2024年勾股定理的教案

2024年勾股定理的优秀教案

勾股定理的优秀教案1

重点、难点分析

本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用它可用边的关系判断一个三角形是否为直角

三角形.为判断三角形的形状提供了一个有力的依据.

本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用.在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作

斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错；另外，在解决有关综合问题时,

要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个

困难的地方.

教法建议：

本节课教学模式主要采用“互动式"教学模式及“类比”的教学方法通过前面所学的垂直

平分线定理及其逆定理做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题在课堂教学中营造轻松、

活泼的课堂气氛.通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成"情意共鸣，沟通信

息，反馈流畅，思维活跃"，达到培养学生思维能力的目的.具体说明如下：

(1)让学生主动提出司题

利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来.这里分别找学

生口述文字；用符号、图形的形式板书逆命题的内容.所有这些都由学生自己完成，估计学生不

会感到困难.这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力.

(2)让学生自己解决'可题

判断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适

当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的思路.

(3)通过实际问题的解次，培养学生的数学意识.

教学目标：

1、知识目标：

(1)理解并会证明勾投定理的逆定理；

(2)会应用勾股定理的‘逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；

(3)知道什么叫勾股数,记住一些觉见的勾股数。

2、能力目标：

(1)通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力；

(2)通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力。

3、情感目标：

(1)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

(2)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.

教学重点：勾股定理的逆定理及其应用

教学难点：勾股定理的逆定理及其应用

教学用具：直尺，微机

教学方法：以学生为主体的讨论探索法

教学过程：

1、新课背景知识复习(投影)

勾股定理的内容

文字叙述(投影显示)

符号表述

图形(画在黑板上)

2、逆定理的获得

(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

(2)学生自己证明

逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：

那么这个三角形是直角三角形

强调说明：(1)勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理.

(2)判定直角三角形的方法：

①角为、②垂直、③勾股定理的逆定理

2、定理的应用(投影显示题目上)

例1如果一个三角形的三边长分别为

则这三角形是直角三角形

例2如图,已知:CDJ.AB于D,且有

求证：MCB为直角三角形。

以上例题，分别由学生先思考，然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)

4、课堂小结：

(1)逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边(最大边)

(2)判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用。

5、布置作业：

a、书面作业P131#9

b、上交作业：已知：如图，ADEF中，DE=17,EF=30,EF边上的中线DG=8

求证：&DEF是等腰三角形

勾股定理的优秀教案2

学习目标

1、通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性。

2、探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数型结合的思想。

重点难点

或学习建议学习重点：用面积的方法说明勾股定理的正确。

学习难点：勾股定理的应用。

学习过程教师

二次备课栏

自学准备与知识导学：

这是1955年希腊为纪念一位数学家曾经发行的邮票。

邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。

学习交流与问题研讨：

1、探索

问题：分别以图中的直角三角形三边为边向三角形外

作正方形，小方格的'面积看做1,求这三个正方形的面积？

S正方形BCED=S正方形ACFG=S正方形ABHI=

发现：

2、实验

在下面的方格纸上，任意画几个顶点都在格点上的三角形；并分别以这个三角形的各边为一

边向三角形外做正方形并计算出正方形的面积。

请完成下表：

S正方形BCEDS正方形ACFGS正方形ABHIS正方形BCED、S正方形ACFG、S正方形

ABHI的关系

112

145

41620

91625

发现：

如何用直角三角形的三边长来表示这个结论？

这个结论就是我们今天要学习的勾股定理：

如图：我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股"，斜

边叫做"弦"，所以勾股定理可表示为：弦股还可以表示为：或勾

练习检测与拓展延伸：

练习1、求下列直角三角形中未知边的长

练习2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。

（注：下列各图中的三角形均为直角三角形）

例1、如图，在四边形中，/,N,求。

检测：

1、在RfABC中,zC=90°（l）Sa=5,b=12,则c=;

（2）b=8,c=17，则S^ABC=

2、在RtMBC中，4=90,周长为60,斜边与一条直角边之比为13:5,则这个三角形

三边长分别是（）

A、5、4、3、;B、13、12、5;C、10、8、6;D、26、24、10

3、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为（）

。

Ao12cmB10cmCo8cmD06cm

4、要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m,至少需要多长的

梯子？（画出示意图）

5、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到f男孩头顶正上方4千米处，过了20秒，

飞机距离这个男孩5千米，飞机每小时飞行多少千米？

课后反思或经验总结：

1、什么叫勾股定理；

2、什么样的三角形的三边满足勾股定理；

3、用勾股定理解决一些实际问题。

勾股定理的优秀教案3

教学课题：勾股定理的应用

教学时间（日期、课时）：

教材分析：

学情分析：

教学目标：

能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.

