湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高二上学期12月创高杯考试数学试题（解析版）

第1页/共1页创新高级中学2024年下学期高二创高杯考试（科目：数学）（命题人：杨远帆）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．在本卷答题无效请将答案正确填写在答题卡上;3.卷Ⅰ请用2B铅笔填涂在对应位置中；4.考试结束后请将答题卡交回即可.考试时间：120分钟，满分150分卷I（选择题共计58分）一、选择题（本题共计8小题，每题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知椭圆的两个焦点分别为，，点是上一点，且，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义可求得，代入点的坐标，可求得，可求椭圆方程.【详解】因为点是椭圆上一点，且，所以，解得，所以椭圆方程为，又点是椭圆上一点，所以，解得，所以椭圆的方程为.故选：B.2.已知数列满足，则（）A.23 B. C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】因为，，所以，，，．故选：C3.已知，则向量与的夹角是（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】C【解析】【分析】计算出即可求解.【详解】因为，所以向量与的夹角是.故选：C.4.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可.【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件；当与直线平行时，，则∴或，当时显然成立，当时，，，整理后与重合，故舍去，∴，满足必要条件；∴“”是“直线与直线平行”的充要条件故选：C5.在棱长为1的正方体中，点为棱上任意一点，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】基底法结合数量积的运算律和正方体的性质即可求解.【详解】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，，所以.故选：A.6.等差数列中，，则A.12 B.14 C.16 D..18【答案】D【解析】【分析】先由等差数列的概念得到公差d，再由等差数列的通项得到即可.【详解】等差数列中，，故答案为D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.7.已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据是边长为的等边三角形，求出和，再根据求解、，即可求得双曲线方程.【详解】因为是边长为的等边三角形，所以，，所以渐近线的斜率，因为，解得，所以双曲线的方程为：.故选：D8.，函数的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两点之间的距离及点到直线的距离公式计算即可.【详解】设点，和直线，到l的距离分别为，易知，显然.当且仅当重合时取得等号.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，根据圆心到直线距离公式计算即可.【详解】由题知，圆，圆心为，半径为，因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离，对于A，圆心为到直线的距离，故A错误；对于B，圆心为到直线的距离，故B正确；对于C，圆心为到直线的距离，故C正确；对于D，圆心为到直线的距离，故D正确；故选：BCD10.已知曲线C：，下列说法正确的是（）A.若，则C为双曲线B.若且，则C为焦点在x轴上的椭圆C.若，则C不可能表示圆D.若，则C为两条直线【答案】AB【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可判断AD，由椭圆的标准方程即可判断B，由圆的标准方程即可判断C.【详解】若，则C为双曲线，所以A正确；若且，则，，所以C为焦点在x轴上椭圆，所以B正确；若，当时，C是单位圆，所以C不正确；若，则C为双曲线，所以D不正确.故选：AB11.如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.点到平面距离为B.直线与平面所成角的余弦值的取值范围为C.若线段的中点为，则一定平行于平面D.四面体的体积为【答案】AC【解析】【分析】建系，求平面的法向量.对于A：利用空间向量求点到面的距离；对于B：利用空间向量求线面夹角；对于C：利用空间向量证明线面平行；对于D：结合锥体体积公式求结论.【详解】如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，设，可得，设平面的法向量，则，令，则，所以为平面的一个法向量，对于选项A：点到平面的距离为，故A正确；对于选项B：设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦的取值范围为，所以直线与平面所成角的余弦的取值范围为，故B错误；对于选项C：由题意可知：，则，可得，可知，且平面，所以一定平行于平面，故C正确；对于选项D：由题意知，所以四面体的体积为，故D错误；故选：AC.三、填空题（本题共计3小题，每题5分，共计15分）

12.数列的前项和，则的通项公式为__________．【答案】【解析】【分析】利用递推关系当时，；当时，，再验证时的情形即可得出结果．【详解】∵，∴时，．当时，，当时，不满足，则数列的通项公式为：，故答案为．【点睛】本题主要考查了递推关系、数列通项公式与前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.在棱长为1正方体中，为线段的中点，则到平面的距离为______；【答案】【解析】【分析】以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，求出面的一个法向量，再利用点到面的距离公式求解即可.【详解】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设面的一个法向量为，则，当，面的一个法向量为，则到平面的距离.故答案为：【点睛】本题考查空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是基础题.14.双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则______.【答案】【解析】【分析】可设，，根据双曲线的定义及是以为直角顶点的等腰直角三角形，得，，，求得.再在中，用勾股定理，得到关于的方程，运用离心率公式计算即可.【详解】解：设，，由，，又，，又，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，即，，在中，，，即，.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题.四、解答题（本题共计5小题，15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分，共计77分）15.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）数列满足，，求数列的前10项和.【答案】（1）（2）45【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式、前项和公式求基本量，即可写出通项公式；（2）由，应用等差数列前项和公式求和即可.【小问1详解】设公差为，由题设有，解得，，所以.【小问2详解】由题设，.所以数列的前10项和为45.16.已知为坐标原点，点和直线，点是点关于直线的对称点，且点满足.（1）求点的坐标及点的轨迹方程；（2）若点的轨迹与直线有公共点，求的取值范围.【答案】（1），轨迹方程为；（2）或【解析】【分析】（1）设，根据斜率之积和中点坐标得到方程组，求出，设Px,y，直接法求出点的轨迹方程为；（2）圆心12,0到的距离小于等于半径，列出不等式，求出答案【小问1详解】设，则，解得，故，设Px,y，则，整理得，故点的轨迹方程为；【小问2详解】与直线有公共点，则圆心12,0到的距离小于等于半径，即，解得或，的取值范围是或.17.如图，已知多面体的底面为矩形，四边形为平行四边形，平面平面是的中点.（1）证明：平面；（2）在棱（不包括端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）取中点，取中点，通过证明平面，从而建立空间坐标系，求出平面的法向量，说明即可；（2）求出平面法向量和平面的法向量，利用平面与平面的夹角为建立等式，求解即可.【小问1详解】如图，取中点，取中点，连接，,因为为等边三角形，所以，因为平面平面，又平面，平面平面，所以平面，又底面为矩形，则.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由题意可得，，，已知是的中点.则，可知，，由四边形为平行四边形，得，设平面的法向量n=x,y,z则，取，得，则平面的一个法向量,故，则.且平面，则平面.【小问2详解】设.设.因为，所以.于是有.所以.又.设平面法向量，则即,所以平面的一个法向量为.平面的一个法向量为.则，化简得.所以无实数解，不存在这样的点.18.设集合，其中．若对任意的向量，存在向量，使得，则称A是“T集”．（1）设，判断M，N是否为“T集”．若不是，请说明理由；（2）已知A是“T集”．若A中的元素由小到大排列成等差数列，求A；【答案】（1）是“集”，不是“集”，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）根据“T集”的定义判断即可；（2）写出等差数列通项，得到向量的坐标，再分类讨论即可.【小问1详解】是“集”，不是“集”，理由如下：对于集合M，当或时，只要横纵坐标相等即可，则满足，当，则；当，则；当，则；当，则；综上所述是“集”.对于集合N，对于向量，若存在，使得，则，故中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合，则不是“集”.【小问2详解】因为中的元素由小到大排列成等差数列，则该等差数列的首项为，且公差为2，故.则向量的坐标中必含，设另一坐标为，则或.所以或，故或，所以或，所以或，所以或即.此时，不满足;或，满足;所以只可能为.经检验是“集”，所以.19.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，分别为的左，右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合.（1）求椭圆与抛物线的标准方程；（2）过焦点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，为过点且垂直于轴的直线上异于的一点.（i）若，求直线的方程；（ii）设的斜率分别为，求的值.【答案】（1），（2）（i）或；（ii）2【解析】【分