2024年山东省青岛市中考数学模拟试卷附答案解析

2024年山东省青岛市中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共8小思，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求

1.下列各数中，是无理教的是（）

厂22

A.0B.V5C.yD,3.1415926

2.国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米=0.000000（）01米，将7

纳米用科学记数法表示为（）米

A.7X109B.7X10'9C.7XI08D.-7X109

3.下列银行标志，既是轴对•称图形又是中心对称图形的是（）

於④@a

4.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活

率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示:

移植总数1027040075()1500350070(K)9(X)()14000

成活数量8235369662133532036335807312628

成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902

估计树苗移植成活的概率是（）（结果保留小数点后一位）

A.0.81B.0.8C.0.9D.无法计算

5.如图，A8为。。的直径，四边形43co为。。的内接四边形，点。在84的延长线上,

夕。与OO相切，。为切点，若NBCO=125°,则N4OP的大小为（）

6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2,4）,8（4,I）,以原点O为位似中心，将

△OA8缩小为原来的去则点A的对应点A'的坐标是（）

1

A.(2,-)B.(1,2)

2

C.(4,8)或(-4,-8)D.(1,2)或(-1,-2)

7.如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是()

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

计算（》一】+邈呼=

9.

10.某校举行广播体操比赛，评分项目包括服装统一度、进退场秩序、动作规范整齐度这三

项，每项满分10分，息成绩按以上三项得分2：3：5的比例计算，总成绩满分10分.已

知八（1）班在比赛中三项得分依次为10分、8分、9分，则八（1）班这次比赛的总成

绩为分.

11.如图，在矩形A5CO中，AO=2,AB=2y/2,对角线AC、BD交于点、O,以A为圆心，

4/3长为半径画圆，交C。于点凡连接尸。并延长交A8于M,如图所示，则图中阴影

部分的面积是.（结果保留X）

12.抛物线y=（&-1）W-x+l与x轴有交点，则K的取值范围是.

13.如图，在平面直角坐标系中，44=4C=5,点8和点。的坐标分别为（-2,0）,（4,

0）,反比例函数）（x>0）的图象经过点4,且与AC相交于另一点。，作

于点E,交4。于点凡则点F的坐标为.

14.如图，在矩形ABCO中，点£在边上，△8EC与△FEC关于直线EC对称，点、B

的对称点尸在边4D上，G为C。中点，连结分别与CE,C尸交于M,N两点.若

BM=BE,MG=\,则BN的长为,sinNA"E的值为.

17.（6分）每年12月4日为国家宪法日，为了解初中生对宪法知识的了解情况，青岛某中

学利用法治教育课，采取满分为100分的宪法知识竞赛活动，对全校学生进行测试，将

测试成绩按A，B,C,D,£这5个小组分别进行统计（4.0WxV60；8.60WxV70,C.70

Wx<80：D80WxV90：E90W.W100）,其中得分在8组这•范围内的成绩（单位：分）

分别是62,64,65,66,67,68,68,68,69,69,并将调杳结果绘制成如图所示的不

完整的统计图和统计表.

调查结果统计表

组别分数分组频数频率

A0«60b

B60WxV70100.5

C70WxV80a

D80WxV9030.15

E90WxW10010.05

请根据以上信息解答下列问题：

（1）a=,b=.

（2）被随机抽取的20名学生成绩的中位数为：

（3）若在扇形统计图中，C组所在扇形圆心角的度数是;

（4）规定成绩大于等干80分以上者学校将进行表彰，若该校共有1260人参加测试，请

18.（6分）在最强大脑比赛中，假如比赛进行到最后，只留下了白宇鹏、朱科琪、张天扬、

黄若奕四人，现要从中随机抽出两人进行“1对1”的比赛，那么抽中白宇鹏和张天扬两

人进行“1对1”比赛的概率，与抽中白宇鹏与朱科琪进行“1对1”的比赛的概率相同

吗？为什么？请你用丸表法或树状图统计概率.

