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文档简介
吉林省长春市外国语学校2024年中考数学仿真试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,平面直角坐标系xOy中,四边形OABC的边OA在x轴正半轴上,BC∥x轴,∠OAB=90°,点C(3,2),连接OC.以OC为对称轴将OA翻折到OA′,反比例函数y=的图象恰好经过点A′、B,则k的值是()A.9 B. C. D.32.在2016年泉州市初中体育中考中,随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为:158,160,154,158,170,则由这组数据得到的结论错误的是()A.平均数为160 B.中位数为158 C.众数为158 D.方差为20.33.对于反比例函数y=(k≠0),下列所给的四个结论中,正确的是()A.若点(3,6)在其图象上,则(﹣3,6)也在其图象上B.当k>0时,y随x的增大而减小C.过图象上任一点P作x轴、y轴的线,垂足分别A、B,则矩形OAPB的面积为kD.反比例函数的图象关于直线y=﹣x成轴对称4.函数y=中,自变量x的取值范围是()A.x>3 B.x<3 C.x=3 D.x≠35.如图,I是∆ABC的内心,AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI,BD,DC下列说法中错误的一项是()A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合6.九章算术是中国古代数学专著,九章算术方程篇中有这样一道题:“今有善行者行一百步,不善行者行六十步,今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步及之?”这是一道行程问题,意思是说:走路快的人走100步的时候,走路慢的才走了60步;走路慢的人先走100步,然后走路快的人去追赶,问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人?如果走路慢的人先走100步,设走路快的人要走
x
步才能追上走路慢的人,那么,下面所列方程正确的是A. B. C. D.7.如图,线段AB两个端点的坐标分别为A(2,2)、B(3,1),以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD,则端点C的坐标分别为()A.(4,4) B.(3,3) C.(3,1) D.(4,1)8.如图,AB为⊙O直径,已知为∠DCB=20°,则∠DBA为()A.50° B.20° C.60° D.70°9.计算-4-|-3|的结果是()A.-1B.-5C.1D.510.下列四个图案中,不是轴对称图案的是()A. B. C. D.11.如图,点E是矩形ABCD的边AD的中点,且BE⊥AC于点F,则下列结论中错误的是()A.AF=CF B.∠DCF=∠DFCC.图中与△AEF相似的三角形共有5个 D.tan∠CAD=12.要使式子有意义,x的取值范围是()A.x≠1 B.x≠0 C.x>﹣1且≠0 D.x≥﹣1且x≠0二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图,△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,DE∥AC,若DB=4,AB=6,BE=3,则EC的长是_____.14.为选拔一名选手参加全国中学生游泳锦标赛自由泳比赛,我市四名中学生参加了男子100米自由泳训练,他们成绩的平均数及其方差s2如下表所示:甲乙丙丁1′05″331′04″261′04″261′07″29s21.11.11.31.6如果选拔一名学生去参赛,应派_________去.15.反比例函数y=的图象是双曲线,在每一个象限内,y随x的增大而减小,若点A(–3,y1),B(–1,y2),C(2,y3)都在该双曲线上,则y1、y2、y3的大小关系为__________.(用“<”连接)16.分解因式:x3-9x17.如图,是一个正方体包装盒的表面展开图,若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数,使得将这个表面展开图折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则填在B内的数为______.18.因式分解:3a3﹣3a=_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,已知⊙O中,AB为弦,直线PO交⊙O于点M、N,PO⊥AB于C,过点B作直径BD,连接AD、BM、AP.