在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的"转化”思想（把解斜三角形问题转化

为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值.

教学准备

《数学学与练》

集体备课意见和主要参考资料

页边批注

教学过程

新课导入

本课时的教学内容是勾股定理在实际中的应用。除课本提供的情境外，教学中可以根据实际

情况另行设计一些具体情境，也利用课本提供的素材组织数学活动。比如，把课本例2改编为

开放式的问题情境：

一架长为10m的梯有4靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端

下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流.

创设学生身边的问题情境，为每一个学生提供探索的空间，有利于发挥学生的主体性；这样

的问题学生常常会从自己的生活经验出发，产生不同的思考方法和结论（教学中学生可能的结论

有：底端也滑动0.5m;如果梯子的顶端滑到地面上，梯子的顶端则滑动8m，估计梯子底端

的滑动小于8m,所以梯子的顶端下滑0.5m,它的底端的滑动小于0.5m;构造直角三角形，

运用勾股定理计算梯子滑动前、后底端到墙的垂直距离的差，得出梯子底端滑动约0.61m的结

论等）；通过与同学交流，完善各自的想法，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题，从

中感受用数学的眼光审视客观世界的乐趣.

二.新课讲授

问题一在上面的情境中，如果梯子的'顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？

组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导.

问题二从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流.

设计问题二促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题.教学中学生可能会有多种

思考.比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大；②因为梯子顶端

下滑到地面时，顶端下滑了8m,而底端只滑动4m,所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距

离不一定比顶端下滑的距离大；③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m,

即顶端下滑2m时,底端到ig的垂直距离是8m,即底端电滑动2m等。教学中不要把寻找规律

作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客

观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法.

3.例题教学

课本的例1是勾股定理的简单应用教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，

把课本习题2.7第4题作为补充例题.通过这个问题的讨论,把"32+b2=c2"看作一个方程,

设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程

32+x2=(10—x)2,从中可以让学生感受数学的"转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史

和我国古代人民的聪明才智.

三.巩固练习

1.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km,乙往南走了6km,这时甲、乙两人

相距km.

2.如图，一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最

短路程(取3)是().

(A)20cm(B)10cm(C)14cm(D)无法确定

3.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中NB=90。，AB=3m,BC=4m,CD=12m,

AD=13m.求这块草坪的面积.

四.小结

我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两

边就可以依据勾股定理求出第三边.从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角

三角形中三边关系"a2+b2=c2"看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的

方程，就把解实际问题转化为解方程.

勾股定理的优秀教案4

教学目标具体要求：

1.知识与技能目标：会用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。

2.过程与方法目标：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件。

3.情感态度与价值观目标：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；通过有关勾股定

理的历史讲解，对学生进行德育教育。

重点：

勾股定理的应用

难点：

勾股定理的.应用

教案设计

一、知识点讲解

知识点1：(已知两边求第三边)

1.在直角三角形中，若两直角边的长分别为lcm,2cm,则斜边长为。

2.已知直角三角形的两边长为3、4,则另一条边长是___________o

.三角形中边上的高线求的长?

3ABCrAB=10,AC=17,BCAD=8,BC

知识点2:

利用方程求线段长

1、如图，公路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA±AB于A,CB±AB于B,

已知DA=15km,CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E,(1)使得C,D两村到E站的

距离相等，E站建在离A站多少km处?

(2)DE与CE的隆关系

(3)使得C,D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？

利用方程解决翻折问题

2、如图用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当

折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想,此时EC有多长？

3、在矩形纸片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按图所示方式折叠，使点B与点D重

合，折痕为EF,求DE的长。

4.如图，将一个边长分别为4、8的矩形形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EF的

长是多少？

5、折叠矩形ABCD的一边AD,折痕为AE,且使点D落在BC边上的点F处，已知

AB=8cm/BC=10cm,以B点为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。求点F和

点E坐标。

6、边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC

折叠后，点B落在第四象限B1处，设B1C交x轴于点D,求(1)三角形ADC的面积,(2)