（白宇鹏用字母A表示、朱科琪用字母4表示、张天扬用字母。表示、黄若奕用字母。

表示）

19.（6分）某地惊现震撼的裸眼3。超清AE。巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡，小丽

想了解该LEO屏A3的高度，进行了实地测量，她从大楼底部。点沿水平直线步行30

米到达台阶底端。点，在。点测得屏幕下端点B的仰角为27°,然后她再沿着i=4：3

长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达尸点，在“

点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A,B,C,D,E,F,G在同一个平面内，且E,F

和C,。、G分别在同一水平线上），则该LE。屏人8的高度约为多少米？（结果精确到

0.1,参考数据sin27°-0.45,cos27°~0.89,tan270=0.51,sin50°^0.77,tan50°=

1.19）

20.（8分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，

某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是

用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多

10元.

（1）求一件A,5型商品的进价分别为多少元？

（2）若该欧洲客商购进人，B型商品共25（）件进行试销，其中人型商品的件数不大于8

型的件数，且不小于80件.已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220

元/件，且全部售出.设购进4型商品m件，求该客商销售这批商品的利润v与m之间

的函数关系式，并写出，〃的取值范围；

（3）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A

型商品的利润中捐献慈善资金〃元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最

大收益.

21.(8分)如图，平行三边形ABC。的对角线AC、BD交于点、O,分别过点C、。作CF

//BD,DF//AC,连接B尸交AC于点E.

(1)求证：XFCEt△BOE、

(2)当也从。。满足什么条件时，四边形OCPO为菱形？请说明理由.

22.（10分）如图，一小球M从斜坡Q4上的。点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部

分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数），=会刻画.若小球到达的

最高的点坐标为（4,8）,解答下列问题：

（1）求抛物线的表达式；

（2）在斜坡QA上的B点有一棵树，8点的横坐标为2,树高为4,小球M能否飞过这

棵树？通过计算说明理由；

（3）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度.

23.(10分)有一天，小强遇到一个很有意思的问题，如图，边长是7的大正三角形图中一

共有多少个等边三角形？为了解决这个问题，小强很是费了一番脑筋，最后，他决定从

最简单的图形开始探究.

(1)在边长为2的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2个，正立的边长为2的正三

角形有1个，倒立的正三角形有1个.

(2)在边长为3的图中，正立的边长为I的正三角形有1+2+3个，正立的边长为2的正

三角形有1+2个，正立的边长为3的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2

个.

(3)在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个，正立的边长为2

的正三角形有个，正立的边长为3的正三角形有个，:倒立的

边长为1的正三角形有1+2+3个，倒立的边长为2的正三角形有1个.

（4）在边长为5的图中，正立的边长为1的正三角形有1十23十4十5个，正立的边长为2

的正三角形有个，正立的边长为3的正三角形有个，:倒立的

边长为I的正三角形有个，倒立的边长为2的正三角形有个；

（5）那么小强开始遇到的问题，可以解决了，如图边长是7的大正三角形中，一共有

个等边三角形.

（6）解决问题后的小强异常兴奋，再接再厉，又解决了另一个很有挑战的问题:

在如图所示的图中，一共有个等边三角形.

24.（12分）已知，如图，矩形ABCQ中，AB=3,BC=4,点P以每秒1个单位从点。向

点B运动，同时点Q沿着AC以每秒2个单位从A向C运动，在点Q运动的同时，作

Q/_LAC交A。于立当点尸移动到。时，点。和点。停止运动.以。尸和PQ为边作

平行四边形PQFE设运动时间为，秒.

（1）几秒时，△AQ/；S/^CPQ?

（2）设平行四边形P0FE的面积是5,用/表示S；

（3）当P凡LA。时，CP=PQ吗？说明理由.

（4）存不存在某个时刻，使得QE〃BC?若存在，求出/；若不存在，说明理由.

备用图1备用图2

2024年山东省青岛市中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小思，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求

1.下列各数中，是无理数的是（）

92

A.0B.V5C.—D.3.1415926

7

解：4.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

8.遍是无理数，故本选项符合题意；

22

C.亍是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

031415926是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；

故诜：B.

2.国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米=0.000000001米，将7

纳米用科学记数法表示为（）米

A.7X109B.7X10'9C.7XI08D.-7X109

解:7纳米=7X0.000000001米=7X10'米.

故选：B.

3.下列银行标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

位@询G

解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

8、是轴对称图形，不是中心对称图形；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形；

。、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.

故选：C.