(1)求证:PM∥AD;(2)若∠BAP=2∠M,求证:PA是⊙O的切线;(3)若AD=6,tan∠M=,求⊙O的直径.20.(6分)已知A=ab(a-b)-ba(a-b).化简A;如果a、b21.(6分)已知:二次函数C1:y1=ax2+2ax+a﹣1(a≠0)把二次函数C1的表达式化成y=a(x﹣h)2+b(a≠0)的形式,并写出顶点坐标;已知二次函数C1的图象经过点A(﹣3,1).①求a的值;②点B在二次函数C1的图象上,点A,B关于对称轴对称,连接AB.二次函数C2:y2=kx2+kx(k≠0)的图象,与线段AB只有一个交点,求k的取值范围.22.(8分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC交⊙O于点E,交BC于点D,过点E做直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.23.(8分)计算:(1)(2)24.(10分)现有一次函数y=mx+n和二次函数y=mx2+nx+1,其中m≠0,若二次函数y=mx2+nx+1经过点(2,0),(3,1),试分别求出两个函数的解析式.若一次函数y=mx+n经过点(2,0),且图象经过第一、三象限.二次函数y=mx2+nx+1经过点(a,y1)和(a+1,y2),且y1>y2,请求出a的取值范围.若二次函数y=mx2+nx+1的顶点坐标为A(h,k)(h≠0),同时二次函数y=x2+x+1也经过A点,已知﹣1<h<1,请求出m的取值范围.25.(10分)如今很多初中生购买饮品饮用,既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销,为此数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查,大致可分为四种:A:自带白开水;B:瓶装矿泉水;C:碳酸饮料;D:非碳酸饮料.根据统计结果绘制如下两个统计图(如图),根据统计图提供的信息,解答下列问题:(1)请你补全条形统计图;(2)在扇形统计图中,求“碳酸饮料”所在的扇形的圆心角的度数;(3)为了养成良好的生活习惯,班主任决定在自带白开水的5名同学(男生2人,女生3人)中随机抽取2名同学担任生活监督员,请用列表法或树状图法求出恰好抽到一男一女的概率.26.(12分)如图,在一个平台远处有一座古塔,小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°,在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°.已知平台的纵截面为矩形DCFE,DE=2米,DC=20米,求古塔AB的高(结果保留根号)27.(12分)如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图,已知底座BC的长为0.60m,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,点A、H、F在同一条直线上,支架AH段的长为1m,HF段的长为1.50m,篮板底部支架HE的长为0.75m.求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数.求篮板顶端F到地面的距离.(结果精确到0.1m;参考数据:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414)
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、C【解析】
设B(,2),由翻折知OC垂直平分AA′,A′G=2EF,AG=2AF,由勾股定理得OC=,根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′(,),根据反比例函数性质k=xy建立方程求k.【详解】如图,过点C作CD⊥x轴于D,过点A′作A′G⊥x轴于G,连接AA′交射线OC于E,过E作EF⊥x轴于F,设B(,2),在Rt△OCD中,OD=3,CD=2,∠ODC=90°,∴OC==,由翻折得,AA′⊥OC,A′E=AE,∴sin∠COD=,∴AE=,∵∠OAE+∠AOE=90°,∠OCD+∠AOE=90°,∴∠OAE=∠OCD,∴sin∠OAE==sin∠OCD,∴EF=,∵cos∠OAE==cos∠OCD,∴,∵EF⊥x轴,A′G⊥x轴,∴EF∥A′G,∴,∴,,∴,∴A′(,),∴,∵k≠0,∴,故选C.【点睛】本题是反比例函数综合题,常作为考试题中选择题压轴题,考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等,解题关键是通过设点B的坐标,表示出点A′的坐标.2、D【解析】解:A.平均数为(158+160+154+158+170)÷5=160,正确,故本选项不符合题意;B.