点B1的坐标，(3)AB1所在的直线解析式。

知识点3:判断一个三角形是否为直角三角形间接给出三边的长度或比例关系

1.(1).若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm，其他两边之差为1cm,则这个三角形是

(2).将直角三角形的三边扩大相同的倍数后,得到的三角形是__________

(3)在ABC中，a:b:c;l:l:,那么ABC的确切形状是____________

2如图，正方形ABCD中，边长为4,F为DC的中点，E为BC上一点，CE=BC,你能说

明/AFE是直角吗？

变式:如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC,你能说明/AFE

是直角吗？

3.T立同学向西南走40米后，又走了50米，再走30米回到原地。问这位同学又走了50

米后向哪个方向走了

二、课堂小结

谈一谈你这节课都有哪些收获？

应用勾股定理解决实际问题

三、课堂练习以上习题。

四、课后作业卷子。

勾股定理的优秀教案5

一、教案背景概述：

教材分析：勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的■形”的特点，转化

为三边之间的■数"的关系，它是数形结合的典范。它可以解决许多直角三角形中的计算问题，它

是直角三角形特有的性质，是初中数学教学内容重点之一。本节课的重点是发现勾股定理，难点

是说明勾股定理的正确性。

学生分析：1、考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正能仔细研究过三角尺的同学

并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。2、以与勾股

定理有关的人文历史知识为背景展开对直角三角形三边关系的讨论，能激发学生的学习兴趣。

设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展

史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文

化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我

国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爰祖国，热爰祖国悠久文化的思想感情，

培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。

教学目标：

1、经历用面积割、补法探索勾股定理的过程，培养学生主动探究意识，发展合理推理能力，

体现数形结合思想。

2、经历用多种割、补图形的方法验证勾股定理的'过程，发展用数学的眼光观察现实世界和

有条理地思考能力以及语言表达能力等，感受勾股定理的又化价值。

3、培养学生学习数学的兴趣和爱国热情。

4、欣赏设计图形美。

二、教案运行描述：

教学准备阶段：

学生准备：正方形网格纸若干，全等的直角三角形纸片若干，彩笔、直角三角尺、铅笔等。

老师准备：毕达哥拉斯、赵爽、刘徽等证明勾股定理的图片以及其它有关人物历史资料等投

影图片。

三、教学流程：

（一）引入

同学们当你每天手握三角尺绘制自己的宏伟蓝图时你是否想过他们的边有什么关系呢？

今天我们来探索这一秘蹙。（板书课题：探索直角三角形三边关系）

（二）实验探究

1、取方格纸片，在上面先设计任意格点直角三角形，再以它们的每一边分别向三角形外作

正方形，如图1

设网格正方形的边长为1,直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c,观察并计算每个正

方形的面积，以四人小组为单位填写下表：

（讨论难点：以斜边为边的正方形的面积找法）

交流后得出一般结论：（用关于a、b、c的式子表示）

（三）探索所得结论的正确性

当直角三角形的直角边分别为a、b,斜边为c时，是否一定成立？

1、指导学生运用拼图、或正方形网格纸构造或设计合理分割（或补全）图形，去探索本结

论的正确性：（以四人小组为单位进行）

在学生所创作图形中选择有代表性的割、补图，展示巴来交流讲解，并引导学生进行说理：

如图2（用补的方法说明）

师介绍：（出示图片）毕达哥拉斯，公元前约500年左右，古西腊T立哲学家、数学家。

f，他应邀到一位朋友家做客，他一进朋友家门就被朋友家的豪华的方形大理石地语的形状深

深吸引住了，于是他立刻找来尺子和笔又量又画，他发现以每块大理石地砖的相邻两直角边向三

角形外作正方形，它们的面积和等于以这块大理石地砖的对角线为边向形夕M乍正方形的面积。于

是他回到家里立刻对他的这一发现进行了探究证明……，终获成功。后来西方人们为了纪念他的

这一发现，将这一定理命名为"毕达哥拉斯定理，1952年，希腊政府为了纪念这位伟大的数学

家，特别选用他设计的这种图形为主图发行了一枚纪念邮票。（见课本52页彩图2-1,欣赏

图片）

如图3（用割的方法去探索）

师介绍：（出示图片）中国古代数学家们很早就发现并运用这个结论。早在公元前20xx年

左右，大禹治水时期，就曾经用过此方法测量土地的等高差，公元前1100年左右，西周的数学

家商高就曾用.勾三、股四、弦五"测量土地，他们对这一结论的运用至少比古希腊人早500多

年。公元200年左右，三国时期吴国数学家赵爽曾构造此图验证了这一结论的正确性。他的这

个证明，可谓别具匠心，极富创新意识，他用几何图形的割、来证明代数式之间的相等关系，既

严密，又直观，为中国古代以"形"证"数"，形、数统一的独特风格树立了一个典范。他是我国有

记载以来第一个证明这一结论的数学家。我国数学家们为了纪念我国在这方面的数学成就，将这

一结论命名为11勾股定理"。（点题）

师介绍:（出示图片）勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学史上屡创奇迹，

