函数知识点小结

函数（一）函数的概念与表示1．函数的概念：设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数。记作：，。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。注意：（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘。【EG】判断下列对应能否表示是的函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。【EG】判断下列图象能表示函数图象的是（）xxy0(A)xy0(D)xy0(C))xy0(B)2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。【EG】函数的定义域是（） ABCD【EG】函数的定义域为

【EG】设函数的定义域为，的定义域为，则=

（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）。【EG】函数的值域是_____________.【EG】函数的值域是__________，3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。【EG】在下列四组函数中，与表示同一函数是（） A B C D【EG】下列函数中哪个与函数是同一个函数？⑴；⑵；⑶4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。5．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。【EG】已知函数，求。【EG】某种笔记本每个5元，买个笔记本的钱数记为（元），试写出以为自变量的函数的解析式，并画出这个函数的图像。【EG】已知函数，当，对应的函数值是，当，对应的函数值是。6．映射的概念一般地，设是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个映射。记作。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。如果集合A中的元素和集合B中的元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射。注意：（1）这两个集合有先后顺序，到的映射与到的映射是截然不同的．其中表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。【EG】映射把集合中的元素映射到集合中的元素，在映射下，象20的原象是（） 函数二、函数的定义域知识点——求函数定义域的几种常见类型1）已知函数定义域只要注意：①分母不为0；②偶次根式非负；③对数真数大于0，底数；④中；【EG】求下列函数的定义域：①②③④⑤解：①要使函数有意义，必须：即：∴函数的定义域为：[]②要使函数有意义，必须：∴定义域为：{x|}③要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：④要使函数有意义，必须：∴定义域为：⑤要使函数有意义，必须：，即x<或x> ∴定义域为：1、求下列函数的自变量的取值范围（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）2、求函数的定义域：①②③④2）表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。【EG】若函数的定义域是R，求实数a的取值范围解：∵定义域是R,∴∴1、若函数的定义域为，则的范围为__________2、已知函数的定义域为，求实数的范围3）若已知函数的定义域求的定义域，或者已知函数的定义域求的定义域，关注两点：①函数定义域只指的取值范围，而不是的取值范围；②由于两个函数中与所处位置相同，则它们所满足的条件相同，即【EG】若函数的定义域为[1，1]，求函数的定义域解：要使函数有意义，必须：∴函数的定义域为：1、（1）已知函数，求函数的定义域；（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域。2、已知的定义域为，则的定义域为3、已知的定义域为，求的定义域4）应用题实际问题中总要根据现实数据含义或要求写出对应的取值范围【EG】某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间池壁造价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元。（池壁的厚度忽略不计，且池无盖）写出总造价（元）与污水处理池长（米）的函数关系式，并指出定义域。求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价？总结：求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题。函数三：函数的值域在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。求值域常用方法：①图像几何性质；②打钩函数；③分离常数；④换元；⑤判别式；⑥三角函数有界性。知识点——求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数的定义域为R，当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1．求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②③④2．二次函数区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①；②；③；④；练习：1、（1）求的值域；（2）求函数的值域；2、（1）求的值域；（2）求函数的值域；注：对于二次函数,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当时，其最小值；②当a<0时，则当时，其最大值.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若[a,b],则是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较的大小决定函数的最大（小）值.②若[a,b],则[a,b]是在的单调区间内，只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.二次函数的复合函数：，解题方法：换元法，取，写出新自变量t的取值范围（即新函数定义域），将原函数改写为对应的指数函数、对数函数或幂函数求解。例3、（1）求函数的值域；（2）求函数的值域；练习：1、的值域是______________.2、函数的值域为()A、(0,＋∞)B、[1,＋∞]C、(0,1)D、(0,1)3、求函数在上的值域带参数的二次函数：函数中带有参数或定义域里有参数，均已讨论对称轴在区间的位置为方向例4、（1）求函数的值域；（2）求函数的值域；3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论。例4．求函数的值域练习1、（1）求函数的值域；（2）求函数的值域2、求函数的值域；3、求函数的值域；4、已知函数的值域为[－1，4]，求常数的值。5、已知函数的值域是，求a、b的值；说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法.