程守洙《普通物理学》 第13章 早期量子论和量子力学基础学习资料

国内外经典教材名师讲堂程守洙《普通物理学》第十三章早起量子论和量子力学基础主讲老师：宋钢

学习指导

了解量子力学建立的过程，掌握基本量子力学内容。一、热辐射普朗克的能量子假设

1、热辐射

物体在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。

热辐射的电磁波的波长、强度与物体的温度有关，还与物体的性质表面形状有关。

物体辐射的总能量及能量按波长分布都决定于温度。

2、基尔霍夫辐射定律

单色辐出度M

：

为了描述物体辐射能量的能力，定义物体单位表面在单位时间内发出的波长在

附近单位波长间隔内的电磁波的能量为单色辐出度。

辐出度M(T)：物体从单位面积上发射的所有各种波长的辐射总功率。

单色吸收比

a(T)和单色反射比r

(T)

：当辐射从外界入射到物体表面时，吸收能量与入射总能量之比称为吸收比。

当辐射从外界入射到物体表面时，在

到

+d

的波段内吸收的能量E

吸收

d

与入射的总能量E

入射

d

之比称为单色吸收比；反射的能量与入射能量之比称为反射比，波长

到

+d

范围内的反射比称为单色反射比。

不透明物体：

（绝对）黑体：物体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1，即

基尔霍夫定律：在温度一定时物体在某波长

处的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体及其物体表面的性质无关，是仅取决于温度和波长的一个常量。

一个好的发射体一定也是好的吸收体。

3、黑体辐射实验定律

在温度一定时，黑体的单色辐出度与波长有关，并存在一极大值，所对应的极值点

m与温度有关系。

由这些实验曲线可得黑体辐射的两个实验定律。

1)斯特藩–玻耳兹曼定律

实验证明，黑体的总辐出度M0(T)（每条曲线下的面积）与温度的四次方成正比

=5.67×10-8W/（m2·K4）——斯特藩常量

2)维恩位移定律

黑体辐射中单色辐出度的极值波长

m与黑体温度T之积为常量

b=2.897×10-3m·K——维恩常量

维恩因热辐射定律的发现获1911年诺贝尔物理学奖。

1964年，美国射电天文学家彭齐亚斯和威耳孙在研究从卫星上反射回来的信号中，接收到一种在空间均匀分布的微波信号噪声，这种噪声不是天线或接收机本身的电噪声，他们把它称为宇宙背景辐射。1990年美国人证实了这一能谱分布。也证实了大爆炸宇宙论的预言，即由于初始的爆炸，在今日的宇宙中应残留温度约为2.7K的热辐射。由于背景辐射的发现在宇宙学上具有重要意义，彭齐亚斯和威耳孙同获1978年诺贝尔物理学奖。4、普朗克的能量子假设

1)维恩经验公式

假定电磁波能量分布服从类似于经典的麦克斯韦速度分布律，可得

2)瑞利–金斯公式

瑞利–金斯从经典的能量均分定理出发，得到

这个公式在波长很长处与实验曲线还比较相近，但在短波紫外光区方面，按此公式看来，上式将随着波长趋向于0而趋于无穷大，完全与实验结果不符，这一荒谬的结果，物理学史上称为“紫外灾难”。普朗克利用内插法，使两个波段分别与维恩公式和瑞利–金斯公式一致，得到正确的黑体辐射公式：

普朗克常量：

改写成频率的函数

还可由普朗克公式导出黑体辐射的两个实验定律。

经典电磁理论：辐射黑体分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。谐振子的能量可具有任意连续值。振子振动的能量是不连续的，只能取最小能量

