数学知识导引算法的含义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精5．1算法的含义案例探究有8个小球，其中7个重量相同，仅有一个较重，用天平如何称出那个重的小球．方法1:把8个小球分成四组，依次将每组放在天平上，直到某一组不平衡，就可确定重的小球，最多需称4次．方法2：(1）从8个小球中任取6个小球，将这6个小球每边3个置于天平上；（2）若天平平衡,则表明重的小球在剩余的2个小球中，只需将那两个小球放在天平上再称1次就可找到重的那个小球;（3)若天平不平衡，则从较重的一边的3个球中任取两个球称量，若平衡，则剩下的那个即为要找的小球，若不平衡，则重的那边就是要找的小球．我们做任何事情，都是在一定条件下按某种顺序执行一系列操作．解决数学问题也常常如此，这就是本节内容要研究的算法思想．自学导引一般而言，对一类问题机械的、统一的求解方法称为算法．1．算法概念的理解（1）算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确有效的，而且能在有限步骤之内完成．(2)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别，它们之间是特殊与一般的关系,也是抽象与具体的关系．算法的获得要借助一般意义上具体问题的求解方法，而任何一个具体问题都可以利用这类问题的一般算法来解决．（3）算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点,同时又有高度的抽象性、概括性、精确性,所以算法在解决问题中更具条理性、逻辑化特点．2．算法的五个特点（1）概括性：写出的算法必须能解决一类问题，并且能重复使用．例如：给出求解方程组的一个算法．解析：解这个方程组的步骤是：第一步:②-①×2得5y=3；③第二步：解③得y=；第三步:将y=代入①，得x=．像上例二元一次方程组的求解问题，也适用于其他二元一次方程组的求解．（2）正确性与顺序性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的,从而组成了一个有着很强逻辑性的序列．（3)有限性：算法有明确的开始和结束界限，终止时表示问题得到解答或指出问题没解，是在有限步骤内求解某一问题．（4）不唯一性：求解某一问题的算法不是唯一的，可以有不同的算法．当然这些算法有繁简之分，但是都能解决这一类问题．（5）普遍性：很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决，例如，手算、心算、用算盘、用计算器算都要经过有限的、事先设计好的步骤来实现．同样的一个工作计划，生产流程都可以视为算法．疑难剖析算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础．随着现代信息技术的飞速发展,算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的方方面面，算法思想已成为现代人应具备的一种数学素养．算法是高中数学课程的新增内容,其思想方法是非常重要的．【例1】试写出求解二元一次方程组的算法．思路分析:本题主要考查二元一次方程组的解的算法．不妨设二元一次方程组为对于求方程的根,解方程组这样的数值性的问题，我们都有具体的计算方法,只要我们把平时的计算方法严格地按步骤把它描述出来即可．因此我们很容易得到下面的算法．解:由于是二元一次方程组,故方程组中a11、a21不能同时为0．第一步,假定a11≠0（如果a11=0，可将第一个方程与第二个方程互换），①×(-）+②得到(a22-）x2=b2-．即方程组可化为第二步，如果a11a22—a21ax2=⑤第三步，将⑤代入③,整理得到x1=⑥第四步，输出结果x1、x2．如果a11a22-a21a嗣位启示:从本例可以发现,求解某个问题的算法不同于求解一个具体问题的方法，算法必须能够解决一类问题．并且能够重复使用；算法过程要能一步一步地执行,每一步操作必须确切，能在有限步后得出结果．变式训练：1．试写出求一元二次方程ax2+bx+c=0的根的算法．解：第一步：计算Δ=b2-4ac；第二步:如果Δ<0．则原方程无实数解，否则（Δ≥0）第三步：输出x1，x2或无实数解的信息．2．试写出求x2—5x—6>0的解的算法．解:第一步：求对应方程x2-5x-6=0的两根x1=—1，x2=6．第二步：写出解集{x|x>6或x<-1}．【例2】写出求1+2+3+4+5+6的一个算法．思路分析1：按照逐一相加的程序进行．解法1：第一步：计算1+2,得3；第二步:将第一步中的运算结果3与3相加得6；第三步：将第二步中的运算结果6与4相加得10;第四步：将第三步中的运算结果10与5相加得15;第五步：将第四步中的运算结果15与6相加得21．思路分析2：可以运用公式1+2+3+…+n=；直接计算．解法2：第一步:取n=6；第二步：计算；第三步：输出运算结果．思维启示：题目尽管简单，还是要一步一步地做．否则就不能利用上述算法解决这一类问题．变式训练:写出求1×2×3×4×5×6的值的算法．