重庆市西南大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月综合练习数学试题 含解析

综合练习题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意知，即点A到两定点的距离之和为定值，所以为椭圆；又，所以轨迹方程为．考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的性质．2.在四棱柱，，为与（）第1页/共22页A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】,故选：C.3.设数列满足，且，则（）A.-2B.C.D.3【答案】A【解析】【分析】判断出数列的周期为4，即可求解.【详解】因为，，所以，，，，显然数列的周期为4，而，因此.故选：A.4.已知等差数列的前n项和为，则（）A.6B.7C.8D.10【答案】C【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列为等差数列，则，第2页/共22页又，则，即，则.故选：C5.已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：设，由点到直线距离公式有，最小值为.考点：直线与圆锥曲线位置关系．6.已知抛物线的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，若，则的最小值是（）A.6B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小，进而可推断出当三点共线时最小，即可求出结果．【详解】抛物线的准线为，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，，第3页/共22页要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时，最小，即最小为，即的最小值是.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当三点共线时，最小最小是解题的关键．7.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据在上递增，利用同构法求解即可．【详解】解：构造，则在上显然递增，由得，即，，，第4页/共22页令，则，由得，递增，由得，递减，，．故选：B．【点睛】本题解题的关键是看到“指对跨阶”要想到同构，同构后有利于减少运算，化烦为简．8.已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】,整理得：，令，且，则，求导：在上单增，在上单减，而时，；如图由题意可知有一个根内，另一个根或或，当时，方程无意义；当，不满足题意；第5页/共22页则；由二次函数的性质可知，即，解得，故选B.二、多选题：本题共3小题，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，点在抛物线上，则（）A.双曲线的离心率为2B.双曲线的渐近线为C.D.点到抛物线焦点的距离为6【答案】AC【解析】AB据题意，列出方程，可判定C正确；根据抛物线的定义，可判定D错误.【详解】由双曲线，可得，则，所以双曲线的离心率为，所以A正确；由双曲线的渐近线为，所以B错误；由抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，可得，解得，所以C正确；由抛物线的准线方程为，则点到其准线的距离为，到焦点的距离也为4，所以D错误.故选：AC.10.已知正方体的棱长为4，为上靠近的四等分点，为上靠近的四等分点，为四边形平面，则下列结论正确的是（）A.线段长度的最小值为B.三棱锥的体积为定值第6页/共22页C.平面D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】BC【解析】【分析】连接，，取上靠近的四等分点，连接，，，说明点的轨迹为线段A即可判断B；根据线面平行的判定定理即可判断C出及点到平面的距离，进而可求出线面角，即可判断D.【详解】如图，连接，，取上靠近的四等分点，连接，，，因为，，所以，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为面平面，平面平面，平面平面，所以，又平面，平面，所以平面，由题知平面，所以点的轨迹为线段，由，在等腰中，当时线段的长度最小，且，故A错误；对于B，∵为定值，到平面的距离等于平面的距离，即，由等体积法，∴，故三棱锥的体积为定值，B正确；对于C，因为，平面，平面，第7页/共22页所以平面，C正确；对于D，，则，即，点到平面的距离为4，故直线与平面所成角的正弦值为，D错误．故选：BC已知三次函数有极小值点，则下列说法中正确的有（）A.B.函数有三个零点C.函数的对称中心为D.过可以作两条直线与的图象相切【答案】ACD【解析】【分析】根据题意可得，即可判断A；求出函数的单调区间及极值，即可判断B；求出即可判断C求出切点，即可判断D.第8页/共22页详解】，因为函数有极小值点，所以，解得，所以，，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又所以函数仅有个在区间上的零点，故A正确，故B错误；对于C，由，得，所以函数的图象关于对称，故C正确；对于D，设切点为，则，故切线方程为，又过点，所以，整理得，即，解得或，所以过可以作两条直线与的图象相切，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．12.已知数列的前项和为，且点总在直线上，则数列的前项和______.【答案】第9页/共22页【解析】【分析】由与的关系求出的通项公式，用错位相减法求.【详解】数列的前项和为，且点总在直线上，所以.当时，，两式相减得，，又，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，∴，∴，则，所以，两式相减得：.所以，所以数列的前项和.故答案为：13.函数的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴第10页/共22页故答案为：1.14.如图所示，已知M，N为双曲线上关于原点对称两点，点M与点Q关于x轴对称，，直线交双曲线右支于点P，若，则_____________．【答案】【解析】【分析】设利用点差法得到，即可求出离心率；【详解】解：设，则．由，得，从而有，又，所以，又由，从而得到所以，所以．故答案为：(或离心率的取值范围)种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于abcb2＝c2－a2转化为ac(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．第11页/共22页四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数，､，若在处与直线相切.（1）求，的值；（2）求在上的极值.【答案】（1）2）极大值为，无极小值.【解析】【分析】（1）求得函数额导数，根据题意列出方程组，即可求得的值；（2）由（1）得，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.1）由题意，函数，可得，因为函数在处与直线相切，所以，即，解得.（2）由（1）得，定义域为，且，令，得，令，得.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的极大值为，无极小值.16.已知数列的前项和为，，当时，．（1）求第12页/共22页（2）设，求数列的前项和为．【答案】（1）（2）【解析】1）利用与的关系及等差数列的定义，结合等差数列的通项公式即可求解；（2）利用（1）的结论及数列求和中的错位相减法即可求解.【小问1详解】当时，，所以，，整理得：，即．当时，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，即．【小问2详解】由知，所以，所以，所以，由得，，所以.17.记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；第13页/共22页（2）若，求.【答案】（12）.【解析】1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的值.1）设的外接圆半径为R，由正弦定理，得，因为，所以，即．又因为，所以．（2）方法一因为，如图，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因为，所以，解得或，当时，当时，．第14页/共22页所以．方法二：等面积法和三角形相似如图，已知，则，即，而，即，故有，从而．由，即，即，即，故，即，又，所以，则．方法三：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化简得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．第15页/共22页方法四：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E，则．由，得．在中，．在中．因为，所以，整理得．又因为，所以，即或．下同解法1．方法五：平面向量基本定理因为，所以．以向量为基底，有．所以，即，又因为，所以．③第16页/共22页由余弦定理得，所以④联立③④，得．所以或．下同解法1．方法六：建系求解以D为坐标原点，所在直线为x轴，过点D垂直于直线为y轴，长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则．由（1）知，，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设，则．⑤由知，，即．⑥联立⑤⑥解得或，代入⑥式得，由余弦定理得．【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似第17页/共22页是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.18.已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．（1）当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程：（2）对于（1）问中抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值．【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】1达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程；（2的定值．【小问1详解】由题意知，设直线的方程为，由得：，所以所以，所以，故抛物线的方程为；【小问2详解】由（1）抛物线的方程为，当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，第18页/共22页故直线的斜率不为0，故可设的方程为消去得：，设，则：所以：，即所以：19.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；第19页/共22页(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因为平面，所以.（2）方法一：通性通法—坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y