4.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活

率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：

移植总10270400750150035007000900014000

成活数8235369662133532036335807312628

量

成活频0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902

率

估计树苗移植成活的概率是（）（结果保留小数点后一位）

A.0.81B.0.8C.0.9D.无法计算

解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9,

故选：C.

5.如图，A8为。。的直径，四边形4BCD为。0的内接四边形，点P在84的延长线上,

尸。与O。相切，。为切点，若N8CZ）=125°,则NAOP的大小为（）

PA

A.25°B.40°C.35°D.30°

解：连接4C,

•・・A5是直径,

AZACB=90°，

AZ4CD=125-90°=35°，

/.ZAOD=2ZACD=70°，

•：OA=OD,

：.ZOAD=ZADO,

；・400=55°，

*：PD与。。相切,

OD1PD,

••・NA。尸=90°-ZADO=90°-55°=35°.

故选：C.

6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2,4）,8（4,1）,以原点O为位似中心，将

△044缩小为原来的点则点A的对应点A'的坐标是（）

1

A.(2,~)B.(I,2)

2

C.(4,8)或(-4,-8)D.(1,2)或(-1,-2)

解：以。为位似中心，把△O/W缩小为原来的去

则点A的对应点的坐标为（2x］4x1）或［2X（-1）,4X（-1）］,

即（1,2）或（・1,-2）,

故选：D.

7.如图是一个水管的三叉接头，它的左视图是（）

解：它的左视图是下面一个圆，上面是一个矩形的三边与下面圆形的上半圆组成的图形.

故选：A.

8.已知二次函数y=ad+如+c（a,h,c是常数，且aHO）的图象如图所示，则一次函数y

解：•・•抛物线开口向上，

Aa>0,

•・•抛物线的对称轴为直线产-会<0,

乙（X

V抛物线与y轴的交点在A-轴下方，

Ac<0,

・•・一次函数尸cx+女的图象过第一、二、四象限，反比例函数尸半分布在笫一、三象

限.

故选：£）.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.计算&)-1+邈/=」

,v3

解：原式=2+

=2+4-2

=4.

故答案为：4.

10.某校举行广播体操比赛，评分项目包括服装统一度、进退场秩序、动作规范整齐度这三

项，每项满分10分，息成绩按以上三项得分2：3：5的比例计算，总成绩满分10分.B

知八（1）班在比赛中三项得分依次为10分、8分、9分，则八（1）班这次比赛的总成

绩为8.9分.

zf10X2+8X3+9X5八

解：2十3十5=8.9(分),

故答案为：8.9.

II.如图，在矩形A8CQ中，AQ=2,AB=2y[2,对角线AC、BD交于点O,以A为圆心,

AB长为半径画圆，交CO于点F,连接尸。并延长交AB于M,如图所示，则图中阴影

部分的面积是TT-2或+2.（结果保留X）

D

B

解：在矩形A4CO中，AO=2,A8=2或,

AZADC=90°，AB//CD,OB=OD,

：.ZABD=ZCDBt

,：AF=AB=2>/2,A/2=AZ)2+。尸,

・•・(2V2)2=22+£>F2,

:.DF=2,

：.AD=DF,

：.ZDAF=ZDFA=45°,

AZBAF=45°,

在aBOM和△O。尸中，

(LMBO=乙FDO

\OB=OD，

(Z.BOM=乙DOF

：,△80河经△£)”(ASA),

:.BM=DF=2,

，AM=2&一2,

，图中阴影部分的面积为：'-|x(272-2)x2=TT-2V2+2,

故答案为：n-2V2+2.

12.抛物线y=«-1)*-x+l与.1轴有交点，则k的取值范围是且ZW1.

解：•・•抛物线)，=a-1)f-x+i与“轴有交点，

・•・△=(-1)2-4Xa-1)xi20,解得

乂iwo,

，丘1,

・・・k的取值范围是AW/旦ZW1；

故答案为：kw,且心勺.

13.如图，在平面直角坐标系中，A8=AC=5,点8和点C的坐标分别为(-2,0),(4,

0),反比例函数产［(x>0)的图象经过点A,且与AC相交于另一点Q,作AELBC

4

于点E,交BD于点F,则点F的坐标为(1,-).