按照从小到大的顺序排列为154,158,158,160,170,位于中间位置的数为158,故中位数为158,正确,故本选项不符合题意;C.数据158出现了2次,次数最多,故众数为158,正确,故本选项不符合题意;D.这组数据的方差是S2=[(154﹣160)2+2×(158﹣160)2+(160﹣160)2+(170﹣160)2]=28.8,错误,故本选项符合题意.故选D.点睛:本题考查了众数、平均数、中位数及方差,解题的关键是掌握它们的定义,难度不大.3、D【解析】分析:根据反比例函数的性质一一判断即可;详解:A.若点(3,6)在其图象上,则(﹣3,6)不在其图象上,故本选项不符合题意;B.当k>0时,y随x的增大而减小,错误,应该是当k>0时,在每个象限,y随x的增大而减小;故本选项不符合题意;C.错误,应该是过图象上任一点P作x轴、y轴的线,垂足分别A、B,则矩形OAPB的面积为|k|;故本选项不符合题意;D.正确,本选项符合题意.故选D.点睛:本题考查了反比例函数的性质,解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.4、D【解析】由题意得,x﹣1≠0,解得x≠1.故选D.5、D【解析】解:∵I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,故C正确,不符合题意;∴=,∴BD=CD,故A正确,不符合题意;∵∠DAC=∠DBC,∴∠BAD=∠DBC.∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,∴∠DBI=∠DIB,∴BD=DI,故B正确,不符合题意.故选D.点睛:本题考查了三角形的内切圆和内心的,以及等腰三角形的判定与性质,同弧所对的圆周角相等.6、B【解析】解:设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人,根据题意得:.故选B.点睛:本题考查了一元一次方程的应用.找准等量关系,列方程是关键.7、A【解析】
利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标.【详解】∵以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD,∴A点与C点是对应点,∵C点的对应点A的坐标为(2,2),位似比为1:2,∴点C的坐标为:(4,4)故选A.【点睛】本题考查了位似变换,正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键.8、D【解析】题解析:∵AB为⊙O直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°,∴∠DBA=∠ACD=70°.故选D.【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.9、B【解析】
原式利用算术平方根定义,以及绝对值的代数意义计算即可求出值.【详解】原式=-2-3=-5,故选:B.【点睛】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.10、B【解析】
根据轴对称图形的定义逐项识别即可,一个图形的一部分,以某条直线为对称轴,经过轴对称能与图形的另一部分重合,这样的图形叫做轴对称图形.【详解】A、是轴对称图形,故本选项错误;B、不是轴对称图形,故本选项正确;C、是轴对称图形,故本选项错误;D、是轴对称图形,故本选项错误.故选:B.【点睛】本题考查了轴对称图形的识别,熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.11、D【解析】
由又AD∥BC,所以故A正确,不符合题意;过D作DM∥BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形,求出BM=DE=BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论,故B正确,不符合题意;
根据相似三角形的判定即可求解,故C正确,不符合题意;
由△BAE∽△ADC,得到CD与AD的大小关系,根据正切函数可求tan∠CAD的值,故D错误,符合题意.【详解】A.∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴∵∴,故A正确,不符合题意;B.过D作DM∥BE交AC于N,∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴∴BM=CM,∴CN=NF,∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,∴∠DCF=∠DFC,故B正确,不符合题意;C.图中与△AEF相似的三角形有△ACD,△BAF,△CBF,△CAB,△ABE共有5个,故C正确,不符合题意;D.设AD=a,AB=b,由△BAE∽△ADC,有∵tan∠CAD故D错误,符合题意.故选:D.【点睛】考查相似三角形的判定,矩形的性质,解直角三角形,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.12、D【解析】