解：第一步:计算1×2，得2；第二步:将第一步中的运算结果2与3相乘得6;第三步：将第二步中的运算结果6与4相乘得24；第四步：将第三步中的运算结果24与5相乘得120；第五步：将第四步中的运算结果120与6相乘得720．【例3】已知球的半径R=5，写出求球的体积V的一个算法．思路分析：算法具有普遍性,过去学过的许多公式的应用都是算法，描述算法时只要将问题的解答分为明确的步骤即可．解：第一步:输入球的半径R=5；第二步：用球的体积公式V=πR3,计算V的值；第三步：输出V．思维启示：平时我们解题的一般步骤只注重第二步,其他步骤往往忽略了,算法却讲究“一步一步地去做"．像这类套用现成公式求值的题一般分为三步：“第一步输入需要的值，第二步套用公式，第三步输出结果．”【例4】写出一个求解任意二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最值的算法．思路分析：由二次函数的知识得，当a〉0时，函数有最小值;当a<0时，函数有最大值．解:算法步骤如下：第一步：输入a、b、c;第二步：计算m=第三步：若a〉0，输出最小值m;第四步：若a〈0,输出最大值m．变式训练:写出求点M(1,2)到直线3x+5y—6=0的距离的算法．解：第一步：输入点M的坐标x0=1,y0=2及直线方程的系数A=3,B=5，C=-6；第二步：计算P=Ax0+By0+C；第三步：计算Q=A2+B2；第四步：计算d=；第五步:输出D．【例5】一列快车长168米，一列慢车长184米．如果两车相向而行,从相遇到离开需4秒，如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16秒钟，求两车的速度．思路分析:本题是一个实际的数值问题,对于这样的问题一定要建立它的数学模型;按照数学的处理方案一步一步地具体化，两车相向而行，则其相对速度为速度之和，两车同向而行，则其相对速度为速度之差，相对移动的距离均为两辆火车的长度之和．第一步：设快车时速为x公里/小时，慢车时速为y公里/小时,可以得到如下方程组:第二步：将其化简得第三步:将①+②得x=55；③第四步：将③代入①或②得y=33．思维启示：本题的关键是将具体的问题转化为数学模型，只要掌握了这个过程，则对于描述本题的算法就是解方程组的步骤了．【例6】现有有限个正整数，试设计一个求这些有限个正整数中最大数的算法．思路分析：如果让我们从10个、8个正整数中找出最大数，也许是一件很简单的事，我们一眼就能看出结果．但如果给我们100个、1000个,甚至更多的数,那么找出其中最大的数就是一件很困难的事了．我们必须依靠算法来解决这个问题．我们可以设想有一个基础数(如第一个数），让它作为其中的最大数，然后将第二个数与这个基础数比较，将这两者中的较大者再作为基础数与第三个数进行比较，找出其中的较大者,将其作为基础数再与第四个数比较,依次下去,直到与最后一个数比较完毕，就能确定出有限个正整数中的最大数．解：算法步骤用自然语言叙述如下：第一步：先假定这些正整数中的第一个数为“最大值”;第二步：将这些整数中下一个数与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”,这时就假定“最大值"是这个整数;第三步：如果还有其他正整数，重复第二步;第四步：一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这有限个正整数中的最大值．思维启示：一种算法,就是要求我们去按部就班地做，每做一步都有唯一的结果，并且对任意的有限个正整数都适用，且在有限步之后，总能得出结果．拓展迁移【拓展点1】写出求1×2×3×…×9×10的值的算法．解法1:可用最原始的方法进行计算．第一步,先求1×2,得到结果2;第二步，将第一步所得结果2再乘以3，得到结果6；第三步，将6再乘以4,得到24；第四步，将24再乘以5，得到120;……第九步，将362880再乘以10,得到3628800，即是最后结果．虽然这样的算法是正确的，但过于繁琐．如果要求1×2×…×10000的值，则要写9999个步骤，显然是不可取的，而且每次都直接使用上一步的数值结果（如2，6，24等)也不方便，应当找到一种通用的方法．通过分析可发现规律，乘数是前一个加1．利用这一规律,可以得到第二种算法．解法2:可以设两个变量,一个代表被乘数,一个代表乘数，不另设变量存放乘积结果，而直接将每一步的乘积放在被乘数变量中．现在设p为被乘数，i为乘数．用循环算法来求结果，可将算法改写如下．第一步:使p=1．第二步：使i=2．第三步：使p=p×i(乘积仍放在变量p中）．第四步：使i=i+1(使i的值加1）．第五步：如果i≤10，则返回重新执行步骤第三步,以及其后的步骤第四步和第五步，否则算法结束．【拓展点2】试写出求1+2+3+4+5+…+n的算法．思路分析:如果仅仅几个数相加．我们可以一个一个地相加．其实那也是一种算法．从例题2可以看出，我们每一步都是在重复运算，不同的是运算的数值不一样．但是运算的数值是有规律的．因此可以引进两个变量，一个是sum代表和,一个是i,先设sum=0，i=1,i的值在变化,sum的值变化．解:第一步：设i的值为1；第二步：设sum的值为0；第三步：如果i≤n执行第四步,否则转去执行