解：•・•点B和点C的坐标分别为(-2,0),(4,0),

・・・8C=6,08=2,

,：AB=AC=5,AEJLx轴,

：.BE=CE=3,

：.OE=BE-0B=\,AE=4,

：,A（1,4）,

"=1X4=4,

・••反比例函数的解析式为y=*

设直线4c的解析式为＞=依+从则

:.直线AC的解析式为尸-3+竽,

416

由y=_/+了得囚=1f

由yj'得”…b

I」X

4

・••点。的坐标为（3,-）,

设直线的解析式为），=〃"+小则

z4

4—m-

3m+n

-解得

31185

o

-—n

k-

15

，直线BD的解析式为y=言•"+条，

MZ_.b_48_4

当x=l时u，＞?=15+15=5,

4

・•・尸的坐标为（I,-）.

4

故答案为：（1,

14.如图，在矩形A8C。中，点E在边上，△8EC与△尸EC关于直线EC对称，点B

的对称点F在边人。上，G为。。中点，连结BG分别与CE,CF交于M,N两点.若

BM=BE.MG=\,则用V的长为2,sinNA=E的俏为&-1.

解：，：BM=BE,

,:AB〃CD,

:・/BEM=/GCM,

又•：/BME=/GMC,

：.ZGCM=ZGMC,

/•MG=GC=19

•・・G为CD中点,

：,CD=AB=2.

连接BF,FM,

由翻折可得NFEM=N8EM,BE=EF,

：・BM=EF,

•：NBEM=/BME,

：.NFEM=NBME,

:・EF〃BM,

・•・四边形8EFM为平行四边形，

•:BM=BE,

・•・四边形BEFM为菱形,

VZEBC=ZEFC=90o,EF//BG,

:.NBNF=90",

，：BF平分NABN,

：.FA=FN,

•••RlZXAB尸gRt/XNB/7(HL),

:,BN=AB=2.

•:FE=FM,FA=FN,ZA=ZBNF=90a,

ARtAAEF^RtAWF(HL),

:.AE=NM,

设AE=NM=x,

则BE=FM=2-x,NG=MG-NM=1-x,

♦：FM〃GC,

：,/\FMNSACGN,

•_C_G__G_N_

••尸M-NM’

rr11-X

即---=----,

2-xx

解得x=2+&（舍）或尸2-迎，

：,EF=BE=2-x=企,

sinZAFE=器==V2—1.

故答案为：2；V2—1.

三、作图题（本大题满分0分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15.已知：△人8C.

求作：OO,使它经过点B和点C,并且圆心。在NA的平分线上.

16.(8分)(1)化简：--:—+(1--4)；

a^-4a+aQ-，

(X-3(x-3)>5

(2)求不等式组1+2X1.1的非负整数解.

<X+o

a-2-l

解:（1）原式=点击一

a-2

a-3.a-3

a(a-3)0^2

1a-2

-a*a-3

a—2

=a(a-3)

a-2

a2—3a"

(x-3(x-3)>5@

⑵竽4+迪

由①得：xW2,

由②得：x>—

・•.不等式组的解集为：一*<EW2,

・•・不等式组的非负整数解为：0,1,2.

17.(6分)每年12月4日为国家宪法日，为了解初中生对宪法知识的了解情况，青岛某中

学利用法治教育课，采取满分为100分的宪法知识竞赛活动，对全校学生进行测试，将

测试成绩按A,B,C,D,E这5个小组分别进行统计(A.0WxV60；B.60WxV70,C.70

«80；D.80<A<90：£90W%W100),其中得分在B组这一范围内的成绩(单位：分)

分别是62,64,65,66,67,68,68,68,69,69,并将调杳结果绘制成如图所示的不

完整的统计图和统计表.

调查结果统计表

组别分数分组频数频率

A0«60b

B60WxV70100.5

C70«80a

D8()WxV9030.15

E90这10010.05

请根据以上信息解答下列问题：

(1)a=4,b=0.1.

(2)被随机抽取的20名学生成绩的中位数为68.5：

(3)若在扇形统计图中，C组所在扇形圆心角的度数是72°；

(4)规定成绩大于等于80分以上者学校将进行表彰，若该校共有1260人参加测试，请

估计学校这次表彰的人数是多少？

频数分布直方图

由频数分布图知，A的频数为2,

所以A的频率为b=2Q=0.1.

•••4=20-2-10-3-1=4.