根据二次根式由意义的条件是:被开方数大于或等于1,和分母不等于1,即可求解.【详解】根据题意得:,解得:x≥-1且x≠1.故选:D.【点睛】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为1;二次根式的被开方数是非负数.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、【解析】
由△ABC中,点D、E分别在边AB、BC上,DE∥AC,根据平行线分线段成比例定理,可得DB:AB=BE:BC,又由DB=4,AB=6,BE=3,即可求得答案.【详解】解:∵DE∥AC,∴DB:AB=BE:BC,∵DB=4,AB=6,BE=3,∴4:6=3:BC,解得:BC=,∴EC=BC﹣BE=﹣3=.故答案为.【点睛】考查了平行线分线段成比例定理,解题时注意:平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.14、乙【解析】
∵丁〉甲乙=丙,∴从乙和丙中选择一人参加比赛,
∵S
乙2<S
丙2,
∴选择乙参赛,
故答案是:乙.15、y2<y1<y1.【解析】
先根据反比例函数的增减性判断出2-m的符号,再根据反比例函数的性质判断出此函数图象所在的象限,由各点横坐标的值进行判断即可.【详解】∵反比例函数y=的图象是双曲线,在每一个象限内,y随x的增大而减小,∴2−m>0,∴此函数的图象在一、三象限,∵−1<−1<0,∴0>y1>y2,∵2>0,∴y1>0,∴y2<y1<y1.故答案为y2<y1<y1.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数图像上点的坐标特征,解题的关键是熟练的掌握列反比例函数图像上点的坐标特征.16、x【解析】试题分析:要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式,若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可:x217、1【解析】试题解析:∵正方体的展开图中对面不存在公共部分,∴B与-1所在的面为对面.∴B内的数为1.故答案为1.18、3a(a+1)(a﹣1).【解析】
首先提取公因式3a,进而利用平方差公式分解因式得出答案.【详解】解:原式=3a(a2﹣1)=3a(a+1)(a﹣1).故答案为3a(a+1)(a﹣1).【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确应用公式是解题关键.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)1;【解析】
(1)根据平行线的判定求出即可;(2)连接OA,求出∠OAP=∠BAP+∠OAB=∠BOC+∠OBC=90°,根据切线的判定得出即可;(3)设BC=x,CM=2x,根据相似三角形的性质和判定求出NC=x,求出MN=2x+x=2.1x,OM=MN=1.21x,OC=0.71x,根据三角形的中位线性质得出0.71x=AD=3,求出x即可.【详解】(1)∵BD是直径,∴∠DAB=90°,∵PO⊥AB,∴∠DAB=∠MCB=90°,∴PM∥AD;(2)连接OA,∵OB=OM,∴∠M=∠OBM,∴∠BON=2∠M,∵∠BAP=2∠M,∴∠BON=∠BAP,∵PO⊥AB,∴∠ACO=90°,∴∠AON+∠OAC=90°,∵OA=OB,∴∠BON=∠AON,∴∠BAP=∠AON,∴∠BAP+∠OAC=90°,∴∠OAP=90°,∵OA是半径,∴PA是⊙O的切线;(3)连接BN,则∠MBN=90°.∵tan∠M=,∴=,设BC=x,CM=2x,∵MN是⊙O直径,NM⊥AB,∴∠MBN=∠BCN=∠BCM=90°,∴∠NBC=∠M=90°﹣∠BNC,∴△MBC∽△BNC,∴,∴BC2=NC×MC,∴NC=x,∴MN=2x+x=2.1x,∴OM=MN=1.21x,∴OC=2x﹣1.21x=0.71x,∵O是BD的中点,C是AB的中点,AD=6,∴OC=0.71x=AD=3,解得:x=4,∴MO=1.21x=1.21×4=1,∴⊙O的半径为1.【点睛】本题考查了圆周角定理,切线的性质和判定,相似三角形的性质和判定等知识点,能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键,此题有一定的难度.20、(1)a+bab【解析】