的整数倍

,2

,3

,

,n

n为正整数

=h

——能量子（

为振子的频率）

振子在辐射或吸收能量时，从一个状态跃迁到另一个状态。二、光电效应爱因斯坦的光子理论

1、光电效应的实验规律

光电效应：在波长较短的可见光或紫外线照射下某些金属表面上发射电子的现象。

金属板释放的电子称为光电子，光电子在电场作用下在回路中形成光电流。

实验规律：

1）饱和光电流

电流随光电管两端电势差的增加而增加，在入射光强一定时光电流会随U的增大而达到一饱和值im，且饱和电流与入射光强I成正比。

结论：单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的

强度成正比。

2）遏止电势差

减小电势差至U=0时，光电流

I

≠0，说明光电子具有初动能。当负的电势差大到一定数值Ua

时光电流完全变为零，称

Ua为遏止电势差。

电子的最大初动能与Ua有关系：

结论：光电子从金属表面逸出时具有一定的动能，最大初动能与入射光的强度无关。

3.遏止频率（红限）

当入射光的频率改变时遏止电势差随之改

变，实验发现两者成线性关系：

K与U0为正数。K与金属材料种类无关，但U0与金属材料种类有关。只有当入射光频率

大于一定的频率

0时，才会产生光电效应，

0

称为遏止频率或红限。

结论：光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系。当入射光的频率小于

0

时，不管照射光的强度多大，不会产生光电效应。4）光电效应瞬时发生

当入射光频率

大于红限

0时，无论入射光的强度如何，光电子在光照射的瞬间可产生，驰豫时间不超过10-9

s。

2、光的波动说的缺陷

金属表面对电子具有束缚作用，电子脱离金属表面所需要最少能量称为逸出功(workfunction)。按照光的经典电磁理论：

光电子的初动能应决定于入射光的光强，即决定于光的振幅（即光强）而非光的频率，不应存在截止频率！

光的能量是连续的，电子吸收光的能量需要一个累积过程，电子积累能量达到逸出功A时才能逸出，不可能瞬时发生！

3、爱因斯坦的光子理论

光具有粒子性，光是由一个一个的光子（光量子）组成，每个光子的能量与其频率成正比。光的能流密度S决定于单位时间内通过该单位面积的光子数N，频率为

的单色光的能流密度为S＝Nh。

根据能量守恒定律，电子在离开金属表面时具有的初动能满足：

光电效应方程。

电子离开金属表面的动能至少为零，故当

<A/h时，不发生光电效应。可发生光电效应的最小频率即红限：不同金属的A不同，则红限不同。4、光的波粒二象性

在有些情况下，光突出显示出波动性；而在另一些情况下，则突出显示出粒子性——光有波粒二象性，并有如下关系：

能量：

质量：

静质量：

动量：

三、康普顿效应

1、康普顿效应

1922–1923年，康普顿研究了X射线在石墨上的散射，在散射的X射线中不但存在与入射线波长相同的射线，同时还存在波长大于入射线波长的射线成分——康普顿效应。

规律

散射光除原波长λ0外，

还出现了波长大于λ0的新

的散射波长λ。

波长差

=-0随散

射角

的增大而增大。

新波长的谱线强度随散射角

的增加而增

加，但原波长的谱线强度降低。

对不同的散射物质，只要在同一个散射角下,波长的改变量-0都相同，与散射物质无关！2、光子理论的解释

经典电磁理论的困难：如果入射X射线是某种波长的电磁波，散射光的波长是不会改变的——不能解释散射中的新波长成分。

康普顿认为：X射线的散射应是光子与原子内电子的碰撞。

X射线光子与原子“内层电子”的弹性碰撞。内层电子与核结合较为紧密（keV)，他认为碰撞实际上可以看作是发生在光子与质量很大的整个原子间的碰撞——光子基本上不失去能量——保持原性质不变。

X射线光子与原子“外层电子”的弹性碰撞：外层电子与核结合较弱（几个eV）——与X射线光子相比，这些电子近似看成为“静止”的

“自由”电子。光子与电子的弹性碰撞——光子失去部分能量，频率下降，波长增加——康普顿效应。

能量守恒：

动量守恒：

康普顿波长为普适常量，与物质种类无关！理论和实验结果符合得很好。

当入射波长

0与

C可比拟时，康普顿效应才显著，因此要用X射线才能观察到康普顿散射，用可见光观察不到康普顿散射。

五、德布罗意波微观粒子的波粒二象性

（四、氢原子光谱玻尔的氢原子理论不讲）

1、德布罗意波

具有能量E和动量p的实物粒子所联系的波的频率

和波长

有关系：

具有静止质量m0的实物粒子以速度v运动，则和该粒子相联系的平面单色波的波长为

这种波既不是机械波也不是电磁波，称为德布罗意波(deBrogliewave)或物质波(matterwave)。2、戴维孙–革末实验

贝耳电话公司实验室的戴维逊和革末研究电子在镍单晶上的衍射。

φ=50°方向上测到电流的第一次峰值。

这个测量结果不能用粒子运动来说明，但可以用X射线对晶体的衍射

方法分析，计算结

果表明，电子确实

具有波动性，而且

也检验了德布罗意

波长公式的正确性。1928年英国物理学家G.P.汤姆孙做了电子通过金多晶薄膜的衍射实验。

镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧穿显微镜照片。48个Fe

原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。

3、微观粒子的波粒二象性六、不确定关系

由于微观粒子的波粒二象性，粒子的位置是不确定的。

坐标的不确定量：。

按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色的——不可能具有唯一的波长。

这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值。

动量的不确定量：。

位置和动量的不确定量存在一个关系——不确定关系。

海森伯位置–动量不确定关系：

以电子的单缝衍射为例说明（d为缝宽）

对落在中央明纹范围内的电子：

考虑到落在其他明纹内的电子：

能量与时间之间存在

七、波函数及其统计诠释薛定谔方程

1、物质波波函数及其统计诠释

奥地利物理学家薛定谔1925年提出用物质波波函数描述微观粒子运动状态。

平面波波函数

由于

沿x轴正方向运动、能量E、动量p的自由粒子对应的平面物质波波函数应为

爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的强度解释为光子出现的概率密度。

玻恩(M．Born)在这个观念的启发下，将其推广到物质波波函数的物理意义：在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数的平方。