故答案为：4,0.1.

（2）按得分从小到多排列，第十个数和第十一个数在8组，

第十个数是68,第十一个数是69.

68+69

所以随机抽取的20名学生成绩的中位数为1―=68.5.

故答案为：68.5.

4

（3）・・・C组的频数为4,其频率为菰=0.2,

・・・C组所在扇形圆心角的度数是:360°X0.2=72°.

故答案为：72。.

（4）样本中超过80分的频率为：0.15+0.05=0.2,

所以该学校这次表彰的人数是：1260X0.2=252（人）.

18.（6分）在最强大脑比赛中，假如比赛进行到最后，只留下了白宇鹏、朱科琪、张天扬、

黄若奕四人，现要从中随机抽出两人进行“1对1”的比赛，那么抽中白宇鹏和张天扬两

人进行“1对1”比赛的概率，与抽中白宇鹏与朱科琪进行“1对1”的比赛的概率相同

吗？为什么？请你用列表法或树状图统计概率.

（白宇鹏用字母人表示、朱科琪用字母B表示、张天扬用字母C表示、黄若奕用字母D

表示）

解：抽中白宇鹏和张天扬两人进行“1对1”比赛的概率，与抽中白宇鹏与朱科琪进行“1

对1”的比赛的概率相同，理由如下：

画树状图如下：

开始

ABCD

/1\/K/1\/T\

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，其中抽中白宇鹏和张天扬两人进行“1对1”比赛的结果有2

种，抽中白宇鹏与朱科琪进行“I对1”的比赛的结果有2种，

・••抽中白宇鹏和张天扬两人进行“1对1”比赛的概率=1=看抽中白宇鹏与朱科琪进

行“1对1”的比赛的概率=今=,

・••抽中白宇鹏和张天扬两人讲行“1对1”比赛的概率，与抽中白宇鹅与朱科琪讲行“1

对I”的比赛的概率相同.

19.（6分）某地惊现震撼的裸眼3。超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打R,小丽

想了解该LE。屏4B的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30

米到达台阶底端。点，在。点测得屏幕下端点8的仰角为27°,然后她再沿着i=4：3

长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达尸点，在尸

点测得屏幕上端点4的仰角为50°（4,B,C,D,E,凡G在同一个平面内，旦邑F

和C,。、G分别在同一水平线上），则该LEO屏48的高度约为多少米？（结果精确到

0.1,参考数据sin27°-0.45,cos27°^0.89,lan27°=0.51,sin500^0.77,tan500~

1.19)

解：过点E作EMJ_GC,垂足为M,延长所交AC于点N,

则EM=NC,EN=MC,

•・•自动扶梯DE的坡度i=4：3,

EM4

••—，

DM3

・••设EM=4x米，0M=3x米，

在RtAEMD中，DE=VFM2+DM2=7（4x）24-（3x）2=5x（米）,

•・・OE=35米，

:.5工=35,

/•x=7,

・，・NC=EM=28米，。”=21米，

•・・£>C=30米,

AEN=MC=DM+DC=51（米），

,：EF=45米，

/.FN=FE+EN=45+51=96（米），

在中，ZAFN=50°,

••・AN="N・tan50°^96X1.19=114.24（米）,

在Rt^QCB中，ZBDC=27°,

・・・8C=CO・tan27°^30X0.51=15.3（米），

：.AB=AN+CN-fiC=114.24+28-15.3^126.9（米），

・•・该LED屏AB的高度约为126.9米.

20.（8分）自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来FI益频繁，

某欧洲客商准备在湖南采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是

用750（）元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多

10元.

（1）求一件4,B型商品的进价分别为多少元？

(2)若该欧洲客商购进A,8型商品共250件进行试销，其中4型商品的件数不大于B

型的件数，且不小于80件.已知A型商品的售价为240元/件，8型商品的售价为220

元/件，且全部售出.设购进A型商品机件，求该客商销售这批商品的利润v与机之间

的函数关系式，并写出机的取值范围:

(3)在(2)的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A

型商品的利润中捐献慈善资金〃元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最

大收益.

解：(1)设一件8型商品的进价为x元，则一件4型商品的进价为(x+10)元.

160007500

由题意:---------=---------x2,

x+10x

解得x=150,

经检验x=150是分式方程的解，

答：一件8型商品的进价为150兀，则一件4型商品的进价为160兀.