从毕达哥拉斯到现在，吸引着世界上无数的数学家、物理学家、数学爱好者对它的探究，甚至政

界要人一美国第20任总统加菲尔德，也加入到对它的探索证明中，如图是他当年设计的证明

方法。据说至今已经找到的证明方法有四百多种，且每年还会有所增加。（若有时间可以继续出

示学生中有价值的图片进行讨论），有兴趣的同学课后可以继续探索……

四、总结：

本节课学习的勾股定理用语言叙说为：

五、作业：

1、继续收集、整理有关勾股定理的证明方的探索问题并交流。

2、探索勾股定理的运用。

勾股定理的优秀教案6

本节课是人教版数学八年级下册第十七章第一节第二课时的内容，是学生在学习了三角形的

有关知识，了解了直角三角形的概念，掌握了直角三角形的性质和一个三角形是直角三角形的条

件的基础上学习勾股定理，加深对勾股定理的理解，提高学生对数形结合的应用与理解。本节第

一课时安排了对勾股定理的‘观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程；第二课时是通过例题

分析与讲解，让学生感受勾股定理在实际生活中的应用，通过从实际问题中抽象出直角三角形这

一模型，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力。

针对本班学生的特点，学生知识水平、学习能力的差距，本节课安排了如下几个环节：

一、复习引入

对上节课勾股定理内容进行回顾，强调易错点。由于学生的注意力集中时间较短，学生知识

水平低，引入内容简短明了，花费时间短。

二、例题讲解，巩固练习，总结数学思想方法

活动一用对媒体展示搬运工搬木板的问题让学生以小组交流合作如何将木板运进门内？

需要知道们的宽、高，还是其他的条件？学生展示交流结果，之后教师引导学生书写板书。整个

活动以学生为主体，教师及时的引导和强调。

活动二：解决例二梯子滑落的问题。学生自主讨论解决问题，书写过程，之后投影学生书写

过程，教师与学生一起合作修改解题过程。

活动三：学生讨论总结如何将实际生活中的问题转化为数学问题，然后利用勾股定理解决问

题。利用勾股定理的前提是什么？如何作辅助线构造这一直提条件？在数学活动中发展了学生的

探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值，让学生体会到数学来源于生活，又应用

到生活中去，在学习的过程中体会获得成功的喜悦，提高了学生学习数学的兴趣和信心。

三、巩固练习,熟练新知

通过测量旗杆活动，发展学生的探究意识，培养学生动手操作的能力，增加学生应用数学知

识解决实际问题的经验和感受。

在教学设计的实施中，也存在着一些问题：

1.由于本班学生能力的差距，本想着通过学生帮带活动，使学困生充分参与课堂，但在学生

合作交流是由于学习能力强的学生，对问题的分析解决所用时间短，而在整个环节设计中转接的

快，未给学困生充分的时间，导致部分学生未能直正的参与到课堂中来.

2.课堂上质疑追问要起到好处，不要增加学生展示的难度，影响展示进程出现中断或偏离主

题的现象。

3.对学生课堂展示的评价方式应体现生评生，师评生，及评价的针对性和及时性。

勾股定理的优秀教案7

教学目标

1、知识与技能目标：探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，通过探究能够发现直

角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方和。

2、过程与方法目标：经历用测量和数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的

合情推理能力。

3、情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，培养主动探究的习惯，并进一步体会数学

与现实生活的紧密联系。

教学重点

了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点

勾股定理的‘探究以及推导过程。

教学过程

一、创设问题情景、导入新课

首先出示：投影1（章前的图文）并介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，结合课本第

六页谈一谈我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期的数学家）在勾股

定理方面的贡献。

出示课件观察后回答：

1、期察图1—2,正方形A中有个小方格，即A的面积为____个单位.

正方形B中有个小方格,即B的面积为个单位。

正方形C中有个小方格，即C的面积为_____个单位。

2、你是怎样得出上面的结果的？

3、在学生交流回答的基础上教师进一步设问：图1一2中，A,B,C面积之间有什么关系？

学生交流后得到结论：A+B=C0

二、层层深入、探究新知

1、做T故

出示投影3(书中P3图1-3)

提问：

(1)图1-3中，A,B,C之间有什么关系?

(2)从图1—2,1-3中你发现什么？

学生讨论、交流后，得出结论：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边为边

的正方形面积。

2、议一议

图1-2、1-3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？

(1)你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学交流的基础上，共同探讨得出：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理"。也就是说如果直角

三角形的两直角边为a,b,斜边为c那么。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长

的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。