，。为边AC中点，。为边人4上

5

一点（点尸不与点A、8重合），直线。。交8C延长线于点£,设线段3尸长为X,线段CE长

为y.

（I）求），关于x的函数解析式并写出定义域；

（2）过点。作8c平行线交A4于点尸，在/）产延长线上取一点Q,使得QF=DF,

联结PQ、QE,QE交边AC于点G,

①当△EQQ与△EGO相像时，求X的值:

PDDE

②求证:

PQ-QE

2024嘉定

18.如图4,在矩形A8CO中，已知AB=12,AQ=8,假如将矩形

沿直线/翻折后，点A落在边CO的中点E处，直线/与分别边A3、

AO交于点用、N,那么MN的长为A.

24.（本题满分12分，每小题满分4分）

在平面直角坐标系X。），（如图9）中，已知A（・l,3）、B（2,〃）两点在二次函

数），二一'1+〃戈+4的图像上.

3

（1）求〃与〃的值；

（2）联结。4、OB、AB,求△AOB的面积；

（3）若点、P（不与点A重合）在题目中已经求出的二次函数

的图像上，且NPO8=45。，求点P的坐标.

图9

25.（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

己知：。。的半径长为5,点A、B、C在。。上，AB=8C=6,点E在射线B。

上.

（1）如图10,联结AE、CE,求证：AE=CE；

（2）如图11,以点C为圆心，CO为半径画弧交半径于。，求的长;

（3）当0E二〃时，求线段AE的长.

备用图

2024奉贤

18.我们把三角形三边上的高产生的三个垂足组成的三角形称为该三角形的

垂三角形。已知等腰三角形的腰长为5,底边长为6,则该三角形的垂三—岭|C

角形的周长是▲；（）

第17题

24.（本题满分12分，每小题4分）

2

如图，已知抛物线y=§工2+/»+c与x轴交于点A、8,与y轴交于点C,点3的坐标为（3,0）,

它的对称轴为直线x=2.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若抛物线的顶点为。点，联结8。并延长交），轴于点尸，联结心,

求/八PC的余切值；

（3）在（2）的条件下，若在抛物线上存在点E,使得NOPE=NACB,

求点E的坐标.

x

25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）

如图1,在半径为5的扇形AO片中，ZAOB=90，点。，。分别在半径04与弧AB上,

且AC=2,

CD//OB,点P是C。上一动点，过P作OP的垂线交弧AB于点E、F,联结。E、DF.

q

（1）求3^的值；

S&DFP

（2）如图2,联结£0、FO,若NEOF=60°,求CP的长：

（3）设CP=x,石厂的面积为y,求），关于工的函数关系式，井写出它的定义域.

第25题图1

第25题图2

24

普

陀〃).

(l)ianZ^CO=—=-

CO3

・・・XO=：CO=1,即4-1,0)

将点.4(7,0),Q0,代入y=ax~-2ax+b

a-2ax(-1)+A=0a=-

3，解小2.

bA=----3

2b=-Q

・•・施物线的解析式为y=-x-：

⑵由(1㈣、抛物线y='(x-l)2-2,即点A/(l,-2)

2

2得再

4*y=yx-x-=0,■=3,x2=-1

・••点B的坐持为(3,0)

作2〃/LOB于点H,衲MH=BH=2

/.NMBO=45o=/MBP

又丁NPM。=ZBMP

,,qiPQsfBP(AA)

当AMPQ为等膜三角彩，&MBP也为等曝三角彩

①去.“0=，0,即八"-"/1时，

4BVP=ZMBP=45°,/MPB=90°

・,.点P与点H至合，即0(1,0)

②当MQ=MP,即MP=MB纣

Z.MPB=45°NBMP=90。

1PH=BH=2

即点P的坐标为(-1,0)(舍)

③当MP=PQ,即BP=BM=2在

点2的坐标为(3-2£(1)

练上所运，当\XfPQ为等澳三角彩纣，点P的坐标为(1,0)

(3-26,0)

25、

⑴在AB边上取点M.令BM=BP

・・.WM尸为等膝直角三角形.