(2)因为客商购进A型商品〃?件，所以客商购进B型商品(250-/〃)件.

由题意:v=80m+70(250-m)=10w+17500,

•••80《，启250-机，

••・80W〃？W125,

(3)设利润为w元.则w=(80-a)w+70(250-w)=(10-«)w+17500,

①当10-a>0时，即OVaV10时，卬随m的增大而增大，所以in=\25时，最大利润

为(18750-125t?)元.

②当10-。=0时，最大利润为17500元.

③当10-aVO时,即10VaW80时，卬随m的增大而减小,所以加=80时,最大利润

为(18300-80。)元.

21.(8分)如图，平行四边形A8C。的对角线AC、8。交于点O,分别过点C、。作CF

//BD,DF//AC,连接8/交AC于点£.

(1)求证：AFCEgABOE；

(2)当△AOC满足什么条件时，四边形OCFO为菱形？请说明理由.

D

c

(1)证明：'JCF//BD,DF//AC,

，四边形OCFO是平行四边形，ZOBE=ZCFE,

:.OD=CF,

,Z四功形ABCD是平行四功形，

・•・OB=OD,

:.OB=CF,

在△氏；£和ABOE中，

△OBE=乙CFE

乙BEO=LFEC,

WB=CF

：.4FCE9/\BOE(A4S)；

(2)解：当△AQC满足N4DC=90°时，四边形OCFO为菱形；理由如下：

VZ4DC=90°,四边形A8CO是平行四边形，

・•・四边形4BCD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

：・OC=OD,

・•・四边形OCFO为菱形.

22.(10分)如图，一小球M从斜坡04上的。点处枷出，球的抛出路线是抛物线的一部

分,建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数,v=*x刻画.若小球到达的

最高的点坐标为(4,8),解答下列问题：

(I)求抛物线的表达式；

(2)在斜坡。4上的B点有一棵树，A点的横坐标为2,树高为4,小球M能否飞过这

棵树？通过计算说明理由；

(3)求小球M在飞行的过程中离斜坡。A的最大高度.

解：(1)•・•小球到达的最高的点坐标为(4,8),

，设抛物线的表达式为)，=。(x-4)2+8,

把(0,0)代入得，0=a(0-4)2+8,

解得：a=

・•・抛物线的表达式为)=一2(x-4)2+8：

(2)当x=2时，y\=ix=1,y2=-i(x-4)2+8=6,

乙乙

V6-1>4,

・•・小球M能飞过这棵树；

(3)小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度仁-1(x-4)2+8-ir=-1(x-^)2+^,

49

・•・小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为

8

23.(1()分)有一天，小强遇到一个很有意思的问题，如图，边长是7的大正三角形图中一

共有多少个等边三角形？为了解决这个问题，小强很是费了一番脑筋，最后，他决定从

(1)在边长为2的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2个，正立的边长为2的正三

角形有1个，倒立的正二角形有1个.

（2）在边长为3的图中，正立的边长为I的正三角形有1+2+3个，正立的边长为2的正

三角形有1+2个，正立的边长为3的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2

个.

（3）在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有1+2+3+4个，正立的边长为2

的正三角形有1+2+3个,正立的边长为3的正三角形有止2个,正立的边长

为4的正三角形有1个；倒立的边长为1的正三角形有1+2+3个，倒立的边长为2的

正三角形有1个.

（4）在边长为5的图中，正立的边长为1的正三角形有1+23+4+5个，正立的边长为2

的正三角形有1+2+3+4个,正立的边长为3的正三角形有1+2+3个,正立的

边长为4的正三角形有1+2个，正立的边长为5的正三角形有1个，；倒立的边长为

1的正三角形有1+2+3+4个，倒立的边长为2的正三角形有1+2个;

（5）那么小强开始遇到的问题，可以解决了，如图边长是7的大正三角形中，一共有118

个等边三角形.

（6）解决问题后的小强异常兴奋，再接再厉，又解决了另一个很有挑战的问题:

在如图所示的图中，一共有46个等边三角形.

解：（3）结合图中的等边三角形和（1）（2）中的方法得：

在边长为4的图中，正立的边长为1的正三角形有I+2+3+4个，正立的边