考研二次函数试题及答案

考研二次函数试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[3]分，共[15]分）

1.若二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且其顶点坐标为(-2,3)，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a>2

D.a<2

2.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a>1

D.a<1

3.二次函数y=x^2-4x+3的图象的对称轴方程是（）

A.x=2

B.x=3

C.x=1

D.x=0

4.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象顶点坐标为（1,4），则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a>4

D.a<4

5.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相切，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a>1

D.a<1

二、填空题（每题[5]分，共[15]分）

6.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，则函数的对称轴方程是_________。

7.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标之和为6，则b的取值范围是_________。

8.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象顶点坐标为(2,3)，则函数的最小值是_________。

9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，且顶点坐标为(-3,4)，则函数的最大值是_________。

10.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相切，且切点坐标为(1,2)，则a的取值范围是_________。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

11.（10分）已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，求：

（1）函数的对称轴方程；

（2）函数的最小值。

12.（10分）已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标之和为6，求：

（1）函数的对称轴方程；

（2）函数的最大值。

13.（10分）已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象顶点坐标为(2,3)，求：

（1）函数的对称轴方程；

（2）函数的最小值。

四、证明题（每题[10]分，共[20]分）

14.（10分）证明：若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且其顶点坐标为(-2,3)，则a>0。

15.（10分）证明：若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，则判别式Δ=b^2-4ac>0。

五、应用题（每题[10]分，共[20]分）

16.（10分）某商品的原价为200元，为了促销，商家决定对商品进行打折销售。已知打折后的价格与原价之比y与折扣系数x之间的关系为y=0.5x^2+2x，求：

（1）该商品打折后的最低价格；

（2）当折扣系数为多少时，该商品的价格是原价的75%。

17.（10分）某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=2x^2+10x+100（x为产品数量），售价函数为P(x)=4x+50。求：

（1）该工厂生产x件产品的利润函数L(x)；

（2）当生产多少件产品时，工厂的利润最大？

六、综合题（每题[10]分，共[20]分）

18.（10分）已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标分别为1和3。求：

（1）函数的解析式；

（2）函数的顶点坐标。

19.（10分）已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向下，且顶点坐标为(-1,4)。若函数的图象与x轴相切于点(2,0)，求：

（1）函数的解析式；

（2）函数的最大值。

试卷答案如下：

一、选择题（每题[3]分，共[15]分）

1.A.a>0

解析思路：由于二次函数的开口方向由a的符号决定，开口向上意味着a>0。

2.B.a<0

解析思路：二次函数与x轴有两个不同的交点，说明判别式Δ=b^2-4ac>0，因此a不能为正。

3.A.x=2

解析思路：二次函数的对称轴方程为x=-b/(2a)，将b=-4和a=1代入得到x=2。

4.A.a>0

解析思路：二次函数开口向上，顶点坐标为(1,4)，因此a>0。

5.B.a<0

解析思路：二次函数与x轴相切，说明判别式Δ=b^2-4ac=0，且a的符号与开口方向相反，故a<0。

二、填空题（每题[5]分，共[15]分）

6.x=1

解析思路：对称轴方程为x=-b/(2a)，将b=0代入得到x=1。

7.b∈(-12,12)

解析思路：两个交点横坐标之和为6，根据对称性，对称轴为x=3，b的取值由对称轴的位置决定。

8.3

解析思路：顶点坐标为(2,3)，开口向上，因此最小值为顶点的y坐标。

9.4

解析思路：顶点坐标为(-3,4)，开口向下，因此最大值为顶点的y坐标。

10.a∈(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析思路：与x轴相切，判别式Δ=b^2-4ac=0，根据对称性，顶点的x坐标与切点横坐标相同，a的取值由切点位置决定。

三、解答题（每题[10]分，共[30]分）

11.（10分）

（1）x=1

解析思路：对称轴方程为x=-b/(2a)，将b=0代入得到x=1。

（2）2

解析思路：开口向上，顶点为最低点，y坐标为2。

12.（10分）

（1）x=3

解析思路：对称轴方程为x=-b/(2a)，两个交点横坐标之和为6，对称轴为x=3。

（2）-1

解析思路：开口向上，顶点为最高点，y坐标为-1。

13.（10分）

（1）x=2

解析思路：对称轴方程为x=-b/(2a)，将b=0代入得到x=2。

（2）3

解析思路：开口向下，顶点为最高点，y坐标为3。

四、证明题（每题[10]分，共[20]分）

14.（10分）

证明：若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且其顶点坐标为(-2,3)，则a>0。

证明过程略。

15.（10分）

证明：若二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，则判别式Δ=b^2-4ac>0。

证明过程略。

五、应用题（每题[10]分，共[20]分）

16.（10分）

（1）100元

解析思路：最低价格为y=0.5x^2+2x在x=0时的值。

（2）x=2

解析思路：75%的原价为150元，设折扣系数为x，则0.5x^2+2x=150。

17.（10分）

（1）L(x)=2x^2+10x+100-4x=2x^2+6x+100

解析思路：利润函数为售价函数减去成本函数。

（2）x=3

解析思路：利润最大时，二次函数L(x)的导数为0，解得x=3。

六、综合题（每题[10]分，共[20]分）

18.（10分）

（1）f(x)=a(