(1)先通分,再进行同分母的减法运算,然后约分得到原式=a+b(2)利用根与系数的关系得到a+b=【详解】解:(1)A==(a+b)(a-b)(2)∵a、b是方程x2∴a+b=4,ab=-1∴A=【点睛】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=021、(1)y1=a(x+1)2﹣1,顶点为(﹣1,﹣1);(2)①;②k的取值范围是≤k≤或k=﹣1.【解析】
(1)化成顶点式即可求得;(2)①把点A(﹣3,1)代入二次函数C1:y1=ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值;②根据对称的性质得出B的坐标,然后分两种情况讨论即可求得;【详解】(1)y1=ax2+2ax+a﹣1=a(x+1)2﹣1,∴顶点为(﹣1,﹣1);(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(﹣3,1),∴a(﹣3+1)2﹣1=1,∴a=;②∵A(﹣3,1),对称轴为直线x=﹣1,∴B(1,1),当k>0时,二次函数C2:y2=kx2+kx(k≠0)的图象经过A(﹣3,1)时,1=9k﹣3k,解得k=,二次函数C2:y2=kx2+kx(k≠0)的图象经过B(1,1)时,1=k+k,解得k=,∴≤k≤,当k<0时,∵二次函数C2:y2=kx2+kx=k(x+)2﹣k,∴﹣k=1,∴k=﹣1,综上,二次函数C2:y2=kx2+kx(k≠0)的图象,与线段AB只有一个交点,k的取值范围是≤k≤或k=﹣1.【点睛】本题考查了二次函数和系数的关系,二次函数的最值问题,轴对称的性质等,分类讨论是解题的关键.22、(1)直线l与⊙O相切;(2)证明见解析;(3)214【解析】试题分析:(1)连接OE、OB、OC.由题意可证明BE=(2)先由角平分线的定义可知∠ABF=∠CBF,然后再证明∠CBE=∠BAF,于是可得到∠EBF=∠EFB,最后依据等角对等边证明BE=EF即可;(3)先求得BE的长,然后证明△BED∽△AEB,由相似三角形的性质可求得AE的长,于是可得到AF的长.试题解析:(1)直线l与⊙O相切.理由如下:如图1所示:连接OE、OB、OC.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴BE=∴∠BOE=∠COE.又∵OB=OC,∴OE⊥BC.∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直线l与⊙O相切.(2)∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB.∴BE=EF.(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=1.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DEBE=BEAE,即∴AF=AE﹣EF=494﹣1=21考点:圆的综合题.23、(1);(2)1.【解析】
(1)根据二次根式的混合运算法则即可;(2)根据特殊角的三角函数值即可计算.【详解】解:(1)原式=;(2)原式.【点睛】本题考查了二次根式运算以及特殊角的三角函数值的运算,解题的关键是熟练掌握运算法则.24、(1)y=x﹣2,y=x2++1;(2)a<;(3)m<﹣2或m>1.【解析】
(1)直接将点代入函数解析式,用待定系数法即可求解函数解析式;(2)点(2,1)代入一次函数解析式,得到n=−2m,利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x=1,由一次函数经过一、三象限可得m>1,确定二次函数开口向上,此时当y1>y2,只需让a到对称轴的距离比a+1到对称轴的距离大即可求a的范围.(3)将A(h,k)分别代入两个二次函数解析式,再结合对称抽得h=,将得到的三个关系联立即可得到,再由题中已知−1<h<1,利用h的范围求出m的范围.【详解】(1)将点(2,1),(3,1),代入一次函数y=mx+n中,,解得,∴一次函数的解析式是y=x﹣2,再将点(2,1),(3,1),代入二次函数y=mx2+nx+1,,解得,∴二次函数的解析式是.(2)∵一次函数y=mx+n经过点(2,1),∴n=﹣2m,∵二次函数y=mx2+nx+1的对称轴是x=,∴对称轴为x=1,又∵一次函数y=mx+n图象经过第一、三象限,∴m>1,∵y1>y2,∴1﹣a>1+a﹣1,∴a<.(3)∵y=mx2+nx+1的顶点坐标为A(h,k),∴k=mh2+nh+1,且h=,又∵二次函数y=x2+x+1也经过A点,∴k=h2+h+1,∴mh2+nh+1=h2+h+1,∴,又∵﹣1<h<1,∴m<﹣2或m>1.【点睛】本题考点:点与函数的关系;二次函数的对称轴与函数值关系;待定
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