•••/EC。为正方形，APLPF

工NR4P-Z8P.4=9（f,4BPA-"PC=M）。

ZB.4P=4FPE

又；Z.BAP-ZAPM=纳fP=45°

£FPE-"FC=ZFCE=45°

ZJPA/=Z.PFC

"4PMWgFC（JJS）

:・AP=PF

⑵在.4。上取点N.令ND=DG

・・・AVDG为等膑直角三角形

:,NG=0DG=0y.AN^2-y

同理，PM=△.Al/=2-x

YN.4PM=45°-"AM=N\3G,N4VG="MA=135°

AJPMSAG4V

s24.解：（1）过点8作8D_Lx轴，垂足为点。

在&AAO6中，ZADB=90a,

cot?BAO—=2..................................................................................................（1分）

BD

设BD=x,AD=2x,由题意，得OA=OB=5,：,OD=2JC~5.

在RtAODB中,OD2+BD2=OB2,/.（2X-5）2+X2=52,

解得菁=4,x2=0（不合题意，舍去）.....................................................（2分）

：,BD=4,03=3,；・点8的坐标是（3,4）.......................................................（1分）

25。-5b=0,

（2）由题意，得<（2分）

9a+3P=4.

解这个方程组，得.................................（I分）

6

・•・二次函数的解析式是......................

（I分）

66

（3）•・•直线8C平行于x轴，・・.C点的纵坐标为4,设C点的坐标为（/〃，4）.

由题意，得J机2+*m=4,解得网=3（不合题意，舍去），=-8.

66

••・C点的坐标为（-8,4）,BOILAB=4布.............................................（1分）

,:ZABC=/BAP,

Afi40

①假如A4BCSM4。，那么一=一,

BCAP

•••AP=11,点。的坐标为（6,0）.................................................................（I分）

BCAB

QQOC

：-AP=一，点P的坐标为（一，0）.........................................................（1分）

1111

25

综上所述，点户的坐标为（6,0）或（一，0）.....................................（1分）

11

注：只写出答案没有解题过程得2分.

25.解：（1）®'：AP=DP,：.ZPAD=ZPDA.

VZPDA=ZCDE,：・4PAD=4CDE.

VZAC5=ZDCE=90°,A/XABC^^DEC.....................................................（1分）

BCDE

/.AABOZDEC,

~CE~^B

:・PB=PE.

MAABC中，ZABC=90°,AC=4,BC=3,：.AB=5.

又AP=x,：.PB=PE=5-x,DE=5-2x,

.35

••一=------

y5—2x

Ay=3--x（0<x<—）.（3分）

52

注：其中x取值范围1分.

②设8E的中点为。，联结尸Q.

•：PB=PE,：.PQVBE,又・.,NA8C=90。，.\PQ//AC,

PQPHBQ.PQ5-xBQ

ACABBC454

43

/.PQ=4―x,BQ=3--x.................................................................（2分）

55

43

当以为直径的圆和。。外切时，4一一x=x+3--x.....................（1分）

55

解得x=即4P的长为3.................................................................（2分）

66

（2）假如点E在线段8C延长线上时，

49

由（1）②的结论可知/。二户。-77=4——x-x=4--x,..........（I分）

55

CQ=8C-8Q=3-（3-|+|x..................................................（1分）

在心△CQ/中,

1872~

VC/=AP,/.J—.r2——x+16=x,

V55

解得玉==，X2=4（不合题意，舍去）.

・・・AP的长为20'................................................（1分）

13

同理，假如点E在线段上时，

（4）9

IQ=PI-PQ=x-^4--x^=^x-4,

CQ=BC_BQ=3_（3_|X）=*

在七△CQ/中,Cl=y]CQ2+QI2

YC1=AP,

l|Q72on

・•・］一/——x+16=x,解得（不合题意，舍去），x,=4.

V55113

JAP的长为4......................................................................................（2分）

20

综上所述，AP的长为'或4.

13

20

注：1、只有答案没有过程时写出一得I分，写出4得2分.

13

20

2、有过程但没有进行分类探讨就得出一或4得4分.

13

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