判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．一次根式函数换元法：解题方法：换元法，取，则，将原函数改写为二次函数求值域，记得写新定义域例5．求函数的值域解：设则t0x=1代入得∵t0∴y4练习1、（1）求函数的值域；（2）求函数值域；2、的最小值是______________.练习：1；解：∵x0，，∴y11.【另外】此题利用基本不等式解更简捷：2解：∵2-4x+3>0恒成立(为什么？)，∴函数的定义域为R，∴原函数可化为2y-4yx+3y-5=0，由判别式0，即16-4×2y(3y-5)=-8+40y0(y0),解得0y5，又∵y0,∴0<y5注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到.3求函数的值域①；②解：①令0,则,原式可化为,∵u0，∴y，∴函数的值域是（-，].②解：令t=4x0得0x4在此区间内(4x)=4，(4x)=0∴函数的值域是{y|0y2}。函数四、函数的解析式函数解析式的求解方法已知函数类型，求函数的解析式时常用待定系数法；已知求、已知求：换元法、配凑法；应用题求函数解析式常要根据实际问题的意义来布列函数关系，确定函数的定义域．1、待定系数法例1、（1）已知二次函数满足，，图象过原点，求；（2）已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点，．解：（1）由题意设，∵，，且图象过原点，∴∴∴．（2）由题意设，又∵图象经过原点，∴，∴得，∴．练习1、已知某一次函数满足条件，求函数解析式。2、若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则()(A)a=2,b=2(B)a=EQ\r(,2),b=2(C)a=2,b=1(D)a=EQ\r(,2),b=EQ\r(,2)3、已知是一次函数，且满足，求。4、已知二次函数满足，求的解析式。说明：（1）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；（2）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。2、代入法例2、根据已知条件，求函数表达式．（1）已知，求．（2）已知，，求和.解：（1）∵∴．（2）∵，∴∴说明：已知求，常用“代入法”.基本方法：将函数中的x用g(x)来代替，化简得函数表达式.3、配凑法与换元法：例3、（1）已知，求.（2）已知，求．解：（1）法一：配凑法：∵∴．法二：换元法：令，则，∴．（2）设，则=，，于是∴∴即.练习1、已知，求函数的解析式。2、已知，求函数的解析式。3、已知，则函数的解析式为（）（A）（B）（C）（D）4、已知，求的解析式。5、已知，求的解析式。6、已知，求的解析式。7、已知，则的解析式可取为（）（A）（B）（C）（D）－8、、已知，那么=（）AB8C18D9、（1）已知，求的解析式。（2）已知，求的解析式。说明：已知求的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．4、构造方程法例3、已知满足，求.解：∵--------①将①中换成得-------②①×2-②得∴说明：已知与，或与之间的关系式，求的解析式，可通过“互换”关系构造方程的方法，消去或，解出.练习1、已知满足，求的解析式。2、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=,则f(x)=___3、（1）已知函数满足=________.（2）已知函数满足的最小值为_____.5、相关点法：找出函数自变量、因变量满足的条件，化简求解。例4、已知是奇函数，当时，，求的解析式。练习1、已知函数与的图象关于点（-2，3）对称，求的解析式。总结1、函数解析式是函数与自变量之间的一种对应关系，与所取的字母无关；2、求函数解析式的方法一般有待定系数法、代入法、换元法和构造方程法等；3、实际操作中要学会灵活应用这些方法。练习1、若，则=2、已知是二次函数，且满足，则=3、已知函数满足，且，则=4、已知，则函数的解析式为5、已知，求；6、已知是一次函数，且满足，求；7、函数对一切实数、均有成立，且，①求；②求。8、已知函数，，求和的解析式9、已知满足，求函数七、函数单调性知识点——函数的单调性与最值1、单调性（1）定义：设函数的定义域为，如果对于内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数。设函数的定义域为I，如果对于I内的某个区间内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是减函数。如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有单调性，区间叫做的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：eq\o\ac(○,1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；eq\o\ac(○,2)必须是对于区间内的任意两个自变量；当时，总有（2）如果函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间。（3）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数在给定的区间上的单调性的一般步骤：eq\o\ac(○,1)任取，且；eq\o\ac(○,2)作差；eq\o\ac(○,3)变形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定号（即判断差的正负）；eq\o\ac(○,5)下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）。（4）简单性质在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。【EG】求函数的值域、单调区间【EG】若函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是________2．最值（1）定义：最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得。那么，称是函数的最大值。最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：①对于任意的，都有；②存在，使得。那么，称是函数的最小值。注意：eq\o\ac(○,1)函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在，使得；eq\o\ac(○,2)函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的，都有（）。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：eq\o\ac(○,1)利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,2)利用图象求函数的最大（小）值；eq\o\ac(○,3)利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减则函数在处有最大值；如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增则函数在处有最小值；【EG】函数在上的最大值与最小值的和为，则(

