2024秋八年级数学上册第1章分式1.4分式的加法和减法第3课时异分母分式的加减教案1新版湘教版

Page1第3课时异分母分式的加减1．驾驭异分母分式的加减法；(重点)2．理解分式混合运算的依次，并会娴熟进行分式的混合运算．(难点)一、情境导入小明用10元钱买甲种商品a千克，同样用10元钱买乙种商品b千克(a＞b)，乙种商品比甲种商品每千克贵多少元？二、合作探究探究点一：异分母分式的加减法【类型一】分母是单项式计算：(1)eq\f(3,2x)－eq\f(1,3y)；(2)eq\f(1,a)－eq\f(1,2ab)＋eq\f(a,bc).解析：(1)小题的最简公分母是6xy，(2)小题的最简公分母是2abc，通分后再依据同分母分式相加减的法则进行计算．解：(1)eq\f(3,2x)－eq\f(1,3y)＝eq\f(9y,6xy)－eq\f(2x,6xy)＝eq\f(9y－2x,6xy)；(2)eq\f(1,a)－eq\f(1,2ab)＋eq\f(a,bc)＝eq\f(2bc,2abc)－eq\f(c,2abc)＋eq\f(2a2,2abc)＝eq\f(2bc－c＋2a2,2abc).方法总结：异分母分式相加减，先通分，再转化为同分母分式相加减．【类型二】分母是多项式计算：(1)eq\f(x,x2－4)－eq\f(2,x2＋4x＋4)；(2)eq\f(a2－4,a＋2)＋a＋2；(3)eq\f(m,m－n)－eq\f(n,m＋n)＋eq\f(2mn,m2－n2).解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a＋2看成分母为1的式子进行通分．解：(1)原式＝eq\f(x,（x＋2）（x－2）)－eq\f(2,（x＋2）2)＝eq\f(x（x＋2）,（x＋2）2（x－2）)－eq\f(2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq\f(x（x＋2）－2（x－2）,（x＋2）2（x－2）)＝eq\f(x2＋4,（x＋2）2（x－2）)；(2)原式＝eq\f(a2－4＋（a＋2）2,a＋2)＝eq\f(2a（a＋2）,a＋2)＝2a；(3)原式＝eq\f(m（m＋n）,（m＋n）（m－n）)－eq\f(n（m－n）,（m＋n）（m－n）)＋eq\f(2mn,（m＋n）（m－n）)＝eq\f(m2＋2mn＋n2,（m＋n）（m－n）)＝eq\f(m＋n,m－n).方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．探究点二：分式的混合运算计算：(1)(eq\f(x2－4x＋4,x2－4)－eq\f(x,x＋2))÷eq\f(x－1,x＋2)；(2)eq\f(a－5,2a－6)÷(eq\f(16,a－3)－a－3)．解：(1)原式＝[eq\f(（x－2）2,（x－2）（x＋2）)－eq\f(x,x＋2)]÷eq\f(x－1,x＋2)＝(eq\f(x－2,x＋2)－eq\f(x,x＋2))÷eq\f(x－1,x＋2)＝eq\f(－2,x＋2)×eq\f(x＋2,x－1)＝－eq\f(2,x－1)；(2)原式＝eq\f(a－5,2a－6)÷(eq\f(16,a－3)－eq\f(a2－9,a－3))＝eq\f(a－5,2（a－3）)÷eq\f(（5＋a）（5－a）,a－3)＝eq\f(a－5,2（a－3）)·eq\f(a－3,（5＋a）（5－a）)＝－eq\f(1,10＋2a).方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算依次与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最终算加减，假如遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应当依据详细问题的特点，敏捷应变，留意方法．探究点三：分式运算的化简求值【类型一】先化简，再依据所给字母的值求分式的值先化简，再求值：(eq\f(1,x－y)＋eq\f(1,x＋y))÷eq\f(2x,x2＋2xy＋y2)，其中x＝1，y＝－2.解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最终代值计算．解：原式＝eq\f(2x,（x－y）（x＋y）)·eq\f(（x＋y）2,2x)＝eq\f(x＋y,x－y)，当x＝1，y＝－2时，原式＝eq\f(1＋（－2）,1－（－2）)＝－eq\f(1,3).方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟识混合运算的计算依次，式子化到最简再代值计算．【类型二】先化简，再自选字母的值求分式的值先化简，再选择使原式有意义而你宠爱的数代入求值：eq\f(2x＋6,x2－4x＋4)·eq\f(x－2,x2＋3x)－eq\f(1,x－2).解析：先把分式化简，再选数代入，x取除－3、0和2以外的任何数．解：原式＝eq\f(2（x＋3）,（x－2）2)·eq\f(x－2,x（x＋3）)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(2,x（x－2）)－eq\f(1,x－2)＝eq\f(2－x,x（x－2）)＝－eq\f(1,x).当x＝1时，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何数)方法总结：取宠爱的数代入求值时，要留意所选择的值肯定满意分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．【类型三】整体代入求值已知实数a满意a2＋2a－8＝0，求eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,a2－1)·eq\f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)的值．解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解，进行约分，然后进行减法运算，最终整体代值计算．解：eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,a2－1)·eq\f(a2－2a＋1,（a＋1）（a＋3）)＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a＋3,（a＋1）（a－1）)·eq\f(（a－1）2,（a＋1）（a＋3）)＝eq\f(1,a＋1)－eq\f(a－1,（a＋1）2)＝eq\f(2,（a＋1）2)＝eq\f(2,a2＋2a＋1).因为a2＋2a－8＝0，所以a2＋2a＝8，eq\f(2,a2＋2a＋1)＝eq\f(2,8＋1)＝eq\f(2,9).方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．探究点四：运用分式解决实际问题有一客轮来回于重庆和武汉之间，第一次来回航行时，长江的水流速度为a千米/小时；其次次来回航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b千米/小时(b＞a)．已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次来回航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？解析：重庆和武汉之间的路程肯定，可设其为s，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，留意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．解：设两次航行的路程都为s.第一次所用时间为：eq\f(s,v＋a)＋eq\f(s,v－a)＝eq\f(2vs,v2－a2)，其次次所用时间为：eq\f(s,v＋b)＋eq\f(s,v－b)＝eq\f(2vs,v2－b2)，∵b＞a，∴b2＞a2，∴v2－b2＜v2－a2.∴eq\f(2vs,v2－b2)＞eq\f(2vs,v2－a2).∴第一次的时间要短些．方法总结：①运用分式解决实际问题时，用分式表示实际问题中的量是解决问题的关键．②比较分子相同的两个分式的大小，分母大的反而小．三、板书设计1．异分母分式的加减法：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则进行计算．2．分式的