对单个粒子，给出粒子的概率密度；

对N个粒子，给出粒子数的分布密度。

在时刻t、空间点处，体积元dV

中发现微观粒子的概率为。

对N个粒子系，在体积元dV中发现的粒子数为。

波函数应满足单值、有限、连续且归一的条件

注意：是在整个空间内进行积分。

2、薛定谔方程

奥地利物理学家，提出量子力学最基本的方程。

1）自由粒子的薛定谔方程

自由粒子波函数：

对波函数微分得：

一维运动自由粒子(v<<c)的薛定谔方程。

2）在势场中粒子的薛定谔方程

总能量E应是势能U(x,t)与动能之和：

对处于保守力场U(x,t)中的粒子：

则有

推广到三维

拉普拉斯算符

则得到了含时的薛定谔方程3）定态薛定谔方程

若势能函数U与时间无关，则

代入薛定谔方程可得

等式两端应等于同一常数E（分离变量法）并积分可得

由于指数只能是量纲为1的纯数，可见E必须具有能量的量纲。

定态薛定谔方程。

定态时，粒子的波函数

粒子出现在空间的概率密度：

粒子出现在空间的概率与时间无关，称为定态。

可见，定态问题最后归结为求解定态薛定谔方程。

八、一维定态薛定谔方程的应用

1、一维无限深势阱

粒子被限制在有限的空间范围内运动，其势函数称为势阱。如金属中的电子。

势能函数为

阱外：

方程的解只能是

阱内：

解为

波函数在阱壁上的连续条件

归一化常数C和定态波函数：

定态波函数为

波函数为：

运动特征

1）粒子的能量量子化

2）粒子的最低能量不等于零

3）粒子在势阱内出现的概率是不均匀的

4）粒子的物质波在阱内形成驻波

如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于阱璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。

2、一维势垒隧道效应

一维方势垒

对于从Ⅰ区沿x方向运动的粒子

按照经典力学：

当E>U0时，粒子可以进入x>0的Ⅱ区；

当E<U0时，粒子不可能进入x>0的Ⅱ区，在垒壁处粒子被反弹回x<0区。

对于量子力学，定态薛定谔方程

由于粒子到达区域III后不会再有反射，且波函数及其一阶导数连续条件，设入射波的振幅A已知，就可以求得其他四个积分常数，从而得到粒子在这三个区域中的波函数。在粒子总能量低于势垒壁高的情况下，粒子有一定的概率穿透势垒，称为隧道效应。

贯穿系数

1982年，宾尼希和罗雷尔等人利用电子的隧道效应研制成功扫描隧道显微镜。金属表面处存在着势垒，阻止内部的电子向外逸出。若在样品和探针之间加微波的电压，电子就会穿过两个电极之间的势垒，流向另一个电极形成隧道电流。这种隧道电流的大小是电子波函数重叠程度的量度，与针尖和样品表面之间的距离以及样品表面平均势垒高度有关，即。九、量子力学中的氢原子问题

1、氢原子的薛定谔方程

氢原子中电子的势能函数

定态薛定谔方程

采用球坐标（r、

、

）

定态薛定谔方程变为

采用分离变量法可得到三个常微分方程

三个常微分方程：

引入三个常数来讨论这个波函数

2、量子化条件和量子数

1）能量量子化——主量子数n

须满足标准条件，得到氢原子能量必须满足量子化条件：

称为主量子数。与波尔求得一致。2）轨道角动量(大小)的量子化

电子轨道角动量大小必须满足量子化：

l称为角量子数

3）轨道角动量的空间量子化

电子轨道角动量在外磁场方向（z轴）的投影须满足量子化：

ml称为磁量子数(2l+1个)

即角动量在空间的取向也是量子化的。对于一定的角量子数l,磁量子数

ml

可取(2

l+1)个值，角动量在空间z

方向的取向只有(2

l+1)种可能。3、氢原子中电子的概率分布

电子的定态波函数：

概率密度

空间体积元内出现的概率

书上263页列出了低量子数的具体表达式，同时也给出了分布图（264-266页），这些都反应出电子出现的概率。十、电子的自旋原子的电子壳层结构

1、施特恩－格拉赫实验

实验结果