)A．

B．

C．

D．练习1、函数在区间上是（）A、递减函数B、递增函数C、先递减再递增D、选递增再递减2、下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4)和表示相等函数。其中正确命题的个数是（）A、0B、1C、2D3、设函数在上是减函数，则（）A、B、C、D、4、若函数在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数在区间（a，c）上（）A、必是增函数B、必是减函数C、是增函数或是减函数D、无法确定增减性5、以下正确的有___________①；②若函数；③若函数在区间和(2,3)上均为增函数，则函数在区间(1,3)上为增函数；④因为函数在区间上都是减函数，所以在上是减函数。6、证明函数在R上是增函数。7、求函数的单调减区间8、求的值域。9、求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值。10、利用函数的单调性求函数的值域。指数函数定义：一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为。问题：指数函数（＞0且≠1），图象特征函数性质＞10＜＜1＞10＜＜1向轴正负方向无限延伸（永不相交）函数的定义域为R图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1＞0，＞1＞0，＜1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1＜0，＜1＜0，＞1利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在上（＞0且≠1）值域是或；（2）若（3）对于指数函数（＞0且≠1），总有（4）当＞1时，若＜，则＜；【EG】已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点，求的值。<问题1>要求出指数函数，需要几个条件？【练习】1、函数的定义域和值域分别是多少？2、当时，函数的值域是多少？【练习】求下列函数的定义域：（1）（2）【练习】比较下列各题中的个值的大小（1）与；(2)与(3)与练习1、设且，则的大小关系是（）(A)(B)(C)(D)2、若，则下列不等式成立的是（）(A)(B)(C)(D)3、已知，那么，，的大小关系是（）(A)(B)(C)(D)4、已知函数的图像经过点、，则的表达式是（）(A)(B)(C)(D)5、，则的值域为（）(A)(B)(C)(D)6、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)7、方程的解的个数为（）(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个8、图中曲线分别是指数函数的图像，则与1之间的大小关系是（）(A)(B)(C)(D)9、已知在区间内是减函数，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)10、函数是偶函数，且不恒等于零，则（）(A)是奇函数(B)是偶函数(C)可能是奇函数,也可能是偶函数(D)不是奇函数,也不是偶函数11、已知是指数函数，且则=____________.12、已知函数的值域是，求函数的定义域。13、求函数的单调性。对数函数定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．.作法：用多媒体再画出，，和00提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？图象的特征函数的性质（1）图象都在轴的右边（1）定义域是（0，+∞）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降.（3）当＞1时，是增函数，当0＜＜1时，是减函数.（4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0.当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0.（4）当＞1时＞1，则＞00＜＜1，＜0当0＜＜1时＞1，则＜00＜＜1，＜0例题训练：1.比较下列各组数中的两个值大小（1）；（2）（3）（＞0，且≠1）练习1．已知函数的定义域为[-1，1]，则函数的定义域为2．求函数的值域.3．已知＜＜0，按大小顺序排列m,n,0,14．已知0＜＜1,b＞1,ab＞1.比较注意常见的换算函数练习A组选择题1．下列等式能够成立的是（）A．，B．，C．，D．，2．化简的结果是（）A．B．C．－1D．13．已知集合M＝｛－1,1｝，，则（）A．｛－1,1｝B．｛－1｝C．｛0｝D．｛－1,0｝4．函数的定义域．值域依次是（）A．R，R B．R，C．D．xy5．如图a，b，c，d都是不等于1的正数，在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序是（）A．b<a<d<cB．a<b<d<cxyC．a<b<c<dD．b<a<c<d二．填空题6．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过三个小时，这种细菌由1个可繁殖成．7．指数函数在R上是减函数，则a的取值范围．8．若0<x<1，则的大小关系是．9．当时，函数的值域为———．三．解答题10．已知，①当x为何值，f（x）=g（x）；②当x为何值，f（x）>1③当x为何值，1<g（x）<1011．已知，求下列各式的值：⑴；⑵．12．已知，⑴判断f(x)的奇偶性，并证明之；⑵利用单调性的定义证明：f(x)是其定义域上的增函数。B组一．选择题13．已知，，则的值为（）A． B． C． D．xy14．函数的图象如图，其中a．b为常数，则下列结论正确的是（）xyA．B．C．D．15．函数是指数函数，则有（）A．a=1或a=2B．a=1C．a=2D．16．设f（x）=那么f（x）是（）A．偶函数且在（0，+∞）上是增函数B．偶函数且在（0，+∞）上是减函数C．奇函数且在（0，+∞）上是减函数D．奇函数且在（0，+∞）上是增函数17．定义运算，则函数的图象是（）xxxxxyyyyx二．填空题18．若函数为奇函数，且当x>0时，，则当x≤0时的解析式为