拉普拉斯变换的数学方法

2025/3/191控制工程理论基础

第二章拉普拉斯变换数学方法第1页2025/3/192提要2.1复数和复变函数2.2拉氏变换与反拉氏变换定义2.3经典时间函数拉氏变换2.4拉氏变换性质2.5拉氏反变换数学方法2.6用拉氏变换解常微分方程第2页2025/3/193拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。

是分析研究线性动态系统有力工具。时域微分方程复数域代数方程

系统分析大为简化直接在频域中研究系统动态性能拉氏变换第3页2025/3/194引言复数和复变函数（1）复数概念其中，均为实数。为虚单位。（2）复数表示法点表示法向量表示法三角函数表示法指数表示法第4页2025/3/195引言复数和复变函数（3）复变函数概念为自变量。第5页2025/3/196例：第6页2025/3/197当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm为G(s)零点；当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm

为G(s)极点。第7页2025/3/1982.2拉氏变换与拉氏反变换定义1、拉氏变换有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)拉氏变换记作：L[f(t)]或F(s)，并定义为：(2－1)f(t)拉氏变换F(s)存在两个条件：（1）在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；（2）当t→∞时，f(t)增加速度不超出某一指数函数，即满足：该条件使得积分绝对值收敛。第8页2025/3/1992.2拉氏变换与拉氏反变换定义2、拉氏反变换已知f(t)拉氏变换F(s)，求原函数f(t)

过程称作拉氏反变换，记作：定义为以下积分：其中：s为大于F(s)全部奇异点实部实常数。(2－2)第9页2025/3/19102.3经典时间函数拉氏变换1单位阶跃函数定义为：单位阶跃函数拉氏变换为：第10页2025/3/19112.3经典时间函数拉氏变换2单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数主要性质：单位脉冲函数拉氏变换为：第11页2025/3/19122.3经典时间函数拉氏变换3单位斜坡函数定义为：单位斜坡函数拉氏变换为：第12页2025/3/19132.3经典时间函数拉氏变换4指数函数定义为：指数函数拉氏变换为：第13页2025/3/19142.3经典时间函数拉氏变换5正弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：6余弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：第14页2025/3/19152.3经典时间函数拉氏变换7幂函数（作业）其拉氏变换为：例：惯用时间函数拉氏变换表，可经过直接查表求时间函数拉氏变换。第15页2025/3/19162.4拉氏变换性质1.线性性质－线性变换(2-3)第16页2025/3/19172.4拉氏变换性质2.实数域位移定理－延时定理(2-4)其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒延时函数，且：第17页2025/3/1918例2.3图2－10所表示方波拉氏变换。图示方波函数表示为：利用单位阶跃函数拉氏变换，以及拉氏变换线性性质和延时定理：第18页2025/3/1919例2.4求图2－11所表示三角波拉氏变换。图示三角波函数表示为：利用单位斜坡函数拉氏变换，以及拉氏变换线性性质和延时定理：第19页2025/3/19202.4拉氏变换性质3.周期函数拉氏变换设f(t)是以T为周期周期函数，即：则f(t)拉氏变换为：第20页2025/3/19212.4拉氏变换性质4.复数域位移定理(也称衰减定理)第21页2025/3/19222.4拉氏变换性质5.相同定理（也称尺度定理）第22页2025/3/19232.4拉氏变换性质6.微分定理7.积分定理第23页2025/3/1924Back8终值定理原函数f(t)稳态性质

sF(s)在s=0邻域内性质第24页2025/3/1925Back9初值定理第25页2025/3/19262.4拉氏变换性质10.tf(t)拉氏变换11.f(t)/t拉氏变换第26页2025/3/19272.4拉氏变换性质12.卷积定理函数f(t)和g(t)卷积定义为：拉氏变换卷积定理：若函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存在条件，则f(t)和g(t)卷积拉氏变换一定存在，且：其中，函数f(t)和g(t)满足：当t<0时，f(t)=g(t)=0第27页2025/3/19281.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出

式中C是实常数，而且大于F(s)全部极点实部。直接按上式求原函数太复杂，普通都用查拉氏变换表方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一个能直接查到原函数形式。2.5拉氏反变换数学方法第28页2025/3/19292.5拉氏反变换数学方法拉氏反变换数学方法有：(1)查表法－简单象函数；(2)有理函数法－需要复变函数留数定理；(3)部分分式法－复杂象函数简化为几个简单部分分式之和，分别求各分式原函数，即可得总原函数；(4)利用MATLAB求解。第29页2025/3/1930

若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式拉氏变换在表中能够查到。例1：例2：求逆变换。解：第30页2025/3/19311.部分分式法求原函数第31页2025/3/1932第32页2025/3/1933第33页2025/3/1934第34页2025/3/1935第35页2025/3/1936第36页2025/3/1937第37页2025/3/1938第38页2025/3/19392.使用MATLAB函数求解原函数

利用MATLAB中函数residue将原函数展开成部分分式，然后查拉氏变换表格得到原函数。函数格式：[r,p,k]=residue(b,a);%返回多项式b/a之比部分分式展开项中残差、极点和直接项。[b,a]=residue(r,p,k)；%将部分分式展开项还原成多项式第39页2025/3/1940Forexample:Num=10*[12];%定义分子多项式Den=poly([-1;-3;-4])；%定义分母多项式[res,poles,k]=residue(num,den)；展开num/den残差、极点和直接项分别为：Res=[-6.6667;5.0000;1.6667]Poles=[-4;-3;-1]K=[];Note:(x+1)(x+3)(x+4)=x^3+8x^2+19